高考数学常考题型23讲

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：fx奇函数+常数模型（fxfx2常数）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，fxmaxfxmin2f中，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数fxlnx1的定义域为（）4xABCD．1,2．1,4．1,4．2,41【例2】函数fx的定义域为log2(x3)【例3】(2020·集宁期中)已知函数f(2x3)的定义域是[1，4]，则函数f(12x)的定义域（）A．[2，1]B．[1，2]C．[2，3]D．[1，3]【例4】若函数ylog2ax22x1的定义域为R，则a的范围为__________。52021·f(x)lg(ax2xa)R，则实数a的取值范围【例】（全国高三专题练习（理））若函数2的值域为为（）A．(1,0)B．(0,1)C．[0,1]D．(1,)【题型专练】1.（2019·江苏如皋）函数fx1的定义域为（）.log1x12A．,2B．2,C．1,2D．1,22.（2021·江苏）已知函数yf(2x)的定义域是1,1，则函数f(log3x)的定义域是1,11,3．1,3A．B．CD．[3,9]33.（2018·重庆一中高二期末（理））已知函数fx的定义域为0,，则函数yfx1的定义x23x4域是（）1,11,1ABCD．1,1．1,1．．4.（2019·全国）若函数f2x1的定义域为0,2，且函数fx24x1的定义域为0,m，则实数m的取值范围是______．5.若函数f(x)mx2mx1的定义域为R，则实数m的取值范围是（）(A)0m4 (B) 0m4 (C) m4 (D) 0m4题型二：同一函数概念12021··深圳第二外国语学校高一期末）下列函数fx1与是同一函数的是（【例】（广东x）A．gxx21B．gx1x2xC．gxlg10x1D．gxelnx1【题型专练】1.（2021·重庆巴蜀中学高一期中多选）下列函数中，与yx是同一个函数的是（）A.y3log3xB.ylog33xC.yD.y2x2x题型三：函数单调性的判断【例1】下列函数中，满足“对于任意x1,x20,，都有fx1fx20”的是x1x2A.fx2B.fx3x1C.fxx24x3D.fxx1xx【例2】已知函数fxx22a1x2在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是A．a3 B．a3 C．a5 D．a3【例3】（2021·新疆高一期末）函数fxlog1x24的单调递增区间为（）2A．0,B．,0C．2,D．,2【例4】已知函数fxlogax2ax2在2，上为增函数，则实数a的取值范围为_____．【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））函数fx=lnx22x8的单调递增区间是（）A．，2B．，1C．1，D．4，2.（2021·贵州·凯里一中）已知函数f(x)lg(x23mx4)，x1,x2(,1)，且x1x2时，关于x1，x2的不等式[f(x1)f(x2)](x1x2)0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2,5]B．(,2]C．(2,5)D．[2,)3333333.函数fxlog0.53x2ax5在1，上是减函数,则实数a的取值范围为________.4.2019f(x)log0.5(xa2)(3,)（年重庆七中高一上期中）已知函数a在上单调递减，则a的取值范围为（）A.,0B.3,0C.2,0D.(3,0)题型四：分段函数的单调性12022··2aRa【例】（河南南阳中学高一阶段练习）已知函数f(x)xax7,x1是上的增函数，则的取,x1x值范围为（）A[-40)B[-4-2]C．(,2]D．(,0]．，．，2a1x,x1【例2】（2021·广东·深圳市第二高级中学）已知函数fx1,0x1，当x1>0，x20，且x1x2logax3fx1fx2时，0，则实数a的取值范围是（）x1x211111A．0,B．,C．0,D．,23233【题型专练】（河南焦作）如果函数f(x)(23a)x1,x1满足对任意xx，都有fx1fx20成立，那12么实数a的取值范围是（）22333A．,1B．,C．,1D．,133444a2.2alogax,(x1)4,24A．（1，2）B．C．1,D．（0，1）33题型五：函数的单调性唯一性【例1】已知定义在R上的函数f(x)单调递增，且对任意x0,，恒有f(f(x)log2x)1，则f(2)的值为_______．【例2】（2019年重庆巴蜀）若fx是定义域为0,上的单调递减函数，且对任意实数x0,都ffxe1x1e1(无理数e2.71828)，则fln2(A．3B．3C．e1D．122【题型专练】1.（2019年重庆南开）已知定义在R上函数fx为单调函数,且对任意的实数x ,都有21ffx,则flog23()2x13A.0B.1C.2D.123题型六：函数奇偶性的判断【例1】（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【例2】下列对函数的）奇偶性判断正确的是（2x,x0A.f(x)x2x2B.是奇函数f(x)x2x,x0是奇函数C.f(x)1x2既不是奇函数也不是偶函数D.f(x)x211x2既是奇函数又是偶函数x22【题型专练】1.(2020•全国Ⅱ)设函数f(x)x31，则f(x)（）x3A．是奇函数，且在(0，)单调递增 B．是奇函数，且在(0，)单调递减C．是偶函数，且在(0，)单调递增 D．是偶函数，且在(0，)单调递减2.(2020重庆巴川中学高一月考多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.yfxB.yf(x)x3C.yf(x)D.yx3f(x)x题型七：已知函数奇偶性，求参数【例1】已知f(x)a1为奇函数，则a________。2x1【例2】设函数fxxexaexxR是偶函数，则实数a的值为________．【题型专练】1.已知f(x)x21为偶函数，则a________。(3x2)(xa)2.（2021新高考1卷）已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a__________．题型八：已知函数奇偶性，求函数值【例1】已知fx为奇函数，且当x0时，fxx2x，则f1【例2】已知函数yfxx是偶函数，且f21,则f2g(x)21【例3】已知函数f(x)与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f(x)g(x)x2，则f(2)（）A．2B．7C．-3D．11333【题型专练】1.(2021•武侯模拟)设函数f(x)xx0若f(x)是奇函数，则g(2)的值是（）2g(x)x0.A．1B．4C．1D．4442.2021··fx对任意实数x，满足fxfx0x0fx2xm（四川绵阳（文））已知函数，当时，（m为常数），则f1log23（）A．1B．1C．1D．12233题型九：利用奇偶性求函数解析式【例1】已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)的解析式为_______________【例2】已知f(x)为偶函数，当0x1时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)解析式？【例3】（2022韶关期中）若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)2x，则有( )A．f2

