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基、维数与坐标本节内容线性空间的基与维数的定义元素在给定基下的坐标小结一、线性空间的基与维数

已知：在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向量都是线性相关的．

问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间中，最多能有多少线性无关的向量？定义1.设是实数域上的线性空间，若是中的个向量，满足（1）线性无关；（2）设是中的任一向量，存在一组实数，使得，则称为的一组基，基中向量的个数称为线性空间的维数。

注意

（1）线性空间中任一向量由基表示的方法是唯一的；

（2）线性空间的基(只要存在)并不一定是唯一的；

（3）有限维线性空间的维数是固定的．

定义２二、元素在给定基下的坐标例1.

求线性空间的维数和一组基．解取单位坐标向量

于是（1）线性无关；（2）对任一向量，显然可以由上述单位坐标向量组表出．由定义可知上述单位坐标向量组为一组基，因此维数为3．注意

线性空间的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．练习：所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间．对于中的矩阵证明可以构成线性空间的一组基。１．线

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