中考高频压轴题突破-二次函数与角度

中考高频压轴题突破一二次函数与角度

1.如图，顶点为（/«>0）的二次函数图象与X轴交于点4（2/几0）,点8在该

图象上，直线08交二次函数图象对称轴/于点/，点历、N关于点P对称，连接RV、

（1）求该二次函数的关系式（用含，〃的式子表示）.

（2）若点B在对称轴/右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接0P，当=时，请判断.NCE的形状，并说明理由.

②求证：/BNM=/ONM.

2.如图1,已知抛物线y=f-1与x轴交于A,8两点，与y轴交于点Q.

（1）求直线8。的解析式；

（2）尸为抛物线上一点，当点P到直线B。的距离为2a时，求点P的坐标：

（3）如图2,直线>=/交抛物线与M,N两点,C为抛物线上一-点，当NMC7V=9O。时,

请探究点C到MN的距离是否为定值.

图1图2

3.已知，点4133），点4（4,3）和抛物线y=泊将抛物线y=[/沿着），轴方

向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示.

(1)平移后的抛物线是否经过点8(4,3)?说明你的理由；

(2)在平移后的抛物线上且位于直线A8下方的图像上是否存在点/),使S%H=7?若

存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线尸-2的垂线，垂足为N,连接

OM、ON,当NMON=60。时，求点M的坐标.

4.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(cvO)的顶点为A,

且与y轴的交点为B.过点B作区轴交抛物线于点G-4.-4),在CB延长线上取点

D,使BD=LBC,连接OC,OD,AC和AD.

2

试卷第2页，共10页

(1)求抛物线的解析式；

(2)试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；

(3)试探究在抛物线上是否存在点P,使得/尸0。=45。.若存在，请求出符合条件的

点P的坐标：若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点0出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的

速度运动秒，抛物线y=Y+〃x+c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶

点为八(1,0)、4(1,5)、£>(4,0).

(1)求c、b(用含t的代数式表示)；

(2)嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他

的说法对吗？

(3)当4</<5时，设岫物线分别与线段AB、CD交于点M、N.

①在点P的运动过程中，你认为NAMP的大小是否会变化？若变化，说明理由：若不

变，求出/AMP的值；②在矩形ABCD的内部(不含动界)，把横、纵华标都是整数

的点称为“好点:若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值

范围.

6.如图1,直线/：y=r+2与)，轴相交于点A,抛物线。：y=(x-l)2+”也经过点4,

其顶点为B.将该抛物线沿直线/平移使顶点8落在直线/上的点。处，点。的横坐标

为〃

（1）求点8坐标;

（2）求平移后的抛物线人的解析式（用含〃的式子表示）；

（3）若平移后的抛物线人与原抛物线。相交于点C,且点C的横坐标为a.

①请求出。关于〃的函数关系式；

②如图2,连接47、CD,若/ACD=90。，求a的值.

7.如图，抛物线yuad+Zx+cSVO）与X轴交于点A和点8（点A在原点的左侧，点B

在原点的右侧），与）'轴交于点C,OB=OC=3.

（I）求该抛物线的函数解析式.

（2）如图1,连接8C,点。是直线6c上力抛物线.匕的点，连接OO,CD.OD交于

点广，当sCOF：SCDF=3:2时，求点。的坐标.

⑶如图2,点E的坐标为（0,-g）,点"是抛物线上的点，连接EBPB,庄形成,的△P8E

中，是否存在点P,使4PBE或4EB等于2/0BE?若存在,请直接写出符合条件的

点户的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，已知抛物线丁="2+〃x+c分别交x轴于点D、E,交y轴于点A,点D在x

釉负半轴上，点E在x轴正半轴上.

试卷第4页，共10页

(1)如图①，连接入。，若点A为抛物线顶点，c=，&/AZX)=60。，求抛物线的解析

点B恰好在抛物线上，求线段。8的最小值.

9.如图.抛物线y=饭交x轴于AB两点.其中点A坐标为(1,0),与N轴交于

点C(0,-3).

