人教版七年级数学下册教案第十章二元一次方程组

14/14人教版七年级数学下册教案第十章二元一次方程组10.1二元一次方程组的概念一、教学目标【知识与技能】1.了解二元一次方程（组）及其解的概念.

2.会检验一对数是不是某个二元一次方程（组）的解.3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程（组）.【过程与方法】经历分析实际问题中数量关系的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型.类比一元一次方程认识二元一次方程、二元一次方程组，通过自由思考与小组合作交流，培养学生的探究能力.【情感态度与价值观】培养学生的发现意识和探究习惯，体会方程组刻画现实数量关系的优越性和数学的应用价值.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】 1.掌握二元一次方程、二元一次方程组及其的解的概念.2.判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程、二元一次方程组的解.【教学难点】引导学生运用“实际问题——数学问题”的建模意识来理解和探索二元一次方程的解.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2

棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2

棉田的采摘，小型采棉机1h教师问：这个问题中有几个未知数，你能用学过的一元一次方程解决此问题吗？（二）探索新知1.出示课件4-8，探究二元一次方程的概念教师问：说一说这个题目该如何进行解答？学生答：列方程解答.教师问：想一想，如果设一个未知数(比如设租用大型采棉机x台),根据题意该怎样列方程？师生共同解答：设租用大型采棉机x台，则租用小型采棉机（6-x）台，分析如下表：大型小型合计采棉机数量/台x（6-x）61h采摘面积/hm22x（6-x）8教师问：根据上表你能列出方程吗？学生答：2x+（6-x）=8.教师问：思考能不能直接设两个未知数(比如设租用了x台大型采棉机,y台小型采棉机),让列方程更容易呢？师生共同分析.容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数,大型采棉机1h采摘面积+小型大型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.教师问：根据这两个相等关系你能列出方程吗？学生答：由题意得到方程：x+y=6，2x+y=8.教师问：观察这两个方程是一元一次方程吗？为什么？学生答：不是.因为方程中有两个未知数x和y，而一元一次方程应该只有一个未知数.教师问：说一说这两个方程有什么共同特点？学生1答：这两个方程含有两个未知数.学生2答：方程中含有未知数的项的次数都是1.教师提出表扬并总结：含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.教师问：接下来同学们想一想二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处呢？学生1答：两种方程里含未知数的项的次数都是1.学生2答：含未知数的个数不同.一元一次方程只有一个未知数，二元一次方程里面含有两个未知数.教师提出表扬并总结：两位同学总结的很好！二元一次方程与一元一次方程的不同点：含未知数的个数不同；相同点：都是一次方程.考点1：二元一次方程的判断（出示课件9）判断下列方程是否为二元一次方程：（1）3y-2x=z+5；（2）y+12x（3）x2+y=0;（4）x=2y+（5）x+y3-（6）3-2xy=1;（7）4x+π=0;（8）2x=1-3y.学生独立思考后，师生共同解答.解：二元一次方程是含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的方程.（1）含有三个未知数，不是.（2）不是等式，不是.（3）x的次数是2，不是.（4）整理化解后为xy=2+y，xy项的未知数次数为2，不是.（5）符合二元一次方程的定义，是.（6）-2xy项的次数是2，不是.（7）只含有一个未知数，不是.（8）符合二元一次方程的定义，是.方法点拨：（出示课件10）判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：根据二元一次方程的定义求字母的值（出示课件12）

已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．学生独立思考后，师生共同解答.解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.答案：0教师总结此类题目解题方法：由方程是二元一次方程可知：(1)未知数的系数不为0；(2)含有未知数的项的次数都是1.出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件14-17，探究二元一次方程组的定义教师问：在方程x+y=6和2学生答：两个方程x都表示租用大型采棉机的数量，y都表示租用小型采棉机的数量.教师总结：因为未知数的含义相同，所以我们可以这样联立起来，得到如下形式：x+教师问：你能试着给出描述这种方程形式吗？学生答：两个二元一次方程放在一起就是二元一次方程组.总结点拨：像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.教师问：根据二元一次方程组的定义，说一说下列哪些是二元一次方程组？（1）x+y=2,（2）x+（3）x=0,（4）z=x+1,（5）x-3y=8,（6）3x=5y,师生共同讨论解答如下：解：（1）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是.（2）第一个方程不是整式方程，不是.（3）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是.（4）方程组中共含有三个未知数，不是.（5）第二个方程中含xy的次数是2，不是.（6）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是.教师问：通过练习，请你说说二元一次方程组有哪些特点？师生一起总结：二元一次方程组有以下特点：①方程组中共有2个不同未知数；

②方程组有2个一次方程；

③一般用大括号把2个方程连起来.

