导数满分攻略38讲

目录专题01 导数的运算 3专题02 曲线的切线方程 6考点一 求切线的方程 6考点二 求参数的值(范围) 8专题03 曲线的公切线方程 10专题04 函数的单调性 12考点一 不含参数的函数的单调性 12考点二 比较大小或解不等式 16考点三 根据函数的单调性求参数 18专题05 含参函数的单调性讨论 20考点一 导主一次型 20考点二 导主二次型 22考点三 导主指对型 25考点四 导主正余型 26专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一) 26考点一 构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 27考点二 构造F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 28考点三 构造F(x)＝f(x)sinx，F(x)＝sinfxx，F(x)＝f(x)cosx，F(x)＝cosfxx类型的辅助函数 30专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二) 31考点四 构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝gf((xx))类型的辅助函数 31考点五 构造具体函数关系式 33专题08 函数的极值 35考点一 根据函数图象判断极值 36考点二 求已知函数的极值 39考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 42专题09 函数的最值 43考点一 求已知函数的最值 43考点二 已知函数的最值求参数的值(范围) 47专题10 含参函数的极值、最值讨论 48考点一 含参函数的极值 48考点二 含参函数的最值 51考点三 含参函数的极值与最值的综合问题 54专题11 导数中洛必达法则的应用 57专题12 导数中隐零点的应用 59考点一 不等式证明中的“隐零点” 60考点二 不等式恒成立与存在性中的“隐零点” 63专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用 65考点一 对数单身狗 65考点二 指数找基友 67考点三 指对在一起，常常要分手 69专题14 两个经典不等式的应用 70考点一 两个经典不等式的应用 70考点二 经典不等式的变形不等式的应用 73专题15 导数中同构与放缩的应用 75考点一 部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上） 75考点二 整体同构携手脱衣法 77专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题 80考点一 x与lnx的组合函数问题 80考点二 x与ex的组合函数问题 82考点三 x与ex，lnx的组合函数问题 83【对点训练】 84专题17 单变量不含参不等式证明方法之虚设零点 84专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转 86专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩 90专题20 单变量含参不等式证明方法之合理消参 93专题21 双变量不含参不等式证明方法之换元法 95专题22 双变量含参不等式证明方法之消参减元法 106专题23 极值点偏移问题概述 108专题24 极值点偏移之和(x1＋x2)型不等式的证明 112专题25 极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明 116专题26 极值点偏移之其他型不等式的证明 118专题27 单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型 121专题28 单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型 123专题29 单变量恒成立之参变分离后导函数零点不可求型 124专题30 单变量恒成立之同构或放缩后参变分离 127专题31 单变量恒成立之最值分析法 128专题32 单变量恒成立之端点效应非单验悖 133考点一 单变量恒成立端点效应非单验悖之含端点 133考点二 单变量恒成立端点效应非单验悖之不含端点 135专题33 单变量不等式能成立之参变分离法 136专题34 单变量不等式能成立之最值分析法 140专题35 双变量恒成立与能成立问题概述 143考点一 双任意与双存在不等问题 143考点二 存在与任意嵌套不等问题 145考点三 双任意与存在相等问题 146专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析 147考点一 单函数双任意型 147考点二 双函数双任意型 150考点三 任意存在型 152考点四 存在任意型 155考点五 双存在型 157专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题 158专题38 由函数零点或方程根的个数求参数范围问题 160专题01导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x2．导数的运算法则f(x)f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(g(x)≠0)；[g(x)]23．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．2x＋π2cos【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝cosexx；2x＋π(4)y＝ln(2x－5)．[例2](1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝ex．若f′(1)＝e，则a＝________．x＋a4(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于( )A．－sinx－cosx B．sinx－cosx C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数0，π在 2上是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是( )A．x2－xlnx＋x B．x2－xlnx－x C．x2＋xlnx＋x D．x2＋2xlnx＋x【对点训练】1．下列求导运算正确的是()1A．x＋′＝1＋1B．(log2x)′＝1xxln2x22．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinx3．(多选)下列求导运算正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)1C．(x)′＝x2