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)如图①，连接4C.点。在抛物线上，且满足NQ4B=2NACO.求点。的坐标:

（3）如图②，点。为x轴卜方抛物线上任意一点，点。是抛物线对称轴与x轴的交点.

直线4Q，BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N,求DM+DN的值.

10.如图，抛物线），=加+公+«*0）与x轴交于点4（-2,0）和点8,与y轴交于点C,对

（I）求抛物线的解析式；

（2）①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为机，过点M作肠V_Lx轴，垂足为点

N.线段MN上有点，（点，与点M,N不重合），且NH84+NM48=90°,求"N的长；

②在①的条件下，若MH=2NH,直接写出，〃的值；

试卷第6页，共10页

⑶在(2)的条件下，设4=廿更，直接写出d关于，〃的函数解析式，并写出加的取值

范围.

11.已知二次函数y=ax2-2x+3经过点A(-3,0),P是抛物线上的一个动点.

(1)求该函数的表达式；

(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为I,连接

AC,PA,PC.求△ACP的面积S关于t的函数关系式，并求出△ACP的面积最大时点

P的坐标.

(3)连接BC,在抛物线上是否存在点P,使得NPCA=NOCB?若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

12.已知二次函数解析式为)，=〃“2-2〃氏+〃7-6，二次函数与x轴交于A、B两点(B

在A右侧)，与轴交于。点，二次函数顶点为已知NOMB=90。.

①求顶点坐标.

②求二次函数解析式.

③N为线段BM中点，在二次函数的对称轴上是否存在一点P,使得NPON=60。，若

存在求出点P坐标，若不存在，请说明理由.

13.如图,抛物线合=渭+税+。经过4TO)、8(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线

相交于点尸、与4c相交于点与x轴交于点〃，连接心.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上存在一点G,使NG/M+NP3E=45,请求出点G的坐标；

⑶抛物线上是否存在一点。，使AQM与的面积相等，若存在，请直接写出点。

的坐标；若不存在，说明理由.

14.如图,抛物线丁=苏+/+33*0)与“轴分别交于点分TO),3(3,0),与〉轴交

于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点。(2,/〃)在第一象限的抛物线上，连接3C,8。.试问，在对称轴左侧的抛物

线是否存在一点P,、满足NPBC=NDBC?如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，

请明理由；

(3)存在正实数小，〃(〃?<〃),当〃?”工〃时，恰好满足-求以1,

〃的值.

15.抛物线)，=(x-3)(x+l)与x轴交于A、8两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点

C,点。为抛物线顶点；

试卷第8页，共10页

备用图

(1)求点4和点。的坐标；

(2)连结B。、CD,抛物线的对称轴与X轴交于点E.

①若线段上有一点P,使NDCP=N8DE,求点尸的坐标；

②若抛物线上一点"，作MN上CD,交直线。。于点N,使NCMN=/BDE,求点M

的坐标.

16.已知：二次函数y=ar2+Z?x+c,的图象与x轴交于43两点，其中点A(-1,0),与丁轴

3

负半轴交于点C(0,-2),起对称轴是直线上=1.

(1)求二次函数1y=加+历:+。的解析式；

(2)圆O,经过点》8c的外接圆，点E是4c延长线上一点，N8CE的平分线交圆。于

点。，连接A。、BD,求*6的面积；

(3)在(2)的条件下,二次函数y=a/+/urc的图象上是否存在点巴使得

4PDB=4CAD?如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理

由.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A(-1,0)、

B(4,0)与y轴交于点C,tan/ABC=g.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E,连接AC、CE,

当ME取值最大值时，求4ACE的面积.

（3）在y轴负半轴上取点D（0,-1）,连接BD,在抛物线上是否存在点N,使

ZBAN=ZACO-ZOBD?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

a1

18.如图，已知二次函数），=丁-2,加+川+》〃-；的图象与工轴交于人，9两点（A在八左

84

侧），与y轴交于点C,顶点为。.