考点3：二元一次方程组的判断（出示课件18）

在方程组①2x-y=1,y=3x+1③x+y=0,3x-y=5，A.1个B.2个C.3个D.4个教师提示：三个要素含有两个未知数含有未知数的项的次数为1学生独立思考后，师生共同解答.解析：①②③方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组；④方程组中第一个方程中xy的次数是2，不是一次方程，所以不是二元一次方程组；⑤方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组；⑥方程组中第一个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组．只有①②③⑤满足．故选D.答案：D师生共同归纳：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件20-21，探究二元一次方程的解的定义教师问：满足课堂开始采棉问题中的方程x+y=6，且符合问题的实际意义的x,y值有哪些？把它们填入表中.xy教师提示，学生依次回答：x12345y54321教师问：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？学生1答：x,y还可取到一个正数和一个负数,如x=-1,y=7等.学生2答：x,y还可取到小数,如x=0.5,y=5.5等.教师问：这些值是有限的吗？学生答：这些值是无限的，有无数组这样的值.师生总结点拨：二元一次方程解的定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作这个二元一次方程的解.教师问：说一说，怎么判断一对数值是不是二元一次方程的解呢？学生答：把这对数值代入到原方程对应的未知数中，看看是否满足.教师提出表扬并总结：判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.教师提示:一般情况下,二元一次方程有无数个解,但如果对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.出示课件22，学生自主练习后口答，教师订正.4.出示课件23-24，探究二元一次方程组的解的定义教师出示问题：方程x+y=6中,符合实际意义的x,y的值有哪些?把它们填入表格中.xy学生依次回答：填写如下表：x12345y54321教师问：再找出方程2x+y=8的符合实际意义的解,并用表格罗列.学生依次回答：填写如下表：x123y642教师问：第1个表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=8？学生答：x=2，y=4还满足方程2x+y=8．教师讲解：x=12，y=4即满足方程2x+y=8，也满足方程x+y=6．它是方程x+y=6与方程2x+y=8的公共解，记作x=2,联系前面的实际问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.师生总结：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫作二元一次方程组的解.出示课件25，学生自主练习后口答，教师订正.考点4：利用二元一次方程组的解求字母的值已知二元一次方程组2x-ay=6，bx+6y=-1的解是x=1，y=-2，求a与学生独立思考后，师生共同解答.解：把x=1y=-22×1解得a=2,b=11.总结点拨：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解.出示课件27，学生自主练习后口答，教师订正.考点5：根据实际问题列二元一次方程组对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务，这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？（出示课件28）师生共同分析.（出示课件29）教师问：此题中的等量关系是什么？学生答：改进加工方法前的天数＋改进加工方法后的天数＝8天，改进加工方法前加工的黄桃＋改进加工方法后加工的黄桃＝28t.教师问：怎么列方程呢？学生答：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，用方程把这些等量关系表示出来：①x+y=8,②2x+4y=28.教师共同解答.（出示课件30）解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天.根据题意，得根据问题的实际意义，可知是该问题的解.答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.出示课件31，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件32-38）练习课件第32-38页题目，约用时20分钟（四）课堂小结（出示课件39）二元一次方程组二元一次方程（组）的概念含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组二元一次方程（组）的解的概念使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作这个二元一次方程的解根据实际问题列二元一次方程组（五）课前预习预习下节课10.2.1的相关内容.知道消元、代入消元法的定义和会利用代入消元法解二元一次方程组.课后作业1、教材第90页习题10.1.2、七彩课堂第275页习题.板书设计1.知识梳理二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(二元一次方程及其解的定义,二元一次方程组及其解的定义,列二元一次方程组))2.考点讲解考点1考点2考点3考点4考点5教学反思成功之处：通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解.不足之处：对二元一次方程组的认识需要加强，有的学生认为两个方程必须都是二元一次方程才可以，需要让学生明白2x+7y=6,x=8和10.2.1代入消元法一、教学目标【知识与技能】1.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.2.了解解二元一次方程组的基本思路.3.初步体会化归思想在数学学习中的运用.【过程与方法】通过观察、验证、讨论、交流的学习方式经历代入法的消元的过程，体会到转化的作用，发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力.【情感态度与价值观】1.了解消元思想和化未知为已知的化归思想，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心.2.培养学生的合作交流，自主探索的良好习惯.3.在用方程组解决实际问题的过程中，体会数学的实用性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用代入法解二元一次方程组.【教学难点】探索如何用代入法将“二元”化为“一元”的消元过程.五、课前准备 教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2

棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2（1）如果设租用了x台大型采棉机，那么就租用了(6-x)台小型采棉机.可得一元一次方程2x+(6-x)=8.（2）如果设租用了x台大型采棉机，租用了y台小型采棉机.可得二元一次方程组那么怎样解这个二元一次方程组呢？（二）探索新知1.出示课件5-8，探究代入消元法解二元一次方程组教师问：一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？

学生答：根据下图,列式如下：y=x+10，①x+y=200.②把①带入②从而得到x+（x教师问：你知道如何解y=x+10，①x+y=200学生答：解的步骤如下：教师问：观察上面的解答过程，你发现了什么？学生答：化未知为已知，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解答.教师总结并提问：将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.你能写出方程组y=x+10，①x+y=200师生共同解答.解：y=x+10，把①代入②，得x+(x+10)=200③,解③得x=95，把x=95带入①得y=105，∴方程组y=x+10，①x+y=200②教师问：前面我们学过求方程的解的过程叫作解方程，上面的过程叫做什么呢？学生答：求方程组解的过程叫作解方程组.教师总结：解二元一次方程组的基本思路“消元”消元消元转化二元一次方程组一元一次方程转化定义：用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.考点1：利用代入消元法解较简单的二元一次方程组解方程组2x+3y=16，①x+4y=13.②学生独立思考后，师生共同解答.解：由②，得x=13-4y.③

将③代入①，得2（13-4y）+3y=16，

解这个方程，得y=2.

将y=2代入③，得x=5.

所以原方程组的解是x=5，y=2.

归纳总结：（出示课件10）解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.出示课件11-14，学生自主练习，教师给出答案.考点2：利用代入消元法解较复杂的二元一次方程组解方程组（出示课件15）学生独立思考后，师生共同分析.方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.代入消元法的思路：（出示课件16）教师问：解这个方程组时，可以先消去y吗？（出示课件17）学生答：解：由①，得③将③代入②，得解这个方程，得把代入③，得所以这个方程组的解是方法点拨：（出示课件18）用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.出示课件19-20，学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件21-22，探究列二元一次方程组解决实际问题教师出示问题：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？教师问：题目中有哪些等量关系？学生1答：送120件的报酬+揽45件的报酬=270，学生2答：送90件的报酬+揽25件的报酬=185.教师总结如下：等量关系：(1)送120件的报酬+揽45件的报酬=270，（2）送90件的报酬+揽25件的报酬=185.教师问：你会解答这个问题吗？学生独立思考后，师生共同解答.解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.根据题意，可列方程组由②，得把③代入①，得解这个方程，得把代入③，得所以这个方程组的解是答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.归纳总结：（出示课件23）利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：（1）依题意，找等量关系；（2）根据等量关系设未知数；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.出示课件24-26，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件27-34）练习课件第27-34页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件35）代入消元法解二元一次方程组基本思路“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤列二元一次方程组解决实际问题（五）课前预习预习下节课10.2.2的相关内容.知道加减消元法的定义和会用加减消元法解二元一次方程组.课后作业1、教材第99-100页习题10.2第1,2,4,5,8,9,12题.2、七彩课堂第276页习题.板书设计1.知识梳理代入法解二元一次方程组基本思路“消元”2.考点讲解考点1考点2教学反思成功之处：回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.不足之处：对于未知数的系数都不是1的方程，在系数化为1时，学生不易掌握，移项时容易出符号的错误，这些都是需要加强的地方.10.2.2加减消元法一、教学目标【知识与技能】1.掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤.2.熟练运用消元法解简单的二元一次方程组.3.培养学生的分析能力，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组.【过程与方法】通过经历代入消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、讨论和交流让学生理解并掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.【情感态度与价值观】针对一系列的发现问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用加减法解二元一次方程组.【教学难点】加减消元法的基本思想，提高学生分析问题和解决问题的能力.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,宽为ycm，可列出的二元一次方程组是x-y=5，上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（二）探索新知1.出示课件4-11，探究加减法解二元一次方程组教师问：怎样解下面的二元一次方程组呢？3x学生答：把②变形得x=5y-112,代入①，不就消去x了！