f3g0

B．

g(0)

f3

f

2C．f2g0

f3

D．

g(0)

f2

f

3【题型专练】1（.2021·台州市书生中学高一开学考试）已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx2x1，f1___________，fx在x0上的解析式为fx___________.题型十：给出函数性质，写函数解析式【例1】（2021·北京·）已知函数fx同时满足下列条件：①fx定义域为,；②fx是偶函数；③fx在0,上是减函数，则fx的一个解析式是___________.【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x):（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上单调递减；（3）f(x)的值域是(1,).则f(x)______.【题型专练】1.（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数fx:（1）fx是偶函数；（2）fx在0,上单调递减；（3）fx的值域是0,fx________2.请写出一个最小正周期为1的偶函数fx，则fx________题型十一：fx奇函数+常数模型（fxfx2常数）【例1】已知f(x)x5ax3bx8且f(2)10，求f(2)的值____【例2】已知函数fxax2019bc32a,b,cR，且f23，则f2x_________x【例3】（2019·山西高三月考（理））函数f(x)ln(x21x)2，则flog23（3flog1）2A．0B．2log23C．4D．1【题型专练】1.已知函数f(x)xln11xx12，则f(lg5)f(lg21)_______；2.已知函数f(x)ln(x)x1，则fln1f10lgx1x2=（）xxeA.-1B.0C.1D.23.已知函数f(x)ax1ln2019x1，若定义在R上的奇函数g(x)，有g1f(log225)f(log1)，2019x25则g(1)()ax1A．2B．0C．1D．24.已知函数f(x)21满足条件f(log(1))1，其中a1，212x14xa则f(loga(1))（2）A．1B．2C．3D．4题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，fxmaxfxmin2f中，中指定义域的中间值）【例1】已知f(x)5x53x3x1(x[12,12])的最大值M,最小值为m,求Mm的值【例2】（2015全国卷2理科）设函数fxx12sinx的最大值为M，最小值为m，则M+m=____x21【题型专练】1.（2019年重庆二外高一上期末）若关于x的函数fxtx22xt2x2sinxt0的最大值为M，x2t最小值为N，且MN4，则实数t的值为（）A.1B.2C.3D.4题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【例1】（2021年重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数fx，且为减函数，又知1af1a20，则a的取值范围为A. 2,1 B. 0,2 C. 0,1 D. ,21,【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x1,x2R，若x1x2都有x1fx2x1x2成立，则关于x的不等式f1x2f13xx23x2的解为_________【例3】已知奇函数f(x)在0,单调递增，且f20，则不等式xf(x)0的解集是_____42020·阜新市第二高级中学高一期末）若函数f(x)是定义在R(,0]【例】（上的偶函数，在上是单调递增的，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是（）A．(,2)B．(2,)C．(,2)(2,)D．(2,2)【例5】设函数f(x)在1,上为增函数，f30，且gxfx1为偶函数，则不等式g22x0的解集为 .【题型专练】1.（2020重庆7中高一期中）已知函数

f

(

x)

gx

3x

3

5x

3，gx为定义在R上的奇函数且单调递减.若

f(a)

f(a4)6，则实数a的取值范围是（

）A. a1

B. a2

C.