（1）当m=-2时，求四边形AOBC的面积S；

（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点P,使NP8A=2N8CO,

求点尸的坐标:

（3）如图2,将（1）中抛物线沿直线向斜上方向平移华个单位时，点E为

844

线段。4上一动点，EF_Lx轴交新抛物线于点尸，延长小至G,且。及AE=FE・GE,

若AE4G的外角平分线交点。在新抛物线上，求。点坐标.

试卷第10页，共10页

参考答案：

1.(1)y=--x(x-2m).(2)①等腰直角三角形，见解析；②见解析

m

【分析】(1)抛物线过点0(0,0),4(2机0),利用待定系数法设y=a(x-0e-2m)即可

得到答案；

(2)①P(/几〃?)，对称轴/_L1轴，可得。。="=〃2,可证AOPC是等腰直角三角形，可

得MP=NP=OP,可得〃VOM=90。，可证△OCNgACW(SAS),可求

4ONB=2/ONC=450即可；

②设PM=PN=d,可求方程为y="二求出j/〃+d,2——,

m卜mJ

由N(〃?,"?+d)可得直线/IN的方程为)，=-差4(工-2〃?)，确定A,B,N三点共线即可.

【解析】解：(1)•・•抛物线过点0(0,0),A(2〃z,0),

・••设抛物线解析式为y=a(x-0)(x-2〃z),

又：抛物线过点P(〃?,〃?)，代入P点得m=&〃?-0)(/〃—为)，

解得。=」，

m

・••抛物线解析式为y=-2〃?)；

tn

(2)©VP(m,m),对称轴/_Lx轴，

OC=CP=in,

••・AOPC是等腰直角三角形，

・•・OP=41OC=41m，/OPC=45°，

OP=>MN,

2

JMN=2OP=26m，

又〈M、N关于尸点对称，且M、尸、N共线，

.・.MP=NP=>MN=E〃=QP,

2

，以尸为圆心，OP为半径作圆P,则。、M、N三点共圆，

又•：N、/，、M共线，所以MN为圆。直径，

/.NNOM=%)。,

在AOCN和AC4N中，

VOC=CA=m,/OCN=ZACN=90°,CN=CN,

•••△0CN/4C4N(SAS),

答案第H页，共45页

••・乙ONC=/ANC,

又•・•NONC=-AOPC=22.5°,

2

/.4ONB=2ZONC=45°,

・•・N1M是等腰直角三角形；

②设==

可得直线OM方程为），=勺"工，

联立抛物线方程：

y=----1x{/x-2rm\\

m

tn-d，

y=-------x

m

解得%=0,%=，〃+△，

..Bm+d,---------,

I〃?J

N（"?,〃z+d）可得直线AN的方程为），=-巴*（》-2〃?）,

当x=〃?+d时，代入AN方程得y=竺卫，

m

・•・8在AN上，即A,B,N三点共线，

/./BNM=ZANC,

,/AONC=ZANC,

/.NONM=/BNM.

答案第12页，共45页

【点评】本题考查二次函数综合，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，三点共线，

次函数解析式，掌握待定系数法求解析式，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定，

三点共线证明方法是解题关键.

2.(1)y=A-l；(2)户或/＞上手.Zz普；(3)。到MN的距离为

定值1.

【分析】(I)先利用抛物线的解析式求解及。坐标，再利用待定系数法求解8力的解析式即

可；

(2)如图，连接。八，延长D4至尸，使AO=AR可得DF=2&,证明N4DB=90。，可得

产到8。的距离为：2庭,过尸作8。的平行线，交抛物线于P，求解FP为：)，=x+3,联

立P=解方程组可得答案；

(3)如图，过。作C7_LMN于7，证明-MTTSACTN,可得CT?=MT・NT,联立:

；=：2_［，可得加卜仙/卜乂后/),设0(4427),则丁(名)可得

CT?=MTWT=l+i—a，又CT=l一。2+1,可得。72=。兀解方程并检验可得结论.

【解析】解：(1)令x=Q则y=-L

令y=0,

x2-l=(),

=1.

x=±l,

.•.4(7,0),8(1,0),

设8。为丁=米+"

答案第13页，共45页

k+b=O

b=-l

k=\

解得：

b=-f

「•直线80为：y=x-\.