学生答：把②变形得5y=2x+11,可以直接代入①呀！教师问：还有更好的解法吗？学生答：利用代入法应该没有了吧？教师问：观察未知数的系数，有什么发现吗？学生答：5y和-5y的系数互为相反数.教师问：互为相反数的两个数的和为多少呢？学生答：互为相反数的两个数的和为0.教师问：由此可得到什么呢？学生答：（3x＋5y）+（2x－5y）=5x.教师问：根据等式的性质：①左边+②左边=①右边+②右边，我们可以得到？学生答：（3x＋5y）+（2x－5y）＝21+(－11).教师问：合并同类项得什么呢？学生答：5x=10.教师问：所以我们可以这样解二元一次方程组，你能梳理以下步骤吗？师生一起解答：3x+5y+2x－5y＝10，5x+0y＝10，

5x＝10，x=2.把x＝2代入①，得y＝3，所以3x+5y=21,教师问：参考上面的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？师生共同解答.分析：观察方程组中的两个方程，未知数y的系数相等，即都是1．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数y，得到一个一元一次方程．解：②-①,得把代入①，得解得所以原方程组的解是教师问：上面这些方程组的特点是什么？学生答：同一个未知数的系数相同或互为相反数.教师问：解这类方程组的基本思路是什么？学生答：加减消元：二元一次方程组转化为一元一次方程.教师问：主要步骤有哪些？学生答：主要步骤：加减消去一个元；求解分别求出两个未知数的值；写解写出原方程组的解.考点1：加减法解系数相等的二元一次方程组解下列二元一次方程组（出示课件12）2x-5y=7,学生独立思考后，师生共同解答.分析：方程①,②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.解：②-①,得8y=-8解得y=-1.把y=-1代入①，得2x+5=7,解得x=1.所以方程组的解为x=1,y=-1.出示课件13-14，学生自主练习，教师给出答案.考点2：加减法解系数为相反数的二元一次方程组解方程组:(出示课件14)3x学生独立思考后，师生共同解答.分析：同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加.解：①+②,得18x＝10.8,x＝0.6.把x＝0.6代入①，得3×0.6+10y＝2.8,解得y＝0.1.所以这个方程组的解是x=0.6,出示课件16-17，学生自主练习，教师给出答案.教师问：如何利用加减消元法把二元一次方程转化为以一元一次方程呢？教师依次展示学生答案：学生1答：当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数时，可以把方程的两边分别相加来消去这个未知数,得到一个一元一次方程.学生2答：当方程组中两个方程的某个未知数的系数相等时,可以把方程的两边分别相减来消去这个未知数,得到一个一元一次方程.教师总结点拨：（出示课件18）当二元一次方程组的两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)，就可以消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法,叫作加减消元法,简称加减法.考点3：加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组用加减法解方程组：（出示课件19）2x教师问：上面的方程未知数的系数有相等的吗？学生答：没有.教师问：上面的方程未知数的系数有互为相反数的吗？学生答：没有.教师问：看一下系数有何特点？学生答：y的系数的绝对值成倍数关系.教师问：这样的如何处理呢？学生答：可以通过乘以一个数，把系数变为相等或互为相反数.教师问：如何解这个二元一次方程组呢？学生独立思考后，师生共同解答.解:①×2,得4x-6y＝8.③

③+②,得7x＝14,x＝2.

把x＝1代入①，得：y＝0.