a1

D. a22.（2020重庆九校高一月考）已知偶函数fx在,0上单调递减，且f40，则不等式xfx0的解集为（

）A. 4,04,

B. ,40,4C. 4,00,4

D. ,44,3.（2019巴蜀高一月考）已知定义在R上的函数fx的图像经过点M3,0，且fx在区间2,单调递减，又知函数fx2为偶函数，则关于x的不等式fx10的解为A.1,3 B.0,2 C.2,4 D.1,44.（2016·安徽高三月考（文））若偶函数在内单调递增，则不等式的解集是A．B．C．D．5.（2021·广西·玉林市育才中学（理））已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有x1fx20，且f(2)0，则满足x1x2A．(,2)(0,1)(2,)C．(2,1) (2,)

(x1)f(x)0的x的取值范围是（）B．(2,0)(1,2)D．(,2)(1,2)6.设奇函数fx在0,上为增函数，且f20，则不等式fxfx0的解集为x7.定义R上单调递减的奇函数f(x)满足对任意tR，若f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的范.8.若函数f(x)x33x对于任意的m2,2，fmx2fx0恒成立，则x9.已知定义在R上的函数fx，若函数yf(x2)为偶函数，且f(x)对任意x1,x2[2,)(x1x2)，都有f(x2)f(x1)0，若f(a)f(3a1)，则实数a的取值范围是()x2x1A．[1,3]B．[2,1]C.(,1]D．(3,)2424题型十四：值域包含性问题【例1】（2021·四川·石室中学（文））已知f(x)x4，g(x)x2ax1，若对x1[1,3]，x2[1,3]，使x得fx1gx2，则实数a的取值范围是（）A．[2,)B．[2,)C．(,2]D．(,2]【题型专练】1.（2021·福建省厦门第二中学）函数gxax2（a0），fxx22x，对x11,2，x01,2，使gx1fx0成立，则a的取值范围是（）0,1B．1,20,11A．C．D．,323题型十五：函数性质综合运用多选题【例1】（全国高一单元测试）已知函数fxlnxln2x，则（）2022··A．fx在0,2单调递增B．fx在0,1单调递增，在1,2单调递减C．yfx的图象关于直线x1对称D．yfx的图象关于点1,0对称22022··2【例】（广东中山一中高三阶段练习）关于函数ylg1说法正确的是（）1xA．定义域为1,1B．图象关于y轴对称CD．图象关于原点对称．在0,1内单调递增32022··高三专题练习）若f【例】（全国x是奇函数，则下列说法正确的是（）A．fx一定是偶函数B．fxfx一定是偶函数C．fxfx0D．fxfx042022··高一学业考试）已知函数f【例】（全国xaxaxa0,a1，则下列结论正确的是（）A．函数fx的图象关于原点对称B．函数fx在R上不具有单调性C．函数fx的图象关于y轴对称D．当a＞1时，函数fx的最大值是0【例5】（2022·全国·高一单元测试）已知fx，gx都是定义在R上的函数，其中fx是奇函数，gx是偶函数，且fxgx2x，则下列说法正确的是（ ）A．fgx为偶函数B．g00C．g2xf2x为定值D．fx2x,x0gx2x,x0【例6】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数yfx为奇函数的充要条件是yfx的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数yfxab为奇函数，则fx图象关于点Pa,b成中心对称.现在已知函数fx2x3mx2nx1的图象关于1,0成中心对称，则下列结论正确的是（ ）A．f11B．f21C．mn3D．对任意xR，都有f1xf1x0【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx3x1，下面说法正确的有（）3x1A．fx的图象关于原点对称B．fx的图象关于y轴对称C．fx的值域为(1,1)D．x1,x2R，且x1x2，fx1fx20x1x22．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数f(x)xln(1e2x)，则下列说法正确的是（）A．f(x)的值域为RB．f(x)是偶函数C．yf(x1)的图象关于直线x1对称D．f(2)f(log23)32022··高二期末）对于函数fxx．（江苏淮安，下列说法正确的有（）2xA．fx在其定义域上为偶函数B．fx在,22,0上单调递减，在0,22,上单调递增C．fx的值域为(,1)(0,)D．fx≤1有解集为,21,12,4．（2022·山东青岛·高二期末）已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，bR都满足fabafbbfa，则下述正确的是（）A．f00B．f11C．fx是奇函数D．若f2211，则f2252022··高一期末）已知函数fRx0时，fx22x，则（．（广东深圳x是定义在上的偶函数，当x）A．fx的最小值为1B．fx在2,0上单调递减Cfx022D．存在实数x满足fx2fx0．的解集为,6．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知函数f(x)log1(2x)log2(x4)，则下列结论中正确的是（）2A．函数f(x)的定义域是[4,2]B．函数yf(x1)是偶函数C．函数f(x)在区间[1,2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x1对称7．（2022·湖北·高一阶段练习）.函数f(x)对任意x,yR总有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，f(1)1，则下列命题中正确的是（）3A．f(x)是偶函数B．f(x)是R上的减函数C．f(x)在[6,6]上的最小值为2D．若f(x)f(x3)1，则实数x的取值范围为0,8．（2022·全国·高一）设xR，x表示不超过x的最大整数，例如：3.54，2.12，已知函数fxex1，则下列叙述中正确的是（）1ex2A．fx是偶函数B．fx是奇函数C．fx在R上是增函数D．fx的值域是1,0,19．（2023·全国·高三专题练习）已知fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且fxgx2022xsinx25x，则下列说法正确的有（）A．g01B．gx在0,1上单调递减C．gx1101关于直线x1101对称D．gx的最小值为1fxfyxy10．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数fx同时具有性质：①对于任意的x,yR，2f，2②fx为偶函数，则函数fx可能为（）A．fxxB．fxlnxC．fx2x1D．fxlnx1x21x2第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数fx对于任意的x均满足f(ax)f(bx)，则函数yf(x)关于直线x(ax)(bx)ab22对称．②若函数fx对于任意的x均满足f(ax)f(ax)2b则yf(x)关于点(a，b)对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的x都满足fxTfx，则T为fx的一个周期，且fxnTfx几个常见周期性结论①若函数yf(x)满足f(xm)f(x)，则T2m．②若函数yf(x)满足f(x＋m)1，则T2m．f(x)③若函数yf(x)满足f(xm)1f(x)，则T2m．1f(x)④若函数yf(x)满足fxafxb，则Tba．⑤若函数yf(x)的图象关于直线xa，xb都对称，则f(x)为周期函数且2|ba|是它的一个周期．⑥函数yf(x)(xR)的图象关于两点A(a，y0)、B(b，y0)都对称，则函数yf(x)是以2|ba|为周⑦函数yf(x)(xR)的图象关于A(a，y0)和直线xb都对称，则函数yf(x)是以4|ba|为周期的周期函数．⑧若函数yf(x)满足f(xm)1f(x)，则函数f(x)是以4m为周期的周期函数．1f(x)【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x(1，1]时，f(x)x22xm，1x0，其中mR．若x，0x1f(1)f(3)，则m的值是．162【例2】设f(x)为定义在R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)__________【例3】定义在R上的函数fx对任意xR，都有fx21fx,f21，则f2016等于1fx4A.1B.1C.1D.323544R上的奇函数f满足fx4f,且f1,【例】（重庆南开高一上期中）已知定义在xx1则f2020f2019的值为()A.1B.0C.1D.252022··高一期末）已知函数yfR2【例】（云南昭通x是定义在上的周期函数，且周期为，当x0,1时，fx2x1，则f13（）2A．81B．21C．1D．12222【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知fx是R上的奇函数，且fx2fx，当x0,2时，fxx22x，则f15（）A．3B．3C．255D．2552.2023··高三专题练习）已知f(x)是定义在R3,0（全国上的偶函数，且f(x6)f(x)，若当x时，f(x)6x，则f(2021)（）A．0B．1C．6D．21613.（重庆南开高一上期末）函数fx的定义域为R，且f0，f00.若对任意实数x，y都有2xyfxfy2ff2AB.-12