C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cosx)′＝－2xsinxC．xcosx D．－xcosxB．(sin2x)′＝2cos2xD．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－1x＋4x4．已知函数f(x)＝sinx＋1，则f′(x)＝．cosxx25．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f2019(x)＋f2021(x)＝()A．－2cosxB．－2sinxC．2cosxD．2sinx6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e7．已知函数f(x)＝1＋excosx，若f′(0)＝－1，则a＝．ax－18．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－9D．94410．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝．12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A．12－8ln2B．2C．4D．－21－2ln21－2ln21－2ln213．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()1A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋D．f(x)＝ex＋xx314．f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为()ex＋1A．1B．2C．3D．415．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______．16．分别求下列函数的导数：x2＋1＋13＋－2－xxx2xxlnx1(1)y＝exlnx；(2)y＝xxx3；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln1＋2x．(5)f(x)＝．22x2专题02 曲线的切线方程考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【例题选讲】[例1](1)(2021·全国甲)曲线y＝2x－1在点(－1，－3)处的切线方程为________．x＋2(2)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x(2020·全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．(6)(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则()A．eb<aB．ea<bC．0<a<ebD．0<b<ea(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为．(10)函数y＝x－1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()x＋1A．1B．1C．1D．1842(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．【对点训练】1．设点P是曲线y＝x3－x＋2上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为()33A．0，π5π，πB．2π，πC．0，π2π，ππ，5π∪632∪32D．2612．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为．x3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f(x)＝1－2lnx在点P(1，f(1))处的切线l的方程为()xA．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝05．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝06．(2019·天津)曲线y＝cosx－x在点(0，1)处的切线方程为________．27．已知f(x)＝xex＋a为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0ex处的切线方程为．88．已知曲线y＝1x3上一点P2，，则过点P的切线方程为________．339．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．110．设函数f(x)＝f′2x2－2x＋f(1)lnx，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________．12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A．2B．3C．1D．122413．已知曲线y＝13x3＋43．(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．14．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围．(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为．(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1(5)设曲线y＝x＋1在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则a＝()x－2bA．1B．－1C．3D．－333(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．(7)已知函数f(x)＝x＋a，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是．2x(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．33．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为．6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．7．若函数f(x)＝ax－3的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．x8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝()A．－1B．1C．2D．e－1，09．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线与x轴交于点2，则a＝ ；10．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝ ．11．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则a＝6是直线l与曲线C相切的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．14．已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．专题03 曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝f(x1)－g(x2)．x1－x2注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝1都相切，则l的方程为()x5A．y＝2x＋1B．y＝2x＋1C．y＝1x＋1D．y＝1x＋12222(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为．(3)曲线C1：y＝lnx＋x与曲线C2：y＝x2有________条公切线．(4)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝．(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________．(6)已知曲线f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数a的取值范围为．【对点训练】1．若直线l与曲线y＝ex及y＝－1x2都相切，则直线l的方程为________．4x2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝e的图象相切，则实数a等于()aeeeA．eD．eeB．C．223．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝1处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为x4()A．1B．1C．1D．4424．若f(x)＝lnx与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于()A．1B．2C．3D．3或－15．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．6．已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A．2B．5C．1D．0ex8．若直线y＝kx＋b是曲线y＝的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于()e2ln21－ln2ln2－1ln2A．－B．C．D．22229．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1(x＞0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为________．x10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋1在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为．411．已知曲线y＝ex在点(x1，ex)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)＝()A．－1B．－2C．1D．212．曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________．13．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．14．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减；(2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间∀上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是 x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤1步，确定函数的定义域；2步，求出导数f′(x)的零点；3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D114f(x)四点的横坐标依次为－，－，1，，则函数y＝的单调递减区间是()ex263－1，4B．－1，1C．－1，－1D．(1，2)A．63226(2)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是( )(3)函数f(x)＝x2＋xsinx的图象大致为( )(4)函数f(x)＝x＋21－x的单调递增区间是________；单调递减区间是________．1(5)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．21(6)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()2A．(－1，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)(7)设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A．0，11，1C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)2B．2(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．(9)函数f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－π，π]上的单调递增区间为()22A．[－π，－π]和[0，π]B．[－π，0]和[π，π]C．[－π，－π]和[π，π]D．[－π，π]266662266266(10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝－x＋lnx[例2] 已知函数f(x)＝lnx＋k(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．ex(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【对点训练】1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上

f(x)单调递增

B．在区间(1，3)上f(x)单调递减C．在区间(4，5)上f(x)单调递增

D．在区间(3，5)上f(x)单调递增2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )3．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是( )4．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2．则函数f(x)的大致图象是( )5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )6．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( )ABCD17．函数y＝4x2＋的单调递增区间为()xA．(0，＋∞)1，＋∞C．(－∞，－1)D．－∞，－1B．228．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为．9．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为，单调递减区间为．10．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，1)311．函数y＝x＋＋2lnx的单调递减区间是()xA．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)12．函数f(x)＝xlnx＋x的单调递增区间是()11，＋∞0，，＋∞B．0，eD．ee2A．e2C．ee13．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A．0，1和(1，＋∞)B．(0，1)和(2，＋∞)214．函数f(x)＝x的单调递减区间是________．lnx15．函数f(x)＝excosx的单调递增区间为________．16．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间上单调递增( )