∴原方程组的解是x=2,y=0.师生共同归纳：（出示课件20）同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的性质，找系数的最小公倍数，使得未知数的系数相等或互为相反数.出示课件21-22，学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件23-24，探究列二元一次方程组解决实际问题我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？教师问：题目中有哪些等量关系？学生1答：5头牛的价钱+2只羊的价钱=值金10两.学生2答：2头牛的价钱+5只羊的价钱=值金8两.教师总结如下：题目中存在的两个等量关系：（1）5头牛的价钱+2只羊的价钱=值金10两；（2）2头牛的价钱+5只羊的价钱=值金8两.教师问：你会解答这个问题吗？学生独立思考后，师生共同解答.解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.根据题意，得①2，得②5，得④-③，得把代入①，得所以这个方程组的解为答：每头牛和每只羊分别值金两和两.归纳总结：（出示课件25）利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：（1）依题意，找等量关系；（2）根据等量关系设未知数；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.出示课件26，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件27-32）练习课件第27-32页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件33）加减法解二元一次方程组基本思路“消元”加减消元法解二元一次方程组的一般步骤列二元一次方程组解决实际问题（五）课前预习预习下节课（10.3第1课时）的相关内容.知道列二元一次方程组解应用题的一般步骤.课后作业1、教材第99-100页练习第3,6,7,10,11题.2、七彩课堂第227页习题.板书设计1.知识梳理用加减法解二元一次方程组的步骤：①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；②加减消元；③解一元一次方程；④求另一个未知数的值，得方程组的解．2.考点讲解考点1考点2考点3九、教学反思成功之处：进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力.自我反思：找未知数系数的最小公倍数是难点，学生不易掌握，需要反复思考，多次训练才能逐渐掌握，所以需要课下多做练习.10.3实际问题与二元一次方程组

第1课时一、教学目标【知识与技能】1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.【过程与方法】通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会方程解决问题的优越性.【情感态度与价值观】进一步培养学生建模解决实际问题的能力，培养严谨缜密的思维习惯，继续渗透方程的数学思想.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程组解决实际问题．【教学难点】准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性．五、课前准备 教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？（二）探索新知1.出示课件4-6，探究列二元一次方程组解答较简单问题教师出示问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg，每头小牛1天需饲料7~8kg.你认为李大叔估计的准确吗？教师问：题中有哪些未知量？学生答：每头大牛1天约用的饲料;每头小牛1天约用的饲料.教师问：你如何设未知数？学生答：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.教师问：题中有哪些等量关系？教师依次展示学生答案：学生1答：30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg.学生2答：(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg.教师总结如下：(1)30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg；(2)(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg.教师问：你能解答上面的问题吗？师生共同解答.解:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.根据等量关系，列方程组30x+15y=675,42x+20y=940.解方程组，得x=20,答:每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计大牛1天需饲料18~20千克，每头小牛1天需饲料7~8千克与计算有一定的出入.教师问：你能总结一下列方程解应用题的步骤吗？师生共同解答：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．考点1：列二元一次方程组解答数量问题医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?（出示课件7）学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件8-9）解：设每餐甲、乙原料各x克，y克.则有下表:甲原料x克乙原料y克所配的营养品其中所含蛋白质0.5x0.7y35其中所含铁质x0.4y40根据题意,得方程组0.5化简,得5解这个方程组，得x=28,答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.归纳总结：（出示课件10）用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；(2)设元：用字母表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件12-17，探究列二元一次方程组解答几何问题教师出示问题：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？教师问：你能把上面的问题转化为数学语言吗？师生共同解答：已知：长方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.

教师问：这里研究的实际上是什么问题？学生答：长方形的面积分割问题.教师问：把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？师生共同解答：我们可以画出示意图来帮助分析：教师依次展示学生答案：学生1答：方法1：竖着画，把长分成两段，则宽不变；学生2答：方法2：横着画，把宽分成两段，则长不变.教师问：方法1如何分割长方形呢？学生答：竖着画，把长分成两段，则宽不变，教师问：等量关系式有几个？学生答：1.大长方形的长=200m；2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.

教师问：方法1如何解答呢？学生答：因为宽不变，求出长方形边长比即可.教师问：如何设未知数呢？学生答：设AE＝xm，BE＝ym.则列方程为x+y=200.

教师问：怎样使甲、乙两种作物总产量比=3:4.

师生一起解答：先求出两种作物的面积.