xy，则f2020（）2C.0D.142022··高一期末）已知f(x)是定义在RxR，都有f(x4)f(x)，若当x[0,1]．（云南红河上的奇函数，时，f(x)log2(xa)，则f(7)（）A．1B．0C．1D．252022··大庆中学高二期末）f(x)是定义在R上的奇函数，且满足fx2fx2．（黑龙江，又当x0,1时，fx3x1，则flog1______．723题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R上的函数fx满足：（1）fxfx；（2）f2xf2x；（3）当x0,2时解析式为y2x1，当x4,0时，求函数的解析式。【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知fx是定义在R上周期为2的函数，当x[1,1]时，fxx，那么当x7,5时，fx ______.【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有x2fx.当x0,2时，fxx22x.(1)当x2,4时，求fx的解析式；(2)计算f0f1f2Lf2021.【题型专练】1（.2021·上海南汇中学高三期中）设fx是定义在R上以2为周期的奇函数，当x0,1时，fxlog2x1，则函数fx在5,6上的解析式fx___________．2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））函数fx满足是fx24fx，且xR，当x0,2时，fxx24x16，则当x4,2时，fx的最小值为___________.3.（2021·江苏·高一专题练习）设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x[0,1]时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在[4，6]上的解析式是__________4.（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(x)，且x[0,1]时(x)x22x，则：（1）f(2021)__________；（2）当x[3,4]时，f(x)_________.题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数【例1】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数fx___________.【例2】（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：fx______．①定义域为R；②fx不是周期函数；③f¢(x)是周期为2的函数．【例3】（2022·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列性质①②③的函数fx：__________.①定义域为R；②fx2为偶函数；③fx1为奇函数.【题型专练】1（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数fx_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；xR，fx4fx．2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）3.（2022·全国·高三专题练习（理））函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线；②xR，f(x)f(x)；③当x1,x2(0,)且x1x2，f(x1)f(x2)0；④f(x)恰有两个零点，x1x2请写出函数f(x)的一个解析式________题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用12022··高二期末（理））已知函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x2)f(x2)，又【例】（贵州铜仁f(x1)为偶函数，当x[0,2]时，f(x)ax22xb，则f(1)f(3)f(5)f(7)的值为（）A．4B．4C．0D．2【例22022··长安一中高一期末）已知函数f的定义域为R，fx2】（陕西x为奇函数，f2x1为偶函数，则函数fx的周期是（）A．2B．3C．4D．5【例3】（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知fx是定义在R上的奇函数，fx1为偶函数，且当0x1时，fxlog22x，则f21（）A．1B．0C．log23D．1【例4】（2022·山东日照·高二期末）已知yfx2是定义域为R的奇函数，ygx1是定义域为R的偶函数，且yfx与ygx的图像关于y轴对称，则（）A．yfx是奇函数B．ygx是偶函数C．2是yfx一个周期D．ygx关于直线x2对称【例5】已知定义在R上的函数yf(x)满足条件f(x3)f(x)，且函数yf(x3)为奇函数，下42列有关命题的说法错误的是（）A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)为R上的偶函数C．f(x)的图象关于点(34，0)对称函数D．f(x)为R上的单调函数【例6】（2021新高考2卷8）已知函数f(x)的定义域为R，f(x2)为偶函数，f(2x1)为奇函数，则（ ）10A．fB．f(1)0C．f(2)0D．f(4)0222【例7】若函数f(x)的定义域为R，且f(xy)f(xy)f(x)f(y),f(1)1，则f(k)（）k1A.3B.2C.0D.1【题型专练】1（.2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数fx是,上的偶函数，且f1xf1x，当x0,1时，fx2x1，则f2021f2022的值为（）A．1B．2C．1D．02．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知fx是定义在R上的奇函数，且满足f2xf2x，当x0,2时，fxx2a，若f20220，则a（）A．－8B．－4C．0D．43．（2022·湖南·高二期末）已知定义域是R的函数fx满足：xR，f4xfx0，f1x为偶函数，f11，则f2023（）A．1B．-1C．2D．-34.函数fx的定义域为R，若fx1与fx1都是奇函数，则（）A.fx是偶函数B.fx是奇函数C.fxfx2D.fx3是奇函数5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x[1，2]时，f(x)ax2b，若f(0)f(3)6，则f(9)（）29375A.B.C.D.42426.已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意xR都有f(x2)f(2x)4f(2)，若函数yf(x1)的图象关于点1,0对称，且f(1)3，则f(2015)7.（2020•岳麓区校级模拟）若对任意的xR，都有f(x)f(x16)f(x16)，且f(0)1，f(16)1，则f(2020)的值为．38（.2022·河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数fx对xR，都有fxfx,f2xfx，且f11，则（ ）A．fx的图像关于直线x1对称 B．fx的图像关于点2,0中心对称C．f60 D．f519.（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末多选）已知fx是定义在R上的奇函数，且函数fx1为偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．函数fx的图象关于直线x1对称B．当x7,7时，fx的零点有6个C．fx4fx2022D．若f11，则fi1110．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在R上的函数yfx满足条件x32fx，且函数yA．f(x)为周期函数C．f(x)为R上的单调函数

