【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-聚焦高考：数列2

高考数学--数列一、选择题：（福建题3）设是公比为正数的等比数列，若，，则数列前项的和为（）A． B． C． D．C易知．（福建题3）设是等差数列，若，，则数列前项的和为（）A． B． C． D．C前项和为．（广东题2）记等差数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．D，∴，故（广东题4）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A． B． C． D．B．（天津题4）若等差数列的前5项和，且，则（）A． B． C． D．B；，故公差，从而（浙江题6）已知是等比数列，，则（）A．B．C．D．C；由条件先求得，，知，取，便知选项C符合；或推断出所求是以为首项，为公比的等比数列的前项和，故（全国Ⅰ题5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138 B． C．95 D．23C；由．（全国Ⅰ题7）已知等比数列满足，则（）A． B． C． D．A；，于是，．（北京题6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（）A． B． C． D．C方法一：令，则，，∴；方法二：．二、填空题：（四川延题14）设等差数列的前项为，且．若，则_____________．；，于是．（江苏题10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．依据以上排列的规律，数阵中第行从左至右的第个数为．；思路一：将各行第一个数依次取出，组成数列：1，2，4，7，…，则，，，…，，将这个等式左右两边分别相加，得，则，所以所求的数为．思路二：将数阵前行全部的数依次排列得1，2，3，…，，所以第行最终一个数为，那么第行的第3个数为．（安徽题15）在数列中，，，，其中为常数，则．，，故．（四川题16）设数列中，，，则通项．；由已知．（重庆题14）设是等差数列的前项和，，，则．；，．三、解答题：1．（全国一19）12分在数列中，，．⑴设．证明：数列是等差数列；⑵求数列的前项和．【解析】⑴，，，则为等差数列，，，．⑵两式相减，得2．（全国二题18）12分等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．【解析】设数列的公差为，则，，． 3分由成等比数列得，即，整理得，解得或． 7分当时，． 9分当时，，于是． 12分3．（广东题21）12分设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．⑴证明：，；⑵数列的通项公式；⑶若，，求的前项和．⑴由求根公式，不妨设，得∴，⑵设，则，由得，消去，得，∴是方程的根，由题意可知，，①当时，此时方程组的解记为或∴，，即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得，，两式相减，得∵，，∴，∴，∴，即∴，∴②当时，即方程有重根，∴，即，得，，不妨设，由①可知，∵，∴即∴，等式两边同时除以，得，即∴数列是以为公差的等差数列，∴，∴综上所述，⑶把，代入，得，解得∴4．（山东题19）12分将数列中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成如下数表：……记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．⑴证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；⑵上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的挨次均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行全部项的和．⑴由已知，当时，，又，所以，即，所以，又．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由上可知，即．所以当时，．因此；⑵设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．由于，所以表中第行至第行共含有数列的前项，故在表中第行第三列，因此．又，所以．记表中第行全部项的和为，则．5．（湖南题18）12分数列满足，，，．⑴求，，并求数列的通项公式；⑵设，．证明：当时，．⑴由于，，所以，．一般地，当时，，即．所以数列是首项为、公差为的等差数列，因此．当时，．所以数列是首项为、公比为的等比数列，因此，故数列的通项公式为；⑵由⑴知，，①②①②得，，所以．要证明当时，成立，只需证明当时，成立．令，则，所以当时，．因此当时，，于是当时，．综上所述，当时，．6．（江西题19）12分等差数列各项均为正整数，，其前项和为，等比数列中，，且，数列是公比为的等比数列．⑴求；⑵求证．⑴设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，解①得，故；⑵，∴．7．（陕西·题22）14分已知数列的首项，，．⑴求的通项公式；⑵证明：对任意的，，；⑶证明：．⑴接受“倒数“变换．∵，∴，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．于是，即．⑵由⑴知，，∴原不等式成立．⑶由⑵知，对任意的，有．∴取，则有．∴原不等式成立．8．（安徽题21）13分设数列满足，其中为实数，⑴证明：对任意成立的充分必要条件是；⑵设，证明：；⑶设，证明：．⑴必要性：∵，∴．又∵，∴，即；充分性：设，对用数学归纳法证明，当时，．假设，则，且，∴，由数学归纳法知对全部成立；⑵设，当时，，结论成立；当时，∵，∴，∵，由⑴知，所以，且．∴，∴，∴．⑶设，当时，，结论成立；当时，由⑵知，∴，∴．9．（辽宁题21）12分在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列⑴求，，及，，，由此猜想，