教师问：长方形ADFE和长方形BCFE的面积分别为多少？学生答：SAEFD=100x，SEFCB=100y.教师问：总产量如何算出来呢？学生答：总产量=单位面积产量×面积教师问：怎么求出两种作物的总产量？学生答：甲：100x×1；乙：100y×2.教师问：你能列出方程吗？学生答：100x:200y=3:4

教师问：你觉得该如何答题比较完整呢？

师生一起解答：解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.

设AE＝xm，BE＝ym.

根据题意,列方程组为x+y=200,解这个方程组，得x=120,答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的

两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.

教师问：方法2如何解答呢？师生共同解答.解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F.设DE＝xm，AE＝ym.根据题意列方程组为x+y=100,200x:400y=3:4.解得：x=60,答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.考点2：列二元一次方程组解答几何问题某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）（出示课件18）学生独立思考后，师生共同解答.解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2.根据题意,得解这个方程组，得x答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件20-23，探究列二元一次方程组解答行程问题.教师出示问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？

教师问：你能描述一下小华的行程吗？学生答：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.（如下图所示）

教师问：你能找出题目中的数量关系吗？教师依次展示学生答案：学生1答：走平路的时间+走下坡路的时间=__10_.学生2答：走上坡路的时间+走平路的时间=__15__．教师总结如下：走平路的时间+走下坡路的时间=__10__，

走上坡路的时间+走平路的时间=__15__．教师问：行程问题中有什么等量关系？学生答：路程=平均速度×时间.教师问：你会解答这个问题吗？师生共同解答.方法一（直接设元法）解：设小华家到学校平路长xm，下坡路长ym.平路时间坡路时间总时间上学xy8010放学x60y15根据题意，可列方程组解这个方程组，得300+400=700（m）.所以小华家离学校700m.方法二（间接设元法）解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.

平路距离坡路距离上学60（10-x）80x放学60(15-y)40y根据题意，可列方程组解这个方程组，得故平路距离：60×（10-5）=300（m）,坡路距离：80×5=400（m）,300+400=700（m）.答：小华家离学校700m.考点3：列二元一次方程组解答行程问题张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？（出示课件24）学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件25）分析：如下图（1）、（2）所示.

解：设张强、李毅每小时各走x,y千米.根据题意，得0.5解这个方程组，得x答：张强、李毅每小时各走4,5千米.出示课件26-28，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件29-35）练习课件第29-35页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件36）二元一次方程组的应用应用简单的实际问题几何问题行程问题步骤1.审题：弄清题意和题目中的数量关系2.设元：用字母表示题目中的未知数3.列方程组:根据2个等量关系列出方程组4.解方程组：代入法、加减法5.检验作答（五）课前预习预习下节课（10.3第2课时）的相关内容.会利用二元一次方程组解答较复杂的问题.课后作业1、教材第102页练习第2,3题,第103页练习题.2、七彩课堂第278页第2,3,4,5题.板书设计1.知识梳理列方程组解决问题eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(一般步骤：审、设、列、解、验、答,关键：找等量关系))2.考点讲解考点1考点2考点3九、教学反思成功之处：通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.不足之处：利用二元一次方程组解答实际问题，找出题目中的数量关系是关键，这是学生解答应用问题的难点，课上学生实际操作有点少，需要课下继续训练，提高学生分析问题的能力.10.3实际问题与二元一次方程组

第2课时一、教学目标【知识与技能】1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程，提高运用方程组解决问题的能力.【过程与方法】学生已经会初步分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题，这节课主要通过自主探究和合作讨论让学生进一步熟练解题过程和方法.【情感态度与价值观】培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值．二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】用列表的方式分析题目中的各个量的关系.【教学难点】借助列表分问题中所蕴含的数量关系.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？2.把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪些折法？