(2)如图，连接0A延长ZM至凡使AQ=AF,

AD=Vl2+12=V2,NADO=45°,

DF=2>/2,

同理：ZBDO=45°,

了.尸到4。的距离为：2x/2,

过〃作皿)的平行线，交抽物线于P，

AD=AF,A（-1,O）,D（O,-1）,

由中点坐标公式可得：Fl-2,1),

设EP为）'=犬+〃，/.-2+，7=1,，〃=3,

:.FP为:y=x+3,

y=x+3

y=x2-\

14-V17I-V17

x=----------x=----------

22

解得：

7+历'7-Vl7,

22

<1+7177+（1-VT77-布、

P或P

22

(3)如图，过C作C7_LMN于r

答案第14页，共45页

NCTM=NCTN=90。,

」NMCN=90。，

，NMCT+Z.NCT=90°=4NCT+Z7WG

:"MCT=ZTNC、

:.LMTCS&CTN,

•MTTC

~CT~TN，

：.CT2=MT*NT,

M卜\/1+，,N（＜1+f,0,

设则r（aj）,

MT=a++/NT=Jl+r-a,

/.CT2=MT.NT=\+t-a\

•・•CT=t-a2+t

CT2=CT,

:.CT（CT-｝）=0,

...cr=1,07=0,

检验：cr=o不合题意舍去，取cr=i为定值.

所以点C到MN的距离为定值I.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点

坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关犍.

3.（1）见解析；（2）见解析；⑶M（273,2）或（一空,-1）.

33

【分析】（I）直接利川二次函数平移的性质假设出解析式，进而将A点代入求出m的值进

答案第15页，共45页

而得出答案；

(2)首先求出直线AB的解析式，进而表示出APAB的面积，进而求出I的值，即可得出

答案；

(3)首先表示出ON,NM的长，进而得出△OMN为等边三角形，再利用M点坐标得出t

的值，进而得出答案.

【解析】解：(1)设平移后的抛物线的解析式为

4

将d-3,幻代入y=得m=l

则,，=9寸_1

4

当x=4时，y=3,

故平移后的抛物线经过点(4,3)；

(2)设直线AB的解析式为:y=kx+b,

把点《一3,(),点B(4,3)代入得：

-3k+b=-

4

4Z+Z?=3

k=-

解得：4

b=2

故直线AB的解析式为：y=lx+2

设P(t,-z2-l)

4

・•・Q(t,%2)

答案第16页，共45页

11(\.A

*'•SAPAB=-X—f+2-1~f'x

Z414/

E(1-V171-V17-1+V171+V17

(2828

(3)如图2,设M(a,-a2-l)

4

则OM2=a2+(—a2-I)2=—a'+\.MN2=_I+2)2=

444

Z.OM=MN

,//MON=60。

•••△OMN为等边三角形,

则NMOF=30。，当OF二a,则MF二立〃

3

可得M(a,Ba)

3

故争

-a2-\

4

解得：山=2石，@2=岑

则旦=2或4

33

答案第17页，共45页

AM(2有，2)或(—竽，-1).

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等边三角形的判定以及待定系数法解析式等知识,

正确表示出M点坐标是解题关键.

4.(1)y=x2+4A-4；(2)四边形ADOC是平行四边形，见解析；(3)存在，P的坐标是

(-2-2正,0)或(0，-4)

【分析】(1)首先求出点B,C的坐标，再代入抛物线即可求出b、c的值即可；

(2)求出抛物线顶点A的坐标，再证明AC=OD,AC〃OD即可证明四边形ADOC是平行

四边形；

(3)分点P为抛物线与y轴负半轴的交点和点P为抛物线与x轴负半轴的交点两种情况求

解即可.

【解析】解：(1)BC〃r轴，点C的坐标为(-4,-4),

「•点B的坐标为(0,~4),

把B,C两点的坐标代入以+c,

,c=-4一体=4

得“心一解得.

「•抛物线的解析式为J=A2+4X-4.