C．0，1和(2，＋∞)D．(1，2)2π3π3π5πA．2，2B．(π，2π)C．2，2D．(2π，3π)17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间为________．18．(多选)若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为()1A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝sinxD．f(x)＝xx19．已知函数f(x)＝1x3＋x2．24，f－43处的切线方程；(1)求曲线f(x)在点－3(2)讨论函数y＝f(x)ex的单调性．20．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．考点二 比较大小或解不等式【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ，f(1)，f－π)53的大小关系为(A．f－ππB．f(1)>f－πππ－πD．f－ππ3>f(1)>f53>f5C．f5>f(1)>f33>f5>f(1)(3)已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝xf(x)，则()11A．glog34＞g(2－3)＞g(2－2)B．glog34＞g(2－2)＞g(2－3)233211C．g(2－3)＞g(2－2)＞glog34D．g(2－2)＞g(2－3)＞glog342332(4)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足1－x≤0，则必有()f′(x)A．f(0)＋f(2)＞2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)＜2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)(5)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为．(6)设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为( )A．(－∞，1)B．－∞，11，＋∞D．(1，＋∞)3C．3【对点训练】1．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为．2．已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)2)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a3．已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．c>b>a14．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f2，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a5．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ．6．已知函数f(x)＝13x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1]1，＋∞C．－1，1D．－1，1B．2227．若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为．8．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋fln1<2f(1)的解集为x．考点三 根据函数的单调性求参数【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间．方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”．(2)函数f(x)在区间D上递增(减)．方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”．【例题选讲】[例4](1)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，2]D．(－∞，2)1(2)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是．2(3)若函数f(x)＝ex(sinx＋a)在区间(0，π)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，－D．(－∞，1]22]x＋4a2－4a，0<x≤a，x＋a(4)若f(x)＝是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()x－xlnx，x>aA．[1，e2]B．[e，e2]C．[e，＋∞)D．[e2，＋∞)112，＋∞(5)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在3上存在单调递增区间，则a的取值范围是．32(6)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．[例5] 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上不单调，求a的取值范围．[例6] 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b．(1)若f(x)与g(x)的图象在x＝1处相切，求g(x)；(2)若φ(x)＝m(x－1)－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．x＋1【对点训练】a1．已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()xA．(－∞，8)B．(－∞，16]C．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)2．已知函数f(x)＝1ax3－x2＋x在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a的取值范围为________．3a23．若y＝x＋(a＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是．x1＋ax214．若函数f(x)＝x2＋在[，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．x35．已知函数f(x)＝sin2x＋4cosx－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[0，3]B．[3，＋∞)C．(3，＋∞)D．[0，＋∞)6．若函数g(x)＝lnx＋1x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是()2A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．(－∞，3]7．已知函数f(x)＝lnx＋(x－b)2(b∈R)在1，2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是________．218．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．29．(多选)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是()A．－3B．－1C．0D．210．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间1，m＋12上是单调函数，求实数m的取值范围．11．已知函数f(x)＝x2＋alnx．(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．12．已知函数f(x)＝ex－axex－a(a∈R)．(1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求a的取值范围；(2)求证：x在(0，2)上任取一个值，不等式1x－ex－11<12恒成立(注：e为自然对数的底数)专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式≤0和>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3] (2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．[例4] 设函数f(x)＝alnx＋x－1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．x＋1【对点训练】3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f(x)＝x－2x＋1－alnx，a>0．