【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.5

第四章4.5第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．与图中曲线对应的函数是()A．y＝sinxB．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|答案C2．已知简谐运动f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋φ)(|φ|<eq\f(π,2))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝eq\f(π,6)B．T＝6，φ＝eq\f(π,3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq\f(φ,3)答案A解析∵图象过点(0,1)，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝eq\f(1,2)∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.3．将函数y＝sinx的图象上全部的点向右平行移动eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－eq\f(π,10))B．y＝sin(2x－eq\f(π,5))C．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,10))D．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,20))答案C解析将y＝sinx的图象向右平移eq\f(π,10)个单位得到y＝sin(x－eq\f(π,10))的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,10))的图象，选C.4．方程sinπx＝eq\f(1,4)x的解的个数是()A．5B．6C．7D．8答案C解析如图所示在x≥0，有4个交点，∴方程sinπx＝eq\f(1,4)x的解有7个．5．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D．3答案C解析解法一函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)后得到函数y＝sin[ω(x－eq\f(4π,3))＋eq\f(π,3)]＋2＝sin(ωx－eq\f(4π,3)ω＋eq\f(π,3))的图象，由于两图象重合，所以sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2＝sin(ωx－eq\f(4π,3)ω＋eq\f(π,3))＋2，∴ωx＋eq\f(π,3)＝ωx－eq\f(4π,3)ω＋eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴ω＝eq\f(3,2)k，k∈Z.当k＝1时，ω的最小值是eq\f(3,2).解法二本题的实质是已知函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2(ω＞0)的最小正周期是eq\f(4π,3)，求ω的值．由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).6．函数y＝sinx－cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移()A.eq\f(3π,2)个单位B．π个单位C.eq\f(π,4)个单位D.eq\f(π,2)个单位答案D解析y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))y＝sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋\f(π,4)))7.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的图象如右图所示，则当t＝eq\f(1,100)秒时，电流强度是()A．－5AB．5AC．5eq\r(3)AD．10A答案A解析由图象知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∴T＝10sin(100πt＋φ)．(eq\f(1,300)，10)为五点中的其次个点，∴100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2).∴φ＝eq\f(π,6).∴I＝10sin(100πt＋eq\f(π,6))，当t＝eq\f(1,100)秒时，I＝－5A，故选A.8．为了得到函数y＝sin(2x－eq\f(π,3))的图像，只需把函数y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的图像()A．向左平移eq\f(π,4)个长度单位B．向右平移eq\f(π,4)个长度单位C．向左平移eq\f(π,2)个长度单位D．向右平移eq\f(π,2)个长度单位答案B解析由y＝sin(2x＋eq\f(π,6))eq\o(→,\s\up7(x→x＋φ))y＝sin[2(x＋φ)＋eq\f(π,6)]＝sin(2x－eq\f(π,3))，即2x＋2φ＋eq\f(π,6)＝2x－eq\f(π,3)，解得φ＝－eq\f(π,4)，即向右平移eq\f(π,4)个长度单位．故选B.9．要得到函数y＝eq\r(2)cosx的图象，只需将函数y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))的图象上全部的点的()A．横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，再向左平行移动eq\f(π,8)个单位长度B．横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，再向右平行移动eq\f(π,4)个单位长度C．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动eq\f(π,4)个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动eq\f(π,8)个单位长度答案C解析y＝eq\r(2)cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,2))，y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))图象上全部点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))的图象，再向左平移eq\f(π,4)个单位．二、填空题10．将函数y＝sin(－2x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位，所得函数图象的解析式为________．答案y＝sin(eq\f(2,3)π－2x)11．已知f(x)＝cos(ωx＋eq\f(π,3))的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象向左平移________个单位．答案eq\f(5π,12)解析依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，由于y＝cos(2x＋eq\f(π,3))＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))＝sin(2x＋eq\f(5π,6))＝sin[2(x＋eq\f(5π,12))]，所以把y＝sin2x的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位即可得到y＝cos(2x＋eq\f(π,3))的图象．12．已知将函数f(x)＝2sineq\f(π,3)x的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________.答案2sineq\f(π,3)x＋2解析将f(x)＝2sineq\f(π,3)x的图象向左平移1个单位后得到y＝2sin[eq\f(π,3)(x＋1)]的图象，向上平移2个单位后得到y＝2sin[eq\f(π,3)(x＋1)]＋2的图象，又由于其与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin[eq\f(π,3)(2－x＋1)]＋2＝2sin[eq\f(π,3)(3－x)]＋2＝2sin(π－eq\f(π,3)x)＋2＝2sineq\f(π,3)x＋2.13．函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x＝eq\f(π,6)对称，则φ的最小值是________．答案eq\f(5π,12)解析y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为x＝eq\f(π,6)，则2·eq\f(π,6)－2φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．由于φ>0，所以φ的最小值为eq\f(5π,12)三、解答题14．已知函数f(x)＝2sinxcos(eq\f(π,2)－x)－eq\r(3)sin(π＋x)cosx＋sin(eq\f(π,2)＋x)cosx.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；(2)指出y＝f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．解析(1)f(x)＝2sinxsinx＋eq\r(3)sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(3,2)＋sin(2x－eq\f(π,6))，∴y＝f(x)的最小正周期T＝π，y＝f(x)的最大值为eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2)，最小值为eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2).(2)将函数f(x)＝eq\f(3,2)＋sin(2x－eq\f(π,6))的图象左移eq\f(π,12)个单位，下移eq\f(3,2)个单位得到y＝sin2x关于坐标原点对称．(附注：平移(－eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，－eq\f(3,2))，k∈Z均可)15．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值．(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，eq\f(π,16)]上的最小值．解析(1)由于f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＝eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2ωx＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).由于ω>0，依题意得eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(2x)＝eq\f(\r(2),2)sin(4x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).当0≤x≤eq\f(π,16)时，eq\f(π,4)≤4x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(2),2)≤sin(4x＋eq\f(π,4))≤1.因此1≤g(x)≤eq\f(1＋\r(2),2).故g(x)在区间[0，eq\f(π,16)]上的最小值为1.16．已知函数f(x)＝eq\f(cos2x－sin2x,2)，g(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4).(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．解析(1)f(x)＝eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)sin2(x＋eq\f(π,4))，所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，再将所得的图象向上平移eq\f(1,4)个单位长度即可．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,4).当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋π(k∈Z)时，h(x)取得最小值－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1－2\r(2),4).h(x)取得最小值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z}．拓展练习·自助餐1．y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．答案－π≤a≤02．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成()A．sin(1＋x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)答案D解析设y＝sin(x＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋π－1)＝sin(1－x)．3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.答案eq\f(9π,10)解析明显2π－eq\f(3π,4)＝eq\f(5π,4)＝eq\f(T,2)⇒T＝eq\f(5π,2)＝eq\f(2π,ω)⇒ω＝eq\f(4,5)，将x＝eq\f(3π,4)代入y＝sin(ωx＋φ)，得eq\f(4,5)×eq\f(3π,4)＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，从而可得φ＝eq\f(11π,10)＋2kπ，k∈Z，又φ∈[－π，π)，∴φ＝eq\f(9π,10).4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不行能是()答案D解析当a＝0时，f(x)＝1，图象即为C；当0<a<1时，三角函数的周期为T＝eq\f(2π,a)>2π，图象即为A；当a>1时，三角函数的周期为T＝eq\f(2π,a)<2π，图象即为B.故选D.5．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))．(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，eq