3fx为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（）4B．f(x)为R上的偶函数 3 D．f(x)的图象关于点 ,0 对称 4 11.2022··R上的函数f满足fffx2（辽宁瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在xxx，且当x0,1时，fxx，则下列说法正确的是（）A．fx是偶函数B．fx是周期函数99D．x1,0时，fxxC．f12第3讲导数中八大切线问题题型总结【考点分析】考点一：曲线在点Px0,fx0处的切线方程①把切点的横坐标x0带入导函数fx，得kfx0②又因切点为Px0,fx0，利用点斜式直接写出切线为yf(x0)f(x0)(xx0)考点二：过一点Am,n的切线方程①设切点为P(x0，y0)，则斜率kf(x0)②利用切点和斜率写出切线方程为：yy0f(x0)(xx0)，③又因为切线方程过点A(m，n)，点入切线得ny0f(x0)(mx0)然后解出x0的值．（x0有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点P处（P为切点），还是过点P的切线（P不一定为切点）【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线（此类题目点P即为切点）题型三：过点P的切线（此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0）题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系12022··高三专题练习（文））函数yf(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（【例】（全国）A．0f(2)f(3)f(3)f(2)B．0f(2)f(3)f(2)f(3)D．0(3)C．0f(3)f(3)f(2)f(2)f(3)f(2)f(2)f【例2】函数yfx的图象如图所示，fx是函数fx的导函数，则下列大小关系正确的是（）A4f4f22f2B．2f2f4f22f4．2fC．2f42f2f4f2D．f4f22f42f2【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数fx的图象如图所示，fx是fx的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A．f3f2B．f3f3f2C．f2f3f2D．f3f202．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数yfx的图象如图所示，f¢(x)是函数fx的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A．2f

