【-学案导学设计】2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.1.3

3.1.3两个向量的数量积课时目标1.把握空间向量夹角的概念及表示方法，把握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.把握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围________.当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a______b想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(内积)(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)向量的数量积的性质①a·e＝____________；②非零向量a，b，a⊥b⇔__________；③|a|2＝________；④|a·b|≤________.(3)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝________；②a·b＝________(交换律)；③(a＋b)·c＝____________(支配律)．3．异面直线(1)异面直线的定义______________________的两条直线叫做异面直线．(2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．假如所成的角是________，则称两条异面直线相互垂直．一、选择题1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．44.在棱长为1的正四周体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,2)5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1446．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三种状况都有可能题号123456答案二、填空题7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角为________．8．若空间向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则|a＋b|＝________.9．在△ABC中，有下列命题：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形；④若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.11.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．力气提升12.平面式O,A.B三点不共线，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则△OAB的面积等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)13．在正四周体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.1．空间向量数量积直接依据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．3．1.3两个向量的数量积学问梳理1.定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围[0，π]．当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b2.(2)①|a|cos〈a，e〉②a·b＝0③a·a④|a||b|(3)①λ(a·b)②b·a③a·c＋b·c3．(1)不同在任何一个平面内(2)平移到一个平面内锐角或直角直角作业设计1．D[①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0⇒a，b同向．当a与b反向时，不能成立．]3．C[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝eq\r(13).]4．D[eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)cos60°＋eq\f(1,4)cos60°－eq\f(1,2)cos60°－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).]5．C[∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.]6．B[由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，∴m⊥n.]7．60°解析由|a－b|＝eq\r(7)，得(a－b)2＝7，即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.8.eq\r(7)解析|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×2×\f(1,2)＋4)＝eq\r(7).9．②③解析①错，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；②正确；③正确，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|；④错，△ABC不愿定是锐角三角形．10．证明∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.11．解由于eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16eq\r(2)＋24.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\x\to(OA)·\x\to(BC),|\x\to(OA)||\x\to(BC)|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).即OA与BC所成角的余弦值为eq\f(3－2\r(2),5).12.C[如图所示，S△OAB＝eq\f(1,2)|a||b|·sin〈a，b〉＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－cos〈a，b〉2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－\f(a·b,|a||b|)2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(\f(|a|2|b|2－a·b2,|a|2|b|2))＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2).]13．解如图所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝a，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq