重庆市普通高等学校招生全国统一考试2024年高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）

重庆市普通高等学校招生全国统一考试2024年高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={1,2,3,4,5}，A．{1,2} B．{2,3} C．2．已知复数z=a+bi，若z=i⋅zA．a+b=0 B．a−b=0 C．ab=0 D．ab=13．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a，b可以分别大致反映这组数据的（）

A．平均数，中位数 B．平均数，众数C．中位数，平均数 D．中位数，众数4．若4cos2A．−2 B．−12 C．1 5．在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)=e−0.97+0.127x1+e−0.97+0.127x，其中x是客户年收入(单位：万元)，P(x)是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是A．0.35 B．0.46 C．0.57 D．0.686．已知f(x)=ln(1+x)−ln(a−bx)是奇函数，则A．y=2x B．y=x C．y=0 D．y=−2x7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD(如图)，BC=1，将其沿BD折起，使得面ABD⊥面BCD，若三棱锥A−BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

A．2π B．7π3 C．8π3 8．已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)−2，f(1)=4且当x>0时，f(x)>2，若存在x∈[1,2]，使得f(axA．0,12 B．12,58二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．下列函数中，其图象关于点π6A．y=sin2x+π3 B．y=sin2x−10．已知椭圆E1：x2+4y2A．E1与E2的长轴长相等 B．E1C．E1与E2的离心率相等 D．E1与E11．已知三棱柱ABC−A1B1C1，D，E，F分别是棱AB，BC，A．棱锥A1−DEF的体积为124V C．多面体A1B1ABEF的体积为51212．若不相等的两个正数a，b满足a2A．a+b>1 B．a+b<43 C．ab>1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为．14．若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若b与a的夹角为锐角，则15．记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=216．已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2=a2(a>0)的左、右焦点，过F2作一直线交C于M，N四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}是等差数列，且a（1）求{a（2）[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]=[1]=1，[−1.5]=[−2]=−2.若bn=2an，Tn18．2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．（1）在100名受调人群中，得到如下数据：年龄了解程度不了解了解30岁以下162450岁以上1644根据小概率值α=0.1的χ2（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．参考公式：①χ独立性检验常用小概率值和相应临界值：

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

x

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828②随机变量X，Y的期望满足：E(X+Y)=E(X)+E(Y)19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=a（1）求tanA（2）若cosBcosC=−5520．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2，∠BAD=45°，PA=PD（1）证明：PB⊥BC；（2）若PA=3，PC=13，求二面角A−PB−C21．已知A(2,2)，B，C是抛物线E：x2=2py上的三点，且直线AB与直线（1）求直线BC的斜率；（2）若直线AB，AC均与圆M：x2+(y−2)2=r2(0<r<322．已知函数f(x)=ex（1）当a=1时，证明f(x)存在唯一的极小值点x0，且f(（2）若函数f(x)存在两个零点，记较小的零点为x1，s是关于x的方程ln(1+x)−cos

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】2x解得：32<x<4，所以集合B={x|3所以A∩B={2,故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法先求出集合B，再根据交集运算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】复数z=a+bi(a,b∈R)，则共轭复数z=a-bi，

所以a−bi=i⋅(a+bi)=−b+ai，

则a=−b-b=a所以a+b=0.故答案为：A.

【分析】利用复数相等的性质即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾），故在这个频率分布直方图内a是平均数，b是中位数，故A正确，C错误.

根据频率分布直方图所示，众数在最高的小长方形内，故排除BD，故答案为：A.

【分析】由中位数和平均数的分布规律的理解，直接求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】由题意sin(π+2α)=-sin2α，

因为4cos2α+所以2cos2α=2(2cos2故答案为：D.【分析】由诱导公式以及二倍角公式化简可得2cos2α=sin5．【答案】C【解析】【解答】根据题意，ln1.35≈0.3，由指数式与对数式互化可得e0故答案为：C.【分析】结合由指数式与对数式互化运算，求得e0.36．【答案】A【解析】【解答】f(x)为奇函数，满足f(0)=0，

所以f(0)=ln(1+0)−ln所以f(x)=ln(1+x)−ln(1−bx)=ln1+x1−bx(b≠−1)，

又因为即ln1+x1−bx+ln1−x1+bx=0，

解得b=±1，由于b≠−1，所以b=1，

所以f(x)=ln(1+x)−ln故f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则故f'(0)=2，故切线方程为故答案为：A【分析】根据奇函数的性质、f(0)=0，以及对数的运算即可求解a，b的值，求导得切线斜率，再由直线的点斜式即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】由题意得，将一副三角板拼接成平面四边形ABCD，BC=1，将其沿BD折起如图所示：

则BD=2，AB=23=63，

面ABD∩面BCD=BD，且AB⊥BD，AB⊂面ABD，

则AB⊥面BCD，因为CD⊂面BCD，所以AB⊥CD，

又因为CD⊥BC，BC,AB⊂面ABC，且所以CD⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，

所以CD⊥AC，取AD中点为O，则AO=DO=BO=CO，

则球心即为AD中点，而AD=2AB=263则球O的表面积为4π×(故答案为：C.【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可得球心即为AD中点，从而可得球的半径，再由球的表面积公式计算即可得出结论.8．【答案】D【解析】【解答】任取x1,x2，且x1<x2，则x2又函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)−2，

