2024学年白城市一中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

学年白城市一中高二数学上学期期末考试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1周长的最小值为8，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.22.若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（

）A.8B.C.4D.63.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是(

)A.的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分C.估计成绩低于60分的有250人D.估计这组数据的中位数为分4.某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是()A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多5.已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为A，，那么的最小值为()A.B.C.D.6.已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A.B.C.D.7.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝18.已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是(

)A.5B.12C.18D.20二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.已知双曲线－＝1(m>0)，则()A.离心率的最小值为4B.当m＝1时，离心率最小C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝010.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.与B.与C.与D.与11.白城一中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（

）

A.成绩在区间内的学生有46人B.图中的值为C.估计全校学生成绩的中位数约为D.估计全校学生成绩的分位数为9012.设直线：，：，下列说法正确的是()A.当时，直线与不重合B.当时，直线与相交C.当时，D.当时，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为

．14.如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为________.15.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为

．16.设点为圆上任意一点，则的取值范围是

.四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点．(1)求的最小值；(2)求的最小值．18.已知x，y满足＋≤1，求z＝y－3x的最值19.有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；(3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率<20.在双曲线C：－＝1中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，△PF1F2的内心为I.(1)求内心I的横坐标；(2)已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足k1＋k2＝－，求直线l的方程.21.如图.在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.参考答案1.【答案】D【解析】由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0,1)，|AF1|＝＝3，三角形APF1的周长的最小值为8，可得|PA|＋|PF1|的最小值为5，设F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF1|取得最小值，且|AF2|＝3，即3＋2a＝5，解得a＝1，所以c＝2，所以e＝＝2.2.【答案】A【解析】由题意可知：圆：的圆心为，若直线：平分圆：的面积，则直线：过圆心，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：A.3.【答案】D【解析】对A，由题意频率之和为1得，，解得，故A正确；对B，频率分布直方图中最高的一组即为众数，∴由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确；对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确；对D，由A可得区间的频率分别为，因为，，故中位数位于内.设中位数为，则，解得，故D错误.故选：D.4.【答案】C【解析】对于选项A，芯片、软件行业从业者中“90后”人数占总人数的55%，故选项A正确；对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占总人数的(37%＋13%)×55%＝27.5%，故选项B正确；对于选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”人数占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”人数占总人数的40%，但从事技术岗位的“80后”人数占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”人数占总人数的14%×55%＝7.7%，“80前”人数占总人数的5%，故选项D正确．5.【答案】C【解析】设，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故选：C.6.【答案】D【解析】表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以对称点为，则,由图知：的最小值为，故选：D.7.【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，即两式相减，得+=0,变形得,即,所以直线AB的斜率k＝，设直线方程为y＝(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2，又因为a2－b2＝c2=9，解得b2＝9，a2＝18.8.【答案】C【解析】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3，若，则中位数为，此时，解得；若，则中位数为5，此时，解得.综上所述，丢失的数据可能是4，18.故选：C.9.【答案】CD【解析】由题意可得e2＝＝＝m＋，因为m>0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.10.【答案】AD【解析】对于A，AC∥A1C1，所以与的夹角即与的夹角，显然为45°；对于B，与的夹角为135°；对于C，与的夹角为135°；对于D，与A同理，即与的夹角为45°.故选AD.11.【答案】BC【解析】对于A，成绩在区间内的学生有人，故A错误；对于B，由图表可知，，所以，故B正确；对于C，因为，，所以设全校学生成绩的中位数，所以，解得，故C正确；对于D，设全校学生成绩的分位数为，则，解得，故D错误.故选：BC.12.【答案】BD【解析】对于A，时，若,,且时，两直线：，：重合，A错误；对于B，联立，可得,当时，，此时方程组有唯一一组解，故直线与相交，B正确；对于C，时，若，则无解，此时；若，则有无数多组解，此时重合，故C错误；对于D，若，则由可得，即两直线斜率之积等于，故；若,则可得，此时满足，直线：，：，此时，故当时，，D正确，故选：13.【答案】(答案不唯一)【解析】当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆．设该外接圆的圆心坐标为，则，，所以半径，此时圆的标准方程为．当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆，其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为．故答案为：.(答案不唯一)14.【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系Cxyz，则D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(－2，2，0).设F(x0，y0，0)，则＝(x0，y0－3，0)，＝(－2，－1，0).由题知＝，∴即F.设P(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1，z1－2)，＝，设＝λ，即(x1，y1，z1－2)＝λ，∴x1＝－λ，y1＝λ，z1＝2－2λ，即P.设点P在直线l上的射影为P′，则P′(0，3，2－2λ)，点P到直线l的距离的平方||2＝λ2＋＝λ2－14λ＋9.由题知λ∈[0，1]，故当λ＝时，点P到直线l的距离最小，最小值为.15.【答案】【解析】圆，即，其圆心，又的圆心，根据题意可得直线为线段的垂直平分线，又，线段的中点，则直线的方程为，即.故答案为：.16.【答案】【解析】如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率.考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为，解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点，需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角，故直线的斜率或，即的范围为.故答案为：.17.【答案】解(1)由整理得，，令，解得，即直线经过定点.不妨设直线的方程为，则有(*)由(*)和基本不等式可得，，解得，当且仅当时，即时，等号成立，故当时，的最小值为12；(2)因，由(1)得，，则，当且仅当时，等号成立，故当时，取得最小值.18.【答案】解z＝y－3x等价于y＝3x＋z，则z为直线y＝3x＋z在y轴上的截距，又＋≤1表示椭圆＋＝1及其内部区域，所以当直线y＝3x＋z与椭圆相切时，z可取到最大或最小值．将y＝3x＋z代入＋＝1，得169x2＋96zx＋16z2－400＝0.令Δ＝0,即-4169(16z2-400)=0，解得z＝±13.故z的最大值为13，最小值为－13.19.【答案】解(1)将4张面值相同的债券分别记作A，B，C，D，规定A，B是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下：可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果数有4种，故所求概率是＝.(2)我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序．如果考虑顺序的话，我们可以在(1)中的表格里去掉对角线上的(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，得到的就是所有结果数，为12，当然这个所有结果数还可以用树状图法或列举法得到，而取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果有2种，故所求概率是＝；如果不考虑顺序的话，可以在(1)中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况．这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的A债券和B债券的结果只有1种，故所求概率是.(3)有放回地抽取，由(1)中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是＝.(4)无放回地抽取，借助(2)的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是＝；不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是.20.【答案】解(1)依题意，双曲线C的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，作出△PF1F2的内切圆，I为圆心，切点分别为S，K，T，如图，设点I的横坐标为t，显然IT⊥x轴，|PS|＝|PK|，|F1S|＝|F1T|，|F2K|＝|F2T|，由双曲线定义知4＝|PF1|－|PF2|＝(|PS|＋|F1S|)－(|PK|＋|F2K|)＝|F1T|－|F2T|＝(t＋3)－(3－t)＝2t，解得t＝2，所以内心I的横坐标为2.(2)点A(－2，0)，显然直线l不垂直于x轴，否则由双曲线对称性得k1＋k2＝0，设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x－3