【同步辅导】2021高中数学北师大版选修1-1学案：《充分条件与必要条件》

第2课时充分条件与必要条件1.理解充分条件和必要条件的含义.2.会推断两个条件间的充分必要关系.3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.函数y=xcosx+sinx的图像大致为().图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排解法,从解析式结合图像我们很简洁找到三个角度来排解,一是利用函数是奇函数可以排解B,二是利用x=π2时,y=1,可以排解C,三是利用x=π时,y=-π,可以排解A,所以答案选D问题1:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.

依据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=xcosx+sinx的图像”的条件;

(2)“y=f(x)的图像是y=xcosx+sinx的图像”是“f(π2)>0”的条件(3)“f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=xcosx+sinx的图像”的条件.

问题2:p与q的推出状况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若,则p是q的充分不必要条件;

(2)若,则p是q的必要不充分条件;

(3)若,则p是q的充要条件;

(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.

问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.集合A与B的关系Venn图表示法若A⊆B,则p是q的,若A⫋B,则p是q的

若B⊆A,则p是q的,若B⫋A,则p是q的

若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的,也不是q的

若A⊆B且B⊆A,即A=B,则p是q的

1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是().2.在△ABC中,“sinA>32”是“A>π3”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的条件.

4.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分条件、必要条件、充要条件的推断分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB.(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.依据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.充要条件的探求与证明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.推断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>b,q:a>b.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sinA≠32已知命题p:1-c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.

求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.1.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A成立”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线m⊂平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的().A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.设有如下三个命题:甲:m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.

4.推断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>0且b>0,q:ab>0.(2)p:xy>1,q:(2021年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):第2课时充分条件与必要条件学问体系梳理问题1:p⇒q(1)必要(2)充分(3)充分问题2:(1)p⇒q,且q⇒/p(2)p⇒/q,且q⇒p(3)p⇒q,且q⇒p(4)p⇒/q,且q⇒/p问题3:充分条件充分不必要条件必要条件必要不充分条件充分条件必要条件充要条件基础学习沟通1.B开关A闭合,灯泡B不肯定亮,灯泡B亮,开关A肯定闭合.2.A∵在△ABC中,sinA>32,则A∈(π3,2π3),∴“sinA>32”是“A>π3”的充分条件.∵在△ABC中,取A=5π6,但不能推出sinA>32,∴“sinA>3.必要不充分由数列{an}是递减数列可得0<q<1,因此“q<1”是“数列{an}是递减数列”的必要不充分条件.4.解:(1)∵p⇒/q且q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵q:x2=1⇔x=1或x=-1,∴x=1⇒x2=1,但x2=1⇒/x=1,∴p是q的充分不必要条件.重点难点探究探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sinA=sinB,反之,若sinA=sinB,由于A与B不行能互补(由于三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)明显x∈A∪B不肯定有x∈B,但x∈B肯定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.【小结】在推断p是q的什么条件时,精确     理解和运用充分条件、必要条件、充要条件的定义是关键,而能综合、机敏地运用已学的学问是难点,故当学问点不能娴熟运用时,就简洁消灭思维受阻的现象.探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∵p是q的充分不必要条件,∴p⇒q,即A⫋B,可知A=⌀或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内,∴Δ=a2-4<0或Δ≥0,1≤-a【小结】p是q的充分不必要条件,利用真子集关系求解.本题易错的地方是解不等式组,请认真体会缘由.探究三:【解析】(法一)设两根为x1,x2,则有x1+x2>2∴所求充要条件为k<-1.(法二)由题意,设两根为x1,x2,应有Δ≥0,x1+∴所求充要条件为k<-1.[问题]使方程有两个大于1的根的充要条件是k<-1吗?[结论]问题的实质是确定所给方程的两根都大于1时k应满足的充要条件,而上面的解析中所列的不等式组仅是两根x1、x2都大于1的必要条件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有x1+x2>2,x1·x2>1,于是,正确解答如下:(法一)使两根x1,x2都大于1的充要条件为Δ≥0,(∴所求的充要条件为k<-2.(法二)令f(x)=x2+(2k-1)x+k2.∵f(x)=0的两根都大于1,∴函数f(x)图像如图,则x1,x2都大于1的充要条件为Δ解得k<-2,∴所求的充要条件是k<-2.【小结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)留意利用转化的方法理解充分必要条件:若q是p的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.思维拓展应用应用一:(1)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)p⇒q,q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件.(3)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.应用二:c>0命题p对应的集合A={x|1-c<x<1+c,c>0},同理,命题q对应的集合B={x|x>7或x<-1}.由于p是q的既不充分又不必要条件,所以A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以1-c≥-1,1+c≤7①或1+c≥-1,1-c≤7②,解①得应用三:(1)a=0适合.(2)当a≠0时,明显方程没有零根,若方程有两异号的实根,则必需满足1a<0,若方程有两个负的实根,则必需满足1a>0,-2综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.基础智能检测1.C由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,“A⊆B”是“A∩B=A成立”的充要条件.2.A由于平面α∥平面β且直线m⊂平面α,所以直线m∥平面β,反之,当直线m∥平面β时,直线m⊂平面α,也可能平面α和平面β相交.3.充要由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.4.