四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试题 含解析

绵阳中学高2024级高一上期期末模拟测试数学试题命题人：谢兴栏，审题李勇丁胜杰第I卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，根据对数函数的定义域化简集合，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为或，，所以或，故选：D.2.下列函数中，与函数相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可.【详解】的定义域为R，对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误；对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确；对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误；对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误.故选：B.3.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A.6 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形面积公式列方程求半径.【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r，，由题意得：扇形的面积为，可得，解得．故选：A4.若幂函数的图象过点，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定幂函数的解析式，再求给定函数的定义域.【详解】设幂函数，由.所以.由，所以所求函数定义域为：.故选：B5.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解.【详解】因为，则，又，所以，所以.所以.故选：D6.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（）年．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.【详解】依题意可得，则，解得，∴，因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，所以在上单调递增，而，，即，∴该植物的高度超过，至少需要年.故选：C.7.已知，且，则的最小值是（）A. B.5 C. D.7【答案】D【解析】【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.【详解】，，可得，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为7.故选：D.8.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意作出分段函数的图象，根据题意结合图象，即得的取值范围.【详解】在同一直角坐标系中，分别作出函数的图象如图：因无解；由解得；由解得，由解得或.结合图象，要使函数的值域为，需使.故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的值域问题，属于难题.求解分段函数的值域单调性问题，一般采用数形结合的方法，易于发现参数的取值范围，是解决本题的一个很好的方法.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.B.“”是“”成立的充分不必要条件C.命题“”的否定是“”D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据对数的运算性质判断A的真假；根据充分不必要条件的判断方法进行判断；根据存在量词命题的否定形式判断C的真假；根据对数的运算性质判断D的真假.【详解】对A：，故A错误；对B：由“”可得“”，但“”得不到“”，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；对C：存在量词命题“”的否定时全称量词命题“”，故C正确；对D：由可得，，且，所以，即，故D正确.故选：BCD.10.若函数，定义域为，下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.，使C.在和上单调递减D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.【详解】对于A，，定义域，关于原点对称，，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；对于B，，则，即，解得，与定义域矛盾，所以不存在，使，故B错误；对于C，，因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确；对于D，由选项C可知，，因为且，则且，所以且，即且，所以的值域为，故D错误，故选：AC.11.设函数，已知在上有且仅有个零点，则以下结论中正确的是（）A.在上有且仅有3个最大值点B.在上有且仅有2个最小值点C.在上单调递增D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个，故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD．第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上.12.__________.【答案】【解析】【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解.【详解】，故答案为：13.已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为__________.【答案】【解析】【分析】判断函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式，解不等式可得答案.【详解】因为函数的定义域为，且，所以函数为偶函数；当时，，因为当时，为增函数，为减函数，所以在上为增函数，在上为减函数.所以，所以.故答案为：14.已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数都有，若，则__________.【答案】##【解析】【分析】采用“赋值法”求函数值.【详解】令得：；令得：；令得：；令，得：.所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数的定义域为，集合.（1）求集合，并求；（2）记集合，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（1），，（2）【解析】【分析】（1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.【小问1详解】因为，所以，又，或，所以；【小问2详解】因为是的充分条件，所以，当时，，解得，符合题意；当时，则；综上：a的取值范围是.16.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.【答案】（1）的长应在（2）当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米【解析】【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案；（2）利用基本不等式求解可得答案.【小问1详解】设，则由与相似得，整理得，矩形的面积，即，当时，得，整理得，解得，或，又，所以的长应在；【小问2详解】时，，当且仅当即时等号成立，所以，所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米.17.已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）若不等式在上有解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域.（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为，由对数函数单调性可知，当时，，令，，函数，，函数的开口向上，对称轴为，由二次函数性质可知当时，，当时，，所以可得当时，函数的值域为.【小问2详解】当时，，令，，不等式，则在上有解，即在上有解，函数在上单调递增，当时，.所以的取值范围是.18.已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）当，求函数的单调递增区间；（3）若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值.【答案】（1）（2）（3）取值范围：，的值为：或.【解析】【分析】（1）由图像过点求得的值，由两条对称轴间的距离的最小值为，求得的值，从而求得函数的解析式；（2）令求出函数的单调递增区间，然后取为和后得到在内的区间，从而写出单调递增区间；（3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，且存在两条对称轴分别为和，由函数大致图像得到的取值范围，并得到的值.【小问1详解】∵的图像经过点，∴，∴或，∵，∴，令，解得，∵两条对称轴间的距离的最小值为，∴，且，∴，∴【小问2详解】令，解得，当时，，时，又∵，∴函数的单调递增区间为.【小问3详解】由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，在区间内存在两条对称轴分别为和，，，，函数大致图像为：∵有且仅有两个实根，即有两个交点，如图所示由图像可知的取值范围：，由三角函数的对称性可知的值为：或.19.已知函数，其中为实数.（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；（3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解.（2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.；（3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.【小问1详解】由题意，函数的定义域为，则不等式对任意都成立．①当时，得，此时函数定义域为，不合题意；②当时，欲使不等式即对任意都成立，则，即，解得．综上，实数的取值范围为．【小问2详解】函数在区间上单调递增，由函数在定义域内单调递增，则函数在上单调递增，且在上恒成立，当时，在上单调递减，且，显然不符合题意；当时，开口向下，对称轴为，在上单调递减，显然不符合题意；当时，开口向上，对称轴为，由题意得，解得．综上a的取值范围是.【小问3详解】当时，．所以当