【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练18

双基限时练(十八)1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是()A．垂直 B．共线C．不垂直 D．以上都有可能解析∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案A2．下列命题中，正确的命题个数为()①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2A．1 B．2C．3 D．4答案D3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))·(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝0，则△ABC肯定是()A．等边三角形 B．斜三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析∵eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，∴eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC肯定是直角三角形．答案C4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3bA.eq\r(97) B．97C.eq\r(61) D．61解析|2a－3b|2＝(2a－3b＝4a2－12a·b＋9＝4×22－12×2×3×eq\f(1,2)＋9×32＝61.∴|2a－3b|＝eq\r(61).答案C5．已知向量a·b满足条件：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a与2b－a相互垂直，则〈a，b〉＝()A．30° B．45°C．60° D．90°解析∵a⊥(2b－a)∴a·(2b－a)＝2|a||b|cos〈a，b〉－a2＝2×2×eq\r(2)cos〈a，b〉－22＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝45°.答案B6．在△ABC中，各边长均为1，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝________.解析如图eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(BC,\s\up16(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)7．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________.解析∵m⊥n，∴m·n＝0，∴(a＋b)·(a＋λb)＝a2＋a·b＋λ(a·b)＋λb2＝(3eq\r(2))2＋3eq\r(2)×4×(－eq\f(\r(2),2))×(1＋λ)＋16λ＝4λ＋6＝0.∴λ＝－eq\f(3,2).答案－eq\f(3,2)8．等边△ABC中，P在线段AB上，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，若eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))，则实数λ的值为________．解析P在线段AB上，且eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，∴0≤λ≤1.不妨设等边△ABC的边长为1，∵eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))，∴(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→)))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)))．∴eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＋λeq\o(AB,\s\up16(→))2＝－λeq\o(AB,\s\up16(→))2＋λ2eq\o(AB,\s\up16(→))2.∴－eq\f(1,2)＋2λ＝λ2.解得λ＝1－eq\f(\r(2),2).答案1－eq\f(\r(2),2)9．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(3a－2b)·(a＋2b解(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×(－eq\f(1,2))＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)(3a－2b)·(a＋2b＝3a2－2a·b＋6a·b＝3×9＋4×(－6)－4×16＝－61.10．已知空间四边形ABCD，求eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))的值．解eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))－eq\o(AC,\s\up16(→))(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝0.11.在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．解如图，∵eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(PC,\s\up16(→))2|＝|eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))2＝eq\o(PA,\s\up16(→))2＋eq\o(AD,\s\up16(→))2＋eq\o(DC,\s\up16(→))2＋2eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋2eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＋2eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up16(→))||eq\o(DC,\s\up16(→))|cos120°＝61＋2×4×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，∴|eq\o(PC,\s\up16(→))|＝7.即PC的长为7.12．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．解如图所示，设eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1.由已知得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝60°，则a·b＝b·c＝a·c＝eq\f(1,2).∵eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up16(→))－2eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)c－b，又|eq\o(OE,\s\up16(→))|＝|eq\o(BF,\s\up16(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\o(OE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)b2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×1＝－eq\f(1,2).∴cos〈eq\o(OE,\s\up16(→))，eq\o(BF,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up16(→))·\o(BF,\s\up16(→)),|\o(OE,\s\up16(→))||\o(BF,\s\up16(→))|)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq\f(2,3).∴异面直角所成角的余弦值是eq\f(2,3).13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．解由题意知，PB＝eq\r(2)，CD＝eq\r(2)，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝0.∵AB⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(PB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝(eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))·(eq\o(D