(2)四边形ADOC是平行四边形，理由如下：

,•点B的坐标是0-4),点C的坐标为(-4,-4),

二.08=4,BC=4,

由(1)得,抛物线的解析式为y=J+4i=(%+门,

・•・顶点A的坐标为(-2,-8).

如答图，过点A作于点E,

则NAEC=90。，AE=OB=4,CE=2.

•・8C=4,

：.BD=-BC=2

2t

/.CE=DB.

答案第18页，共45页

.•BC〃x轴，

.•.NOB/)=90°,

；.ZAEC=/OBD=90。

AEC=t.OBD,

\AC=OD,ZACE=/ODB,

AC/iOD,

二•四边形ADOC是平行四边形.

(3)在抛物线上存在点P,使得NPOC=45。.

.二点C的坐标为(-4,-4),8C//X轴，

:.OB=BC=4,..NBOC=NOCB=45。,

vZPOC=45°,

・••点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点.

情况1：当点P为抛物线与y釉负半轴的交点时，点P与点B重合，

此时点P的坐标为(0.T).

情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程/+44一4=0，

得％=-2-2及，玉二一2+2公.(不合题意，舍去)

此时点P的坐标为(-2-2及,0),

综上所述，当点P的坐标是(-2-2&,0)或(0T)时，ZPOC=45°.

【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函

数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质等知识，求得A的坐标是解题的关键.

711

5.(1)c=0,b=T：(?)嘉琪说的正确，理由见解析；(3)①不变，②］〈/<牙

【分析】⑴抛物线过原点0,把％=(),y=0代入y=f+尻+。，求c.点p用t表示，P(t,O)

再把x=/,y=0代入尸f+灰，求b即可，

(2)嘉琪说的正确由(1)得y=xJx,把B(I,-5)代入求出I的值，求x=4时的函数值

验证即可

(3)①不变.

在点P的运动过程中，A(I,0),P(t,0)，求出M点坐标，

求AM,与AP,知AM=AP,又是直角三角形即可，

不、711

23

在矩形中共有8个好点分以下五种情况，

I>左边4个好点在抛物线上方,右边4个好点在抛物线下方:x=2时y2V4x=3时，y3>-l，

H、左访3个好点在抛物线上方,右功3个好点在抛物线下方：则有-4Vy)V-3,-2<yiV-l.

答案第19页，共45页

川、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：则有-3Vy2<-2,-3Vy3V-2,

IV、左边I个好点在抛物线上方，右边I个好点在抛物线下方：则有-2Vy2〈-l,-4Vy3V-3,

V、左边。个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：则有・lVy2,y?<-4,

综合即可.

【解析】解：(D抛物线过原点O,把％代入y=/+bx+c,得c=0.

点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tS,P(t,0),

再把丫=/,>=0代，入y=/,得产+从hO，

t(t+b)=0,

V/>0,：.b=-t.

(2)嘉琪说的正确.

由(1)得y=x2-tx,把B(1,-5)代入-5=l-t得t=6

/.y=x2-6x,

当x=4时,y=16-24=-8^-5,

・••嘉琪说的正确，

(3)①不变.

在点P的运动过程中，A(1,0),

如图，当x=l时，y=lT,故"(LIT).AM=t-l,

VOP=t,

AAP=t-l,

.,.AP”1=AM,

,••矩形ABCD,NPAM=90，

tanZAMP=1.

/.ZAMP=45

NAMP的大小是不会变，且NAMQ=45,

11

②一<f<—

23

答案第20页，共45页

在矩形中共有8个好点

I、左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解;

t>4

4-2(<-4

解得10此时无公共解,

9-3/>-1t<—

3

II、左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方:

5

7IO1I7

则有・4Vy2V-3,-2Vy3<-l即-4V4-2tV-3,-2<9-3t<-l,-VtV4且一VtV一,解得一

2332

III、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：

则有-3<y2<-2,-3<y3<-2即-3V4-2K-2,-3<9-3t<-2,无解；

IV、左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：则有-2Vy2V-l,-4Vy3V-3

即-2V4-2tV-l,-4V9-3tV-3,无解；

答案第21页，共45页

V、左边。个好点在抛物线上方，右边。个好点在抛物线下方：

则有-lVy2,y3V-4即9-3t<-4,无解；

综上所述，l的取值范围是：1<t<y.