3

f5f3

2f

5

B．2f

32f5

f5f3C．

f5f3

2f

3

2f

5

D．2f

32f5

f5f3题型二：在点P处切线（此类题目点P即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线yaexxlnx在点1,ae处的切线方程为y2xb，则A．ae,b1B．ae,b1C．ae1,b1D．ae1,b122022··高三专题练习（文））已知函数f(x)Rf(x)2x3axf(1)x【例】（全国是定义在上的奇函数，且32，则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为（）A．21B．27C．24D．25【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线yxln(2x5)在x2处的切线方程为（）A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0【例4】过函数f(x)1e2xx图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（）233A．0,B．0,,424．3,D．,3442【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线y2xa在点1,b处的切线方程为kxy60，x2则k的值为（）A．1B．2C．1D．132f22【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数fxxx,x0图像关于原点对称，则f(x)3x,x0g在x1处的切线方程为（）A．3xy20B．3xy20C．3xy40D．3xy40【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数fxx3a1x2ax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点0，0处的切线方程为()A．y2xB．yxC．y2xD．yx2x12.【2021年甲卷理科】曲线y在点1,3处的切线方程为__________．x23．【2019年新课标1卷理科】曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．420182卷理科】曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为__________．【年新课标．5．【2018年新课标3卷理科】曲线yax1ex在点0，1处的切线的斜率为2，则a________．题型三：过点P的切线（此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x,y） =ln|| 0 0【例 】【2022年新高考2卷】曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．22022··广安二中二模（文））函数f0,0【例】（四川xx2ex过点的切线方程为（）A．y0B．exy0C．y0或xey0D．y0或exy0【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点(1,0)的直线与函数f(x)xex的2图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（）A．e1B．1C．1D．12242022··佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线y1xb与曲线y1xlnx相切，则b【例】（广东22的值为（）A．2B．-2C．-1D．1【题型专练】1.2022··1（陕西安康高三期末（文））曲线y2xlnx3过点,0的切线方程是（2A．2xy10B．2xy10C．2x4y10D．2x4y102.2022··二模）过坐标原点作曲线ylnx的切线，则切点的纵坐标为（（广东茂名A．eB．1C．1D．1ee3.过点(0，-1)作曲线f(x)xlnx的切线，则切线方程为A．x+y+1=0B．x-y-1=0C．x+2y+2=0D．2x-y-1=04.f(x)x2，则过点P(-10)已知，且与曲线yf(x)相切的直线方程为（）A．y0B．4xy40C．y0或4xy40D．y0或4xy40

