【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第7章-第1节-不等关系与不等式

第七章第一节一、选择题1．设a、b、c∈R，且a>b，则()A．ac>bc B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a2>b2 D．a3>b3[答案]D[解析]若c≤0，则A错；若a>0，b<0，则B错；若a＝0，b＝－1，则C错，选D．2．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]C[解析]解法1：由a>b>0⇒0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇒a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选C．解法2：(特值法)令a＝2，b＝1，排解A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排解B．3．设a>1>b>－1，则下列不等式恒成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2>eq\f(1,b2) D．a>b2[答案]D[解析]若b<0，则eq\f(1,b)<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A不正确．若b>0，由a>1>b>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故B也不正确．当a＝2，b＝eq\f(1,3)时，a2＝4<9＝eq\f(1,b2)，∴C也不正确．∵－1<b<1，∴0≤b2<1.∴a>1>b2，D正确．4．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是()A．(－1,3) B．(－3,6)C．(－3,3) D．(1,4)[答案]C[解析]∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选C．5．(文)x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是()A．x>y B．x＝yC．x<y D．不能确定[答案]C[解析]∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＝－7<0，∴x<y.(理)设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是()A．b－a>0 B．a3＋b2<0C．b＋a>0 D．a2－b2<0[答案]C[解析]由a－|b|>0⇒|b|<a⇒－a<b<a⇒a＋b>0，于是选C．6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定[答案]B[解析]设步行速度与跑步速度分别为v1和v2明显0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙用时间为eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v12,v1v2v1＋v2)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．二、填空题7．设a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，则a，b，c之间的大小关系为________．[答案]a<b<c[解析]∵a＝2－eq\r(5)＝eq\r(4)－eq\r(5)<0，b>0，c＝5－2eq\r(5)＝eq\r(25)－eq\r(20)>0，且b－c＝3eq\r(5)－7＝eq\r(45)－eq\r(49)<0，∴a<b<C．8．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案]②④[解析]若x>y，a>b，则－x<－y，∴a－y>b－x.若x>y，a>b，则－b>－a，∴x－b>y－a，即a＋x>b＋y；若x>y，a>b，则推不出ax>by.若x>y，a>b，推不出eq\f(a,y)>eq\f(b,x).综上，①③⑤错误，②④正确．9．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则“a＋2b>0”是“f(x)>0在[0,1]上恒成立”的________条件．(填“充分但不必要”，“必要但不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”[答案]必要但不充分[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0,f1>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0，,a＋b>0.))∴a＋2b>0.而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．故填“必要但不充分”．三、解答题10．若实数a，b，c满足b＋c＝5a2－8a＋11，b－c＝a2－6a＋9，试比较a，b，[解析]b－c＝a2－6a＋9＝(a－3)2≥∴b≥c，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝5a2－8a＋11①,b－c＝a2－6a＋9②))由①＋②得b＝3a2－7∵b－a＝3a2－7a＋10－＝3a2－8a＋10＝3(a－eq\f(4,3))2＋eq\f(14,3)>0，∴b>A．由①－②得c＝2a2－a∴c－a＝2a2－2＝2(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)>0，∴c>A．综上：b≥c>A．一、选择题1．(2022·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本题考查简易规律中充分性、必要性．当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立，当b<a<0时，a|a|－b|b|＝b2－a2＝(b－a)(b＋a)>0成立，当b<0<a时，a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立，∴a>b⇒a|a|>b·|b|；同理由a|a|>b|b|⇒a>B．选C．2．(文)(2021·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有()A．[－x]＝－[x] B．[x＋eq\f(1,2)]＝[x]C．[2x]＝2[x] D．[x]＋[x＋eq\f(1,2)]＝[2x][答案]D[解析]本题考查对取整函数的理解．可用排解法．令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A错；令x＝－eq\f(1,2)，[－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)]＝0，[－eq\f(1,2)]＝－1，B错；令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，C错；选D．(理)(2021·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y][答案]D[解析]取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[2x]＝[3.2]＝3，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A、B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，明显[x＋y]>[x]＋[y]，故C错．二、填空题3．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案](3,8)[解析]考查不等式中整体范围的求解．令2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝m＋n,－3＝m－n))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2),n＝\f(5,2))).∴z＝2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，∵－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，∴－2＜－eq\f(1,2)(x＋y)＜eq\f(1,2)，5＜eq\f(5,2)(x－y)＜eq\f(15,2)，∴3＜－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)＜8，故z∈(3,8)．4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深化，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板部分的铁钉长度为前一次的eq\f(1,k)(k∈N*)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第1次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉长的eq\f(4,7)，则从中提炼出一个不等式组为________．[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*)三、解答题5．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必需小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析]要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．假如是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析]设原来的窗户面积与地板面积分别为a，b，于是原来窗户面积与地板面积之比为eq\f(a,b)，且eq\f(a,b)≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c，则现有窗户面积与地板面积比为eq\f(a＋c,b＋c)，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较eq\f(a,b)与eq\f(a＋c,b＋c)的大小，接受作差比较法．eq\f(a＋c,b＋c)－eq\f(a,b)＝eq\f(b－ac,b＋cb).由于a>0，b>0，c>0，又由题设条件可知a<b，故有eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋c)成立，即eq\f(a＋c,b＋c)>eq\f(a,b)≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．6．已知a，b，c满足：a，b，c∈R＋，a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小．[解析]∵a，b，c∈R＋，∴an，bn，cn>0.而eq\f(an＋bn,cn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))n.∵a2＋b2＝c2，∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1.∵n∈N，n>2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n<eq\b\lc\(\