【点评】此题考查了二次函数与点的关系，以及分类讨论的求解方法等知识.此题综合性很

强，难度较大，解题的关灌是注意数形结合与方程和不等式组思想的应用.

6.(1)(2)y=(x-〃)2-〃+2；(3)①〃=g；②1+0

【分析】(1)首先由直线i：y=-x+2求得点A的坐标，然后将A点坐标代入抛物线解析式

求得m,即可求点B的坐标；

(2)先由D点横坐标求出纵坐标，再根据平移规律直接写出答案：

(3)①根据两种不同的表示形式得到a与n之间的函数关系即可；

②过点C作y轴的垂线，垂足为E,过点D作DF_LCE于点F,证得△ACEs^CDF,然

后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得a的值即可.

【解析】(1)•・•当x=0时，y=-x+2=2

・・・A点坐标为(0,2)

将A(0,2)代入抛物线y=(x-l)2+小得

(0-I)2+m=2,解得〃?=1

工抛物线解析式为y=(x-1>+1

，顶点B的坐标为(1,1)

(2)・・・D点在直线)，=-1+2上，且横坐标为〃(〃>1)

，D点纵坐标丁=一〃+2

即+

・••平移后的抛物线L的解析式为)，=(x-〃)2-〃+2

(3)①设C点坐标为(。力)

•・・c点为两抛物线的交点

Z?=(«-l)2+1,b=(a-n)2-n+2

•**(a-1)~+l=(a—〃y—〃+2

整理得a

②如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为E,过点D作DF_LCE于点E

答案第22页，共45页

VZACD=90°,

，ZECA+ZDCF=90°

又•••/F=/AEC=90。

/.ZDCF+ZCDF=90°

AZECA=ZCDF

/.△ACE^ACDF

.CE_AE

^~DF~~CF

•・・C点横坐标为a,纵坐标为3-1尸+1

D点横坐标为〃二为，纵坐标为—〃+2=2—左

/.CE-a>4E=（fl-l）2+1-2=«2-2a-\

0尸=（〃-1）“+\-（2—2a）=a1»CF=2a—a=a

.aa2-2a-I

-----r=-------------

a'a

解得q=1+=1-6（舍去）

故4的值为1+V5.

【点评】本题考查二次函数的综合问题，需要熟练掌握函数图像的平移，以及相似三角形的

判定与性质.

7.（1）y=-x2+2x4-3；⑵点。的坐标为（1,4）或（2,3）；⑶点尸的坐标为：（1,4）或（―芸）

132095+79777+质、

或（一彳，——1）或（------，--------------）.

2448

【分析】（1）由O8=OC=3及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求

解即可；

（2）由题意易得ScoF=（Scg,进而得到点D、F横坐标之间的关系为与，设尸点

•JJ

横坐标为3/,则。点横坐标为5/,则有直线BC的解析式为y=-x+3,然后可直接求解：

答案第23页，共45页

(3)分NPBE或NPEB等于2ZOBE两种情况分别进行求解即可.

【解析】解：(1)O4=OC=3,则：8(3,0),C(0,3),

把8、C坐标代入抛物线方程，

解得抛物线方程为：)，=-/+2%+3①；

⑵「SMOF：S.CDF=3:2,

X=Xf

,.Scor.=COD，即：D~^F

设尸点横坐标为3f,则。点横坐标为5f,

点尸在直线8c上，

而BC所在的直线表达式为：y=r+3,则尸(3/,3-3/),

则直线8所在的直线表达式为：y=^x=-x,

3tt

则点O(5/,5—5。，

把。点坐标代入抛物线解析式，解得：或,，

则点。的坐标为(1，4)或(23)；

当8户在人.轴上方时,

如图2,设w?交y轴于点E"