讨论f(x)的单调性．5．已知函数f(x)＝(1＋ax2)ex－1，当a≥0时，讨论函数f(x)的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x．若a>0，试讨论函数f(x)的单调性．[例6] 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．[例7] 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋1x－ax＋2(a∈R)．讨论f(x)的单调性．[例8] 已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．[例9] (2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2xx－21，a∈R．讨论f(x)的单调性．【对点训练】6．已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．7．已知函数f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．8．已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．k＋44－29．已知函数f(x)＝klnx＋，其中常数k>0，讨论f(x)在(0，2)上的单调性．x10．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x，且1<a<2，试讨论函数f(x)的单调性．(x＋1)2考点三 导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论函数f(x)的单调性．[例11] 已知f(x)＝(x2－ax)lnx－32x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f(x)的单调性．12．已知函数f(x)＝(x2－2ax)lnx－12x2＋2ax(a∈R)．(1)若a＝0，求f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的单调区间．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，g(x)＝ex·(cosx－sinx＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017·山东)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，gf((xx))”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f′(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f′(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f′(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；f(x)f′(x)xn－nxn－1f(x)xf′(x)－nf(x)(2)若F(x)＝，则F′(x)＝＝．xnx2nxn＋1由此得到结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；f(x)(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝．xn【例题选讲】[例1](1)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)(2)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不x＋2021fx＋20215f5的解集为()等式＜5x＋2021A．{x|x＞－2016}B．{x|x＜－2016}C．{x|－2016＜x＜0}D．{x|－2021＜x＜－2016}(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)(4)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．(5)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则()A．4f(1)＜f(2)B．4f(1)＞f(2)C．f(1)＜4f(2)D．f(1)＞4f′(2)(6)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝f(e)，b＝f(ln2)，eln2f(－3)c＝，则a，b，c的大小关系正确的是()－3A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b【对点训练】1．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2021)2f(x＋2021)－4f(－2)>0的解集为()A．(－∞，－2021)B．(－∞，－2023)C．(－2023，0)D．(－2021，0)2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．4．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为________．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集x2是________________．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，xf′x－fxfx<0恒成立，则不等式>0的解集x2x为()A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－2，0)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)＜0，对任意正数a，b，若a<b，则必有( )A．af(b)＜bf(a)B．bf(a)＜af(b)C．af(a)＜bf(b)D．bf(b)＜af(a)8．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有xf′(x)<f(x)成立，则()A．3f(2)>2f(3)B．3f(2)＝2f(3)C．3f(2)<2f(3)D．3f(2)与2f(3)大小不确定9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则()A．8<f(2)<16B．4<f(2)<8C．3<f(2)<4D．2<f(2)<3f(1)f(1)f(1)f(1)考点二构造F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝enxf(x)，则F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；f(x)f′(x)enx－nenxf(x)f′(x)－nf(x)(2)若F(x)＝，则F′(x)＝＝．enxe2nxenx由此得到结论：(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；f(x)(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝．enx【例题选讲】[例1](1)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>1的解集为．e2x(2)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(exx)<1的解集为________．(3)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为________．(4)设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集为________．(5)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1－f′(x)，f(0)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex－1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(6)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2021为奇函数，则不等式f(x)＋2021ex<0的解集是( )1A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．－∞，e(7)已知定义在R上的偶函数f(x)(函数f(x)的导函数为f′(x))满足f(x)>f′(－x)，则关于x的不等式f(x＋2)>1的解集为()ex

