2024年高考导数分类汇编

2024年全国嵩考理科教学分类汇编——法教与导教

1.(北京)能说明“若f(x)>f(0)对随意的xG(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增

函数”为假命题的一个函数是f(x)=sinx.

【解答】解：例如f(x)=sinx,尽管f(x)>f(0)对随意的x£(0,2]都成立，

当x£[0,-2L)上为增函数，在(？L,2]为减函数，故答案为：f(x)=sinx.

22

2.(北京)设函数f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]ex.

(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线与x轴平行，求a；

(□)若f(x)在x=2处取得微小值，求a的取值范围.

【解答】解：(I)函数f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]e'的导数为

f(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex.由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,

可得(a-2a-1+2)e=0,解得a=l；

(H)f(x)的导数为F(x)=[ax2-(2a+l)x+2]ex=(x-2)(ax-1)ex,

若a=0则x<2时，f(x)>0,f(x)递增；x>2,fz(x)<0,f(x)递减.

x=2处f(x)取得极大值，不符题意；

若a>0,且a=L则f(x)=1-(x-2)2ex>0,f(x)递增，无极值；

22

若a>工,则工V2,f(x)在(！，2)递减；在(2,+8),(-oo,JL)递增，

2aaa

可得f(x)在x=2处取得微小值；

若OVavL,则工>2.f(x)在(2.1)递减：在(1.+8).(-8.2)递增，

2aaa

可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意；

若aVO,则工<2,f(x)在(L2)递增；在(2,+~),(-1)递减，

aaa

可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意.

综上可得，a的范围是(!，+8).

2

3.(江苏)函数f(x)=,0g1的定义域为⑵+8).

【解答】解：由题意得：log#1，解得：x22,・・・函数f(x)的定义域是⑵+8).

故答案为：[2,+8).

cos今x，0<x<2

4.(江苏)函数f(x)满意f(x+4)=f(x)(x£R),且在区间(-2,2］上,f(x)=(,

|x+|l,-2<x<0

则f(f(15))的值为返.

~2~

【解答】解：由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数，则f(15)=f(16-1)=f(-

1)=I-l+^-|=~,f(—)=cos(-5-x—)=cos-5-=^^,即f(f(15))

22222422

故答案为：返

2

5.(江苏)若函数f(x)=2x3-ax2+l(a£R)在(0,+~)内有且只有一个零点，则f(x)

在［-1,1］上的最大值与最小值的和为-3.

【解答】解：二•函数f(x)=2x3-ax2+l(a£R)在(0,+°°)内有且只有一个零点，

.*.f(x)=2x(3x-a),x£(0,+°°),①当aWO时，f'(x)=2x(3x-a)>0,

函数f(x)在(0,+8)上单调递增，f(0)=1,f(x)在(0,+8)上没有零点，舍去；

②当a>0时，f(x)=2x(3x-a)>0的解为x>且，At(x)在(0,2)上递减，在(且,

333

+8)递增，又f(x)只有一个零点，.・.f(2)=-£+1=0,解得a=3,

327

f(x)=2x3-3X2+1,f(x)=6x(x-1),xG［-1,1］,f'(x)>0的解集为(-1,0),

f(x)在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减；f(・1)=・4,f(0)=1,f(1)=0,

.,.f(X)min=f(-1)=-4,f(x)max=f(0)=1,r.f(x)在［-1,1］上的最大值与最小值的和

为：f(x)max+f(X)min=-4+1=~3.

6.(江苏)记「(X),g(X)分别为函数f(X),g(X)的导函数.若存在X°£R,满意f(X。)

=g(Xo)且f'(Xo)=g'(Xo),则称Xo为函数f(x)与g(x)的一个"S点".

(1)证明：函数f(x)=x与g(x)=x?+2x-2不存在"S点”；

(2)若函数f(x)=ax2・l与g(x)=lnx存在“S点〃，求实数a的值;

(3)已知函数f(x)=-x2+a,glx)二上一.对随意a>0,推断是否存在b>0,使函数f(x)

x

与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点〃，并说明理由.