））题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线C:ylnxx23ax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（）3223,022,0C．,23D．,22A．B．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线ykx1ln2是曲线ylnx2的切线，则________．【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线yaexxlnx在点1,ae处的切线方程为2xb，则b_____【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数fxx22xaxba0在点a,fa处的切线方程为yfa，则b（）2244A．1或1B．3或3C．2或2D．3或33333【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线f(x)(xa)ex在点(1,f(1))处的切线与直线2xy10垂直，则实数a的值为_________．2.2022··fxalnxx4处的切线方程为yxb，则（（云南昆明模拟预测（文））若函数的图象在）A．a3，b2ln4B．a3，b2ln4C．a3，b1ln4D．a3，b1ln4223（.2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线C1：yx1lnx和圆C2：x2y26xn0均相切，则n（）A．－4B．－1C．1D．4题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）12022··yx3的切线，则这样的切线共有（【例】（河南洛阳三模（文））若过点P1,0作曲线）A．0条B．1条C．2条D．3条22022··高三专题练习）若过点(a,b)可以作曲线ylnx的两条切线，则（【例】（全国）A．alnbB．blnaC．lnbaD．lnab【例3】【2021年新高考1卷】若过点a,b可以作曲线yex的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0aebD．0bea42022··yx3的三条切线，则实数t的取值范围是（【例】（河南洛阳三模（理））若过点P1,t可作出曲线）ABCD．,1．0,．0,1．0,152022··高三阶段练习）若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C:yxm【例】（河北相切，则的取值范围ex为（）,30,1C．(,0)1,3A．B．D．eeee【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线yx1上一点P可以作曲线fxxlnx的两条切线，则点P横坐标t的取值范围为（）A．0t1B．1teC．0teD．1t1e【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点P1,m可以作三条直线与曲线C：yxex相切，则m的取值范围是（）31,01131A．,B．C．,D．,e2ee2e2ee2.2022··a0，若过点(a,b)可以作曲线yx3的三条切线，则（（广东深圳二模）已知）A．b0B．0ba3C．ba3D．bba303.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点a,ba0可以作曲线yxex的三条切线，则（）A．0abebB．aeab0C．0ae2b4D．a4be2042022··fxx1ex，过点M1t3条与曲线yf．（山东枣庄高二期末）已知函数（，）可作x相切的直线，则实数t的取值范围是（）4,04,26,2e6,0A．B．C．D．eeeee5（.2022·山东潍坊·三模）过点P1,mmR有n条直线与函数fxxex的图像相切，当n取最大值时，m的取值范围为（）5me51m0D．meA．B．m0C．e2e2e题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线ykxb是曲线yex1的切线，也是yex2的切线，则k（）A．ln2B．ln2C．2D．2【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数fxlnx与函数g(x)x2xa(x0)有公切线，则实数a的取值范围是（）1B．1,A．ln,2eC．1,D．ln2,32022··yx21与yalnx1存在公切线，则正实数a【例】（河北石家庄高二期末）若两曲线的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C1:fx=exa和曲线C2:gxln(xb)a2a,bR，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是（）A9BCD．,．0,．,1．,944【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）A．0,2e B．0,e C．2e, D．e,2e【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线l:ykxb（k1）为曲线fxex1与曲线gxelnx的公切线，则l的纵截距b（ ）A．0 B．1 C．e D．e【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线yk1x11与曲线yex相切，直线yk2x11与曲线ylnx相切，则k1k2的值为（）A．1B．1C．eD．e22【题型专练】1.已知函数fxxlnx，gxax2x．若经过点A(1,0)存在一条直线l与曲线yfx和ygx都相切，则a（）A．-1B．1C．2D．312.【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=x和x2+y2=都相切，则l的方程为（）5A．y=2x+1B．y=2x+1C．y=1x+1D．y=1x+122223.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数fxalnx，gxbex，若直线ykxk0与函数fx，gx的图象都相切，则a1的最小值为（）bA2BCeDe．2e2．．．4.2022··高三专题练习）若两曲线ylnx1yax2存在公切线，则正实数a的取值范围是（（全国与）A．0,2e1313D．2e,B．e,C．0,e225.2022··高三专题练习）若仅存在一条直线与函数f(x)alnx（a0g(x)x（全国）和2的图象均相切，则实数a（）A．eB．C．2eD．2ee6.yxkk若曲线ylnx与曲线：2有公切线，则实数的最大值为（）A．7+1ln2B．7-1ln2C．1+1ln2D．1+1ln282822222题型七：切线平行、垂直、重合问题12023··高三专题练习）函数f(x)lnxax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值【例】（全国范围是（）11A．(,2]B．,22,2eeC．2,D．0,22022··合肥一中模拟预测（文））对于三次函数f(x)，若曲线yf(x)在点(0,0)处的切线与曲【例】（安徽线yxf(x)在点(1,2)处点的切线重合，则f(2)（）A．34B．14C．4D．14【例3】（2022·全国·高三专题练习）若直线xa与两曲线yex,ylnx分别交于A,B两点，且曲线yex在A处的切线为m，曲线ylnx在点B处的切线为n，则下列结论：①a0,，使得m//n；②当m//n时，AB取得最小值；③AB的最小值为2；④AB最小值小于5．2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【题型专练】1.（2022·山西太原·二模（理））已知函数fxasinxbcosxcx图象上存在两条互相垂直的切线，且a2b21，则abc的最大值为（）A．2B．2C．D．32322.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（）A．1B．12C．3D．223.2022··2高三专题练习）已知函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线（全国xx2a(x0)1(x0)xyf(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）．1．1．(1,)．1A8)B1,8)CD,1)(8,)(,((题型八：与切线相关的最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线y32x22lnx上任意一点，则点P到直线yx3的距离的最小值为（）73A．2B．3C．D．254222022·ly2xlnx【例】（山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线y2x1，曲线32相交于A,B两点，则AB的最小值为（）A．5B．5C．1D．5105【例3】（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数ye2x1的图象与函数ylnx11的图象关2于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）ln2ln24ln2A．2B．2C．2D．4ln22242【例4】（2022·山东聊城·二模）实数x1，x2，y1，y2满足：x12lnx1y10，x2y240，则x1x22y1y22的最小值为（）A．0B．2C．4D．822【题型专练】12022··Pyx23lnxP到直线2x2y30的距离最小，．（山西高二期末）已知点是曲线上一点，若点则点P的坐标为___________.2.2022··高三专题练习）已知a，b为正实数，直线yxa与曲线yln(xb)相切，则a2（江苏的取值2b范围是（）A(0,)BC1D．[1，)．．(0,1)．3.（2022·全国·高三专题练习）曲线ye2x上的点到直线2xy40的最短距离是（）A．B．C．D．15324.2022··f(x)lnx2x2x1l，第一象限内的点P(a,b)在（河北衡水高三阶段练习）已知函数在处的切线为x切线l上，则11的最小值为（）a1b1233442D．3A．2B．2C．3244545（.2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线ykxb是曲线yx1的切线，则k2b22b的最小值为（）A．1B．0C．5D．324第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造fxlnxx比较大小此函数定义域为0,，求导fx1lnx，当x0,e时，fx0，故fx为增函数，当xe,x2时，fx0，故fx为减函数，当xe时，fx取得极大值为fe1，且ln42ln2ln2ef4f2，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较442【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若a1,bln2,cln3，则a,b,c的大小关系为e23（）A．acbB．bcaC．cbaD．abc【例2】（2023·全国·高三专题练习）设a4ln4，bln21，c，则（）e22eA．acbB．abcC．bacD．bca【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）ln33ln2；②lne；③21515；④3eln242．A．1 B．2 C．3 D．442021··abc0,ealn55lnabln66lnb【例】（陕西汉中高二期末（理））已知，，均为区间内的实数，且，，cln77lnc，则a，b，c的大小关系为（）A．acbB．abcC．cabD．cba【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设aln2，b1，cln6，则（）8e212A．acbB．abcC．bacD．cab【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若aln22,b1e,c2ln39，则（