因此f(则函数f(x)是增函数，

于是f(ax2−2x)=−1，

令x=y=0令x=−1,y=−1，得f(−2)令x=y=−32，得f(−3原问题即2a=4x−3x2在[1则2a=−3t2+4t=−3(t−23所以a的取值范围是[1故答案为：D【分析】先证明函数f(x)的单调性，再由特殊值法代入函数，求出f(−39．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，y=sin(2x+π3)，令x=对于B，当x=π6时，sin(2×对于C，当x=π6时，cos(2×对于D，当x=π6时，2×π故答案为：BCD【分析】利用特殊值法，把x=π10．【答案】B,C【解析】【解答】椭圆E1：化简得x2a2+由椭圆的标准方程可知，E1的长轴长为2a，短轴长为a，E2的长轴为4a，短轴为E1的离心率为e1=a2因为E1的长轴长与E2的短轴长相等，且E1的焦点在x轴上，E则E1与E故答案为：BC.【分析】将椭圆E1，E11．【答案】B,C【解析】【解答】对A，设三棱柱底面积为S，高为h，三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V如图所示：

则V=Sh则棱锥A1−DEF的体积为对B，因为AF=12AC，DE//AC则四边形ADEF为平行四边形，所以S四边形ADEF则VA对C，因为△CEF∽△A1B1C1，且棱柱上下底面平行如图所示：

并且E，F则线段C1则多面体CEF−C1B则VCEF−所以VA对D，如图所示：

因为S△ADF=S△BDE=S则VA故答案为：BC.【分析】根据棱锥、棱柱和棱台的体积公式，以及求多面体体积的割补法分析即可.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】a2+b因为a，b为不相等的两个正数，所以ab>0，且a≠b，从而(a+b)2−(a+b)>0，解得：因为a≠b，所以ab<(a+b)即(a+b)2−(a+b)<(a+b)综上可知，1<a+b<4ab=(a+b)从而ab<1故答案为：ABD【分析】先将等式化简为(a+b)2−(a+b)=ab，结合基本不等式即可求a+b的取值范围，再根据a+b的取值范围，求13．【答案】1【解析】【解答】由题意，编号为1，2的黑球中取一个，有C21种，

编号为1，2，3的白球中取一个，有C31种，

所以取出的球颜色不同的取法数有当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白球，1种取法；当选编号为2的黑球时，可以选编号为1，3的白球，2种取法；即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有1+2=3种，所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为P=3故答案为：12【分析】由分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及组合数公式计算古典概率即可.14．【答案】1,3【解析】【解答】由题意得：b与a的夹角为锐角，所以cos〈a,又|a|=1，因为0<cos则0<2cos1<1+2cos所以a⋅所以a⋅(a故答案为：(【分析】根据向量的数量积的定义求解即可.15．【答案】-4【解析】【解答】Sn=2an+λ，

当n=1当n≥2,n∈N所以Sn所以{Sn−λ}所以Sn−λ=−λ2又因为S6=λ(1−2故答案为：−4.【分析】令n=1求得a1=−λ，利用an和Sn关系得等比数列{S16．【答案】2【解析】【解答】由题意得如图所示：

设点M(x1,y1),N(x2,y显然直线MN的倾斜角为60°，斜率为3，方程为y=3由y=3(x−c)x2−则x1+x2=32a显然x1>0,x2>0，

则△MNF所以双曲线C的焦距2c=22故答案为：2【分析】设出M,N坐标，利用双曲线方程可得c=2a，求出直线17．【答案】（1）解：设{an}的公差为d，由题意，得a1+4d=1，2a1+16d=−2，

所以（2）解：由题意，[a1]=3，[a2]=[a3]=2，[a4]=[a5【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可，（2）根据an=−n+72，用列举法求得18．【答案】（1）解：零假设H0：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立，

由题意得χ2=10016×44−16×24240×60×32×68=100（2）解：设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y，

因为X服从B(5,0.8)，E(X)=5×0.8=4．

由题意，Y的可能取值为1，2，3，

PY=1=C31C22【解析】【分析】（1）计算出χ2（2）用X、Y分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出E(X)、E(Y)，由E(X+Y)=E(X)+E(Y)即可求解.19．【答案】（1）解：由题意三角形面积S=a2sinBsinCcosA=12absinC，

因为a和b均不等于0，sin（2）解：由(1)sinA=12cosA以及sin2A+cos2A=1得sinA=55，cosA=255

所以【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式以及正弦定理的边角互化即可求解；（2）根据（1）的tanA=12，可求出sinA和cosA的值，再根据三角形内角和公式可得cos20．【答案】（1）证明：取AD中点O，连接OB，OP如图所示：

△PAD中，因为PA=PD，所以OP⊥AD．

△AOB中，因为AB=2，AO=12BC=1，∠BAD=45∘，

由余弦定理，得OB=1，所以OB2+AO2=AB2，即OB⊥AD．

因为OP，OB是平面BOP内的两条相交直线，

所以AD⊥平面BOP．

（2）解：由(1)知，PB⊥BC，所以PB2=PC2−BC2，则PB=3，

又PO=PA2−AO2=22，PO2+OB2=9=PB2，所以PO⊥OB．

因为OP⊥AD，AD,OB是平面ABCD内的两条相交直线，

所以PO⊥平面ABCD．

如图，建立空间直角坐标系O−xyz，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−2,1,0)，D(−1,0,0)，P(0,0,22).

则AB=(−1,1,0)，PB=(0,1,−22)，BC【解析】【分析】（1）作出辅助线，取AD中点O，先证明OB⊥AD，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.21．【答案】（1）解：因为点A(2,2)在抛物线E:x2=2py上，所以p=1，

所以抛物线E的方程为：x2=2y．

设B(x1,x122)，C(x2,（2）解：解：由(1)设直线BC的方程为y=−2x+m，代入x2=2y，

消去y得：x2+4x−2m=0则△=16+8m>0，

x1+x2=−4，x1x2=−2m，

因为直线BC被圆M截