【解答】解：(1)证明：f'(x)=1,g'(X)=2x+2,

则由定义得X=X+2X-2,得方程无解，Ijlijf(x)=x与g(x)=x?+2x-2不存在“S点〃；

,l=2x+2

(x)得工=2ax,得

f职…"居"婀,得

(3)f(x)=-2x,gz(x)，叱-1),(xWO),

2x?

x

由f(xo)=g'(xo),得beo=--5->0,得O<xo<l,

xn-1

2

2x0

,得a=xn2"x0

-1

232

令h(x)=x2・"・a=-x+3x+ax-a,(a>0,0<x<l),

X-11-x

设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<l),

则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,

又m(x)的图象在(0,1)上连绵不断，则m(x)在(0,1)上有零点，则h(x)在(0,

1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+8)内存在，夕点.

7.(全国1卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点

(0,0)处的切线方程为()D

A.Y=~2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【解答】解：函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数，可得a=l,所以函数f(x)

=x3+x,可得/(x)=3x2+1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为：1,则曲线y=f(x)

在点(0,0)处的切线方程为：尸X.故选：D.

8.(全国1卷)已知函数f(x)=，°,x4°,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，

Inx,x>0

则a的取值范围是()C

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【解答】解：由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：

当直线y=x-a的截距a<l,即1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1,+8),故选：C.

上是减函数，

②当a>2时，x,f(x),f(x)的改变如下表:

X(0,a2-4(a?Ya+Va2-4(a+Va2-4

aW相—)2222

2+oo)

a+Va2-4、

2

f(x)-0+0-

f(x)递减递增递减

综上当a<2时，f(x)在(0,+8)上是减函数，

当a>2时，在(0,42—4),和(火逞!二£+8)上是减函数,

22

则(鼠卫生，生卫1)上是增函数.

22

(2)由(1)知a>2,0<xi<l<x2,xiX2=l,

贝!]f(xi)-f(X2)=(X2-xi)(1+---)+a(Inxi-Inx2)=2(X2-xi)+a(Inxi-Inxz),

xlx2

f(x.)-f(x)a(lnx<-lnx)「…》一、，、十„Inx,-lnx…一

则——5---------'9-2+----------5--------?9一，则问题转为证明一J--------^9<1即可，

-

Xj-x2xj-x2x।x2

即证明Inxi-Inx2>xi-X2，即证21nxi>xi-在(0,1)上恒成立,

X1

设h(x)=2lnx-x+i,(0VxV1),其中h(1)=0,

x

22

(x

求导得卜(x)=1-1-J-=-x-2^+1=--V<0,则h(x)在(0,1)上单调递减,

XX2x2X2

Ah(x)>h(1),BP2lnx-x+—>0,故2lnx>x-工，贝U———--------<a-2成立.

XXXj-X2

11.(全国2卷)函数f(x)=.一厂的图象大致为()B

【解答】解：函数f(-X)=e—V--e-^—=-f(x),则函数f(x)为奇函数，图象关于

(-X)2X2

原点对称，解除A,当x=l时，f(1)=e--i>0,解除D.当x~>+8时，f(x)~>+8,解除。

e

故选：B.

12.(全国2卷)已知f(x)是定义域为(-8,+8)的奇函数，满意f(1-x)=f(1+x),若

f(1)=2,贝Uf(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()C

A.-50B.0C.2D.50

【解答】解：・门(x)是奇函数，且f(1-x)=f(1+x),

At(1-X)=f(1+X)=-f(x-1),f(0)=0,

则f(x+2)=-f(x),贝I]f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的周期函数，Tf(1)=2,

Af(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,

f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,故选：C.

13.(全国2卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.

【解答】解：Vy=2ln(x+1),当x=0时，y'=2,

x+1

・•・曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.故答案为：y=2x.

14.(全国2卷)已知函数f(x)=ex-ax2.

(1)若a=l,证明：当x'O时，f(x)21；

(2)若f(x)在(0,+8)只有一个零点，求a.

【解答】证明：(1)当a=l时，函数f(x)=ex-X?.贝ijf'(x)=e'-2x,

令g(x)=ex-2x,则g*(x)=ex-2,令g'(x)=0,得x=ln2.