:・ZP\BE=?ZOBE,

:・/EBO=/EBO,

又NEOB=/EBO=60。,BO=BO,

：,LE:BO^EBO（AAS）,

答案第24页，共45页

3

••・EO=EO=~,

2

3

・•.点七'（0，5），

3

直线8R过点8、E,则其直线方程为：），=-g1x+：②，

联立①②并解得：x=,

故点Pl的坐标为（一;3）；

当8尸在X轴下方时，

如图2,过点、E作EF7/BE交BP2于点、F,则4”?=血£,

:・/EBE=2/OBE,ZEBP2=2ZOBE,

：・4FEB=/EBF,

:・FE=BF,

直线石尸可以看成直线BE平移而得，其k值为-g,

13

则其直线表达式为：=，

13

设点厂（/〃，—：〃?—=），过点尸作用轴交于点，，作BK工HF于点K,

22

1313

则点”（。，一；7，〃一二），,

2222

•；EF=BF,则正2=8产，

即:in2+（―1/w+-|）2=（3-m）2+（3〃?+$2,

解得：/〃=|,

则点尸弓，一子），

1133

则直线8-表达式为：＞f=yX-y

联立①③并解得：X=-葭或3（舍去3）,

则点鸟（-1£3，-詈209）;

②当NP砂=2NO8E时，

答案第25页，共45页

y

olL^x

图3

当。在32上方时，如图3,点后为图2所求,

设8E交空于点尸，

*//EBE=2/OBE,

:・/EBE="网,

:・FE=BF,

13

由①知，直线8E的表达式为：），=-9+：,

22

设点尸（〃,一＜〃+1），K（3,-：〃+］）,

2222

由FE=BF,同理可得：〃=；，

故点^（~»~）»

24

113

则直线EF的表达式为：V=yA-1@,

联立①④并解得：〃=1或微（舍去负值），

・•・6（1,4）；

当石P在班;下方时，

同理可得：工=三姬（舍去负值），

5+质T7+质

故点名（)•

4-，8

此上々内从L七“八一/17'T/13209..5+797-17+5/97^

故点尸的坐标为：（1，4）或（一二,二）或（一彳,一一二）或（------,---------）.

242448

【点评】本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质,

利用数形结合及分类讨论思想进行求解•.

8.（1）y=一旦x?+8;（2）90°；（3）—.

22

【分析】（1）由题意易得抛物线的对称轴就是y轴，从而根据题意求出D点坐标，进而利

答案第26页，共45页

用待定系数法进行求解即可；

(2)将A(O,1)代入y=a/+〃x+c得：AO=c=\,由题意易得函数表达式，进而求得

0D=；,0E=2,最后利用比例关系及三角函数进行求解即可；

(3)作矩形/W7GN,则根据题意易得.CH。，AMD^BNA,设

AM=AN=a,BN=b,则有8=巫/,最后根据勾股定理及最值问题进行求解即可.

6

【解析】解：(1)•:c=瓜,

，AO=遍,

*/ZAZX>=60°,

,D()=>/2，

，。(一&,0),E(@0),

将D,E两点代入)，="2+人工+(?中，得:

2〃-岳+G=0。=一如力=0,

解得:

2a+丘b+瓜=02

)'=手+6

(2)将A(0,l)代入y=a/+Z?x+c得：AO=c=\,

3,3

。=-y=一rH—x+1,

292

3I

2

当y=O时，A-x+—x+l=0,解得：="-,x2=2,

・•・OD=-.OE=2

2f

^ODOE=\=OA2,

.OAOD

••----=-----,

OEOA

/.tanZAEO=tanZ.DAO,

/.ZAEO=ZDAO,

*/ZAEO+ZOAE=9(^,

AZmO+ZQ4E=90°,

/.2DA£=90°；

(3)解：如图，作矩形M〃GV,则,/W必.CH。，AMD^aBNA,

设AM=AN=a,BN=b,

答案第27页，共45页

则爵符即:v=r得:4

由勾股定理得：(如=。2+(#-建/]=

—a4-a2+6

,6.6

II1o

设〃7=储，则：OB2=—a4-a2+6=—m2-m+6=—(7n-3)2+—,

6662

【点评】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，关键是根据

题意求出二次函数表达式，然后利用相似三角形的性质及三角函数进行求解问题即可.