1，＋∞D．ex－12＋f(x＋1)＝0，e3f(2021)＝1，若A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(8)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则( )A．ef(2021)＞f(2022) B．ef(2021)＜f(2022)C．ef(2021)＝f(2022) D．ef(2021)与f(2022)大小不能确定(9)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则( )A．f(2)>e2f(0)，f(2021)>e2021f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2021)>e2021f(0)C．f(2)>e2f(0)，f(2021)<e2021f(0)D．f(2)<e2f(0)，f(2021)<e2021f(0)(10)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是( )A．f(1)＜f(0) B．f(2)＞e2f(0) C．f(3)＞e3f(0) D．f(4)＜e4f(0)【对点训练】1．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)－1ex<0的22解集为()A．－∞，1B．(0，＋∞)1，＋∞D．(－∞，0)2C．22．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝1e，对任意实数x，都有f(x)－f′(x)>0，则不等式f(x)<ex－2的解集为( )A．(－∞，e) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞)3．已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，若f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)＝0，则f(x)＞0的解集为( )A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)4．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，且f(x＋3)为偶函数，f(6)＝1，则不等式f(x)>ex的解集为(

)A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)5．已知函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．|x|x<－1，或x>1|D．{x|x<－1，或0<x<1}6．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋1<f′(x)，f(0)＝2，则不等式f(x)＋1>3ex的解集为()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)7．定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)＋f′(x)<0，则下列各式一定成立的是()A．e2f(2021)<f(2019)B．e2f(2021)>f(2019)C．f(2021)<f(2019)D．f(2021)>f(2019)8．定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)>ex2f(x1)B．ex1f(x2)<ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定9．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则()A．3f(ln2)＜2f(ln3)B．3f(ln2)＝2f(ln3)C．3f(ln2)＞2f(ln3)D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定10．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有()A．e2022f(－2022)<f(0)，f(2022)>e2022f(0)B．e2022f(－2022)<f(0)，f(2022)<e2022f(0)C．e2022f(－2022)>f(0)，f(2022)>e2022f(0)D．e2022f(－2022)>f(0)，f(2022)<e2022f(0)考点三构造F(x)＝f(x)sinx，F(x)＝fx，F(x)＝f(x)cosx，F(x)＝fx类型的辅助函数sinxcosx【方法总结】(1)若F(x)＝f(x)sinx，则F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；(2)若F(x)＝f(x)，则F′(x)＝f′(x)sinx－f(x)cosx；sinxsin2x(3)若F(x)＝f(x)cosx，则F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；f(x)f′(x)cosx＋f(x)sinx(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．cosxcos2x由此得到结论：(1)出现f′(x)sinx＋f(x)cosx形式，构造函数F(x)＝f(x)sinx；(2)出现f′(x)sinx－f(x)cosx形式，构造函数F(x)＝f(x)；sin2xsinx(3)出现f′(x)cosx－f(x)sinx形式，构造函数F(x)＝f(x)cosx；(4)出现f′(x)cosx＋f(x)sinx形式，构造函数F(x)＝f(x)．cos2xcosx【例题选讲】ππ上的奇函数．当x∈[0，π)时，f(x)＋f′(x)tanx>0，则不等式cosxf(x[例1](1)已知函数f(x)是定义在－2，22＋π)＋sinxf(－x)>0的解集为()2π，πB．－π，πC．－π，0－π，－πA．42424D．24(2)对任意的x∈0，π)2，不等式f(x)tanx<f′(x)恒成立，则下列不等式错误的是(ππππππA．f3>2f4B．f3>2f(1)cos1C．2f(1)cos1>2f4D．2f4<3f6(3)定义在0，π)2上的函数f(x)，函数f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立，则(πππππππA．3f4＞2f3B．f(1)＜2f2sin1C．2f6＞f4D．3f6＜f3(4)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈－π，π22满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()ππB．2f－π－πC．f(0)<2fππA．2f3<f43<f44D．f(0)<2f3(5)已知定义在0，π上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)<0成立，则()2ππππππππA．f6＞2f4B．3f6＞f3C．f6＞3f3D．2f6＞3f4(6)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈0，π满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函2数，则下列不等式成立的是()ππππππππA．2f3＜f4B．2f3＞f4C．2f6＞3f4D．2f3＞f6专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四 构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝gf((xx))类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则F′(x)＝f′(x)±g′(x)；(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．g(x)[g(x)]2由此得到结论：(1)出现f′(x)＋naxn－1形式，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b；(2)出现f′(x)±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)；(3)出现f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)出现f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)．g(x)【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)<3，则f(x)>3x＋6的解集为()A．{x|－1<x<1}B．{x|x>－1}C．{x|x<－1}D．R1log2x＋1(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜，则不等式f(log2x)＞的解集为22________．π3π3(3)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)>1，当x∈－，时，不等式f(2cosx)>－2sin2x22的解集为()22π，4πB．－π，4πC．0，πD．－π，πA．3333333(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′(x)＞2x．若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，1]

B．[1，＋∞)

C．(－∞，2]

D．[2，＋∞)(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)<3x－3的解2集是()－1，0B．－∞，－11，＋∞D．－∞，1A．22C．22(6)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为________．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是()A．2f(2)－3f(1)＞5B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋1x＋12211C．f(3)－2f(1)＜7D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋x＋22(8)已知函数f(x)，对x∈，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为(∀)RA．[－2，2] B．[2，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)(9)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数F(x)＝xf(x)＋1的零点个数xx是()A．0B．1C．2D．3exe2(10)函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，当x>0时，f(x)的极值状态是___________．x8【对点训练】1．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