）A．bacC．abca4ln42.（2022·浙江台州·高二期末）设 e2

B．bcaD．acb，bln2，cln3，则（32

）A．abc B．bac C．acb D．bca43.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）eln33（2）e3ln34（3）ee.三个不等式中，正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若aln3，b1，c3ln2，则（）e83A．bacB．bcaC．cbaD．cab5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，3，ee，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.6.2022·ae2,be,cln（安徽省宣城中学高二期末）设4ln41，则a,b,c的大小关系为（）A．abcB．bacC．acbD．cab7.2022··大庆实验中学高二期末）已知实数a，b，c满足lnalnblnc0，则a，b，c的大（黑龙江eabc小关系为（）A．bcaB．cbaC．abcD．bac题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：exx1(x0);exex(x1)证明：设fxexx1，所以fxex1，所以当x,0时，fx0，所以fx为减函数，当当x0,时，fx0，所以fx为增函数，所以当x0时，fx取得最小值为f00，所fx0，即exx12.常见的对数放缩：11lnxx1(x1);lnxx(xe)xe3.常见三角函数的放缩：x0,,sinxxtanx212022··高二期末）设a4bln1.04ce0.041【例】（湖北武汉，，，则下列关系正确的是（）104A．abcB．bacC．cabD．cba【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知a9，be1，c1ln10，则a，b，c的大小关系为（）91011A．abcB．bacC．cbaD．cab32022··ae0.01，b1.01，c1ln100【例】（四川凉山高二期末（文））已知，则（）．101A．cabB．acbC．abcD．bac【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若aln8，b1,cln7，则（）786A．acbB．cabC．cbaD．bac【例5】（全国高考真题（理））已知a31,bcos1,c4sin1，则（）2022··3244A．cbaB．bacC．abcD．acb【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设aln1.01，b1.01，c1，则（）30e101A．abcC．cba

B．acbD．cab2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知acos1，b49，c5sin1，则（）5505A．bacC．bca

B．cbaD．cab32022··高二期末）设a4bln1.04ce0.041（湖北武汉，，，则下列关系正确的是（）104A．abcC．cab

B．bacD．cba题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知a1ln2a，b1ln3b，celnc，其中a1，b1，3e232ce，则abc，，的大小关系为（）．A．cabB．cbaC．abcD．acb【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设ae1.01，b3e，cln3，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．bacB．cabC．acbD．abc【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知aln3，b1，cln4，则a，b，c的大小关系是（）2e13A．bacB．bcaC．cabD．cba【例4】