（二）探索新知1.出示课件4-13，探究列二元一次方程组解答较复杂问题教师出示问题：如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？教师问：要求“这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？学生答：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．教师问：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？学生1答：一类是公路运费，铁路运费，价值；学生2答：另一类是原料数量，产品数量．教师问：你能完成教材上的表格吗？xt长绒棉yt纺织面料合计公路运费/元铁路运费/元价值/元学生答：填写表格如下：xt长绒棉yt纺织面料合计公路运费/元0.5×10x0.5×20y0.5(10x+20y)铁路运费/元0.2×120x0.2×110y0.2(120x+110y)价值/元30800x42500y教师问：观察上表，你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？师生共同解答.解：先化简，得由①，得③把③代入②，得解得把代入③，得解这个方程组，得答：购买了400t长绒棉，制成320t纺织面料.教师问：这个实际问题的答案是什么？学生答：销售额：42500×320=13600000元；原料费：30800×400=12320000元；运输费：5200+16640=21840元．13600000-12320000-21840=1258160元．这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元．教师问：在什么情况下考虑选择设间接未知数？学生答：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．教师问：如何更好地分析数量关系比较复杂的实际问题？师生共同解答.考点1：列二元一次方程组解答运费问题某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送．如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？（出示课件14）学生独立思考，师生共同解答.解：设甲种汽车有x辆，乙种汽车有y辆.根据题意，得解得所以（元）.答：该公司运送这190台家电后的总运费是1800元.出示课件15-16，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：列二元一次方程组解答利润问题某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成(1)你认为哪种方案获利最多,为什么?(2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?（出示课件17）学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件18）学生1解：解法一：方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利2000×4=8000(元).其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元),∴共获利:8000+2500=10500(元).方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天根据题意,得方程组x+y=4,x+3y=9.解这个方程组，得x=1.5,∴共获利:1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000(元).

学生2解：解法二：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶，

根据题意,得方程组x+y=9,x1解得：∴共获利:1.5×2000+7.5×1200=3000+9000=12000(元).出示课件19-20，学生自主练习后口答，教师订正.考点3：列二元一次方程组解答配套问题某车间每天能生产甲种零件600个或乙种零件300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内的生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？（出示课件21）学生独立思考后，师生共同解答.解：设甲零件生产x天，乙零件生产y天，则丙零件生产（63-x-y)天，根据题意，得600x=300y,600x=500解这个方程组，得x=15,y=30.所以63-x-y=18.答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、30天和18天.出示课件22-23，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件24-32）练习课件第24-32页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件33）通过本课时的学习，需要我们掌握：1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.（五）课前预习预习下节课10.4的相关内容.知道三元一次方程、三元一次方程组的定义及会解三元一次方程组.课后作业1.教材第104页练习.2.七彩课堂第278页第1,6,7题.板书设计1.知识梳理列二元一次方程组解答较复杂问题运费问题2.考点讲解考点1考点2考点3九、教学反思成功之处：通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们节约和有效合理利用资源的意识.不足之处：当题目中数量关系比较多，情况比较复杂时，通过列表格找关系直观明了，容易理解，但是学生往往不会画出表格，需要老师细心讲解，耐心指导，因为在课上练习讲解不够，所以课后还需要加强.10.4三元一次方程组的解法一、教学目标【知识与技能】1.了解三元一次方程组的概念.2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.3.会解较复杂的三元一次方程组.【过程与方法】在学习解三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想【情感态度与价值观】让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.三元一次方程组的解法.2.三元一次方程组的应用.【教学难点】三元一次方程组的应用.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）1.解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法2.解二元一次方程组的基本思路是什么？化二元为一元【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？（二）探索新知1.出示课件4-7，探究三元一次方程组的概念教师出示问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2，按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.那么这支球队胜、平、负各多少场？教师问：题目中有几个条件？学生答：题目中共有3个条件.教师问：问题中有几个未知量？学生答：问题中有3个未知量.教师问：题目中有哪些数量关系呢？教师依次展示学生答案：学生1答：胜的场数+平的场数+负的场数=22.学生2答：胜的分数+平的分数+负的分数=47.学生3答：胜的场数=负的场数×4+2.教师总结如下：（1）胜的场数+平的场数+负的场数=22.（2）胜的分数+平的分数+负的分数=47.（）胜的场数=负的场数×4+2.教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？学生答：如下表所示.比赛结果场数分数胜x3x平yy负z0合计2247注胜的场数比负的场数的4倍多2，即x=4z+2教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？师生共同解答.在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，根据题意,可以得到下列三个方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成x+y+z=22,3x+y=47,教师问：这个方程组含有几个未知数呢？学生答：这个方程组中含有3个未知数.教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.教