(1557A(939A

9.(1)y=x2+2x-3；(2)点尸的坐标为一~—或一了「二；(3)8

V416JI416J

【分析】(1)把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值.

(2)点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论.①若点P在x轴下方\延长AP到H,使

AH=AB构造等腰△ABH,作BH中点G,即有NPAB=2NBAG=2NACO,利用NACO

的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线

解析式联立，即求出点P坐标.②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于

x轴的对称点HI求得直线AH，的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标.

(3)设点Q横坐标为I,用I表示宣线AQ、BN的解析式，把x=-l分别代入即求得点M、

N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值.

【解析】解：(1)抛物线产乙+加+c经过点A(I,O),C(O,-3)

\+b+c=O

0+0+c=-3

b=2

解得，

c=-3

••・抛物线的函数表达式为y=丁+2A-3

(2)①若点/在x轴下方，如图1

答案第28页，共45页

延长A尸至IJ”，使AH二AB,过点8作及_Lx轴，连接8”,作8”中点G,连接并延长AG

交用于点“，过点H作，/_LB/于点/

丁当丁+21一3=0,

解得N=-3,当=1

.••川-3,0)

4(1,0),C(O-3)

：.OA=tOC=\AC=yl\2+32=V10Mfi=4

•••R/A4OC中,

sw。卫二埋8/。。=空3x/io

AC10AC10

AB=AH,G为BH中点

:.AG±BH,BG=GH

ZBAG=ZHAG,

即NQ48=N84G

•.•ZPAB=2ZACO

^BAG-^ACO

在中R的BG,ZAGB=^,s\nZBAG=—=—

AB10

铲Vioy2V10

105

.NHBI/ABG=/ABG+/BAG=90°

4HBI=ZBAG=ZACO

答案第29页，共45页

；.RfABHJ中,ZBHI=90,sinZHBI=—=—,cosZ//B/=—=^^

BH10BH10

H上、

即H

设直线A"解析式为丁二米+。

k+a=0

3

4

解得

3

4

.•・直线岭=2

y=x1+2x-3

=--

X=12"

解得，八(即点A),

卜=_

I4\6)

②若点〃在x轴上方，如图2,

在4尸上截取=

则”'于〃关于x轴对称

I55)

设直线解析式为y=A%+a'

k'+优=0

3

4

解得

3

4

答案第30页，共45页

33

.•・直线W:)，=」.”

44

33

y=—x+—

44

y=x2+2x-3

x=]

解得「一八(即点A),、

15

「二一了

57

v,=一

fIS57A(939A

综上所述，点户的坐标为一~或一7一台

(3”)M+/)N为定值

・・・抛物线),=/+2x—3的对称轴为，直线后一1

—1，。)，*”="N=-1

设Q(//+2-3)(_3</<1)

设直线AQ解析式为y=&+e

d+e=O

"dt+e=t2+2t-3

直线AQ:)，=(1+3)》一—3

当％=—1时，yM=-/-3-r-3=-2r-6

:.DM=0-(-2t-6)=2t+6

设直线8。解析式为y=nix+n

-3m+〃=()

mt+n=r+2t-3

m=t-\

解得

n=3l—3

答案第31页，共45页

..•直线4Q：)，=(/_1)x+3/_3

当x=-1时，yN=-t+\+3t-3=2t-2

：.DN=0-(2t-2)=?t+2

DM+DN=2/+6+(-2/+2)=8,为定值.

【点评】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方

程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用.第(2)题由于不确定点P位置需分类讨论：

(2)(3)计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.

2211

10.(1)y=-x+x+6；(2)①1；②]±如;(3)d=(m+2),<tn<

2'J22

【分析】(1)由抛物线的对称性求出B点坐标，用a表示出C点坐标，再由三角形的面积

列出a的方程求得a的值便可得解析式；

(2)①由已知证得NN〃5=NM4M由M(见一>+〃?+6)可设”(见〃)，可由

twZMAN=lan/BHN得£=整,代入即可得m、n的方程，解之即可得出结论；

②由①和M，=2/W可得MN的长，即可得点M