当£(0,In2)时，W(x)<0,当£(In2,+«>)时，卜(x)>0,

Ah(x)>h(In2)=cln2-2*ln2=2-2ln2>0,

Af(x)在［0,+8)单调递增，.・・f(x)2f(0)=1,

解：(2),f(x)在(0,+8)只有一个零点=方程ex-ax；2=0在(0,+°°)只有一个根，

02=另■在(0,+8)只有一个根，即函数y=a与G(x)=号的图象在(0,+8)只有一个交

X

点、・G,(x)二式铲，

X

当x£(0,2)时，G*(x)<0,当£(2,+8)时，G*(x)>0,

AG(x)在(0,2)递增，在(2,+8)递增，

当->0时，G(x)当->+8时，G(x)>+8,

2

Af(x)在(0,+8)只有一个零点时，a=G(2)=幺.

4

一15.(全国3卷)函数y=-x4+x12+2的图象大致+为()D

C°

D.

【解答】解：函数过定点(0,2),解除A,B.函数的导数f，(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-l),

由f，(x)>0得2x(2x2-l)<0,得xV-逞或OVxV返，此时函数单调递增，解除C,

22

故选：D.

16.(全国3卷)设a=logo,20.3,b=log20.3»贝ij()B

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<O<abD.ab<O<a-b

【解答】解：Va=log0,20.3=11212,b=log20.3=li2i2,

-lg5lg2

510

■i、JgO・3lgO.3二IgO.3(lg5-lg2)_lgJ31gmigQ.3IgO.3二二8三

**afb-^g21g21g51g21g5'ab--lg2*lg5=Ig21g5

VA2>igl,lg』3〈0,Aab<a+b<0.故选：B.

il8gT^1821g21g5

17.(全国3卷)曲线y=(ax+1)e*在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=-3.

【解答】解：曲线y=(ax+1)ex,可得(ax+1)ex»曲线y=(ax+1)e”在点(0,1)处

的切线的斜率为-2,可得：a+l=-2,解得a=-3.故答案为：-3.

18.(全国3卷)已知函数f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明：当-l<x<0时，f(x)<0：当x>0时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

【解答】(1)证明：当a=0时，f(x)=(2+x)In(1+x)-2x,(x>-1).

X

f'(x)=ln(x+l)-f"(x)=2»

x+1(x+1产

可得x£(-1,0)时，f〃(x)WO,xG(0,+8)时，f〃(x)20

・•・？(x)在(-1,0)递减，在(0,+8)递增，

Af(x)(0)=0,

Af(x)=(2+x)In(1+x)・2x在(-1,+«>)上单调递增，又f(0)=0.

，当-lVxVO时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0.

(2)解：由f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x,得

22

f(x)=(l+2ax)In(1+x)+2+x+ax-2=ax-x+(l+2ax)(l+x)ln(x+l),

x+1x+1

令h(x)=ax2-x+(l+2ax)(1+x)In(x+1),

h'(x)=4ax+(4ax+2a+l)In(x+1).

当a20,x>0时，hJ(x)>0,h(x)单调递增，

Ah(x)>h(0)=0,即f(x)>0,

Af(x)在(0,+8)上单调递增，故x=0不是f(x)的极大值点，不符合题意.

当aVO时，h"(x)=8a+4aln(x+1)+上至，

x+1

明显h"(x)单调递减，

①令h〃(0)=0,解得a=-1.

6

，当・1VXV0时，h"(x)>0,当x>0时，h〃(x)<0,

・・・h'(x)在(・1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

(x)(0)=0,

Ah(x)单调递减，乂h(0)=0,

，当-lVxVO时，h(x)>0,即f'(x)>0,

当x>0时，h(x)<0,即「(x)<0,

・•」(x)在(・1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

，x=0是f(x)的极大值点，符合题意；

l+6a

②若-l<a<0,贝ijh"(0)=l+6a>0,h"(e-1)=(2a-1)(1-e)<0,

6

・・・h〃(x)=0在(0,+8)上有唯一一个零点,设为xo,

二当OVxVxo时,h〃(x)>0,hz(x)单调递增，

(x)>h*(0)=0,即f(x)>0,

Af(x)在(0,xo)上单调递增，不符合题意；

③若aV-1，则h〃(0)=l+6a<0,hw(-L-1)=(l-2a)e2>0,

，h〃(x)=0在(-1,0)上有唯一一个零点，设为xi,

，当xi<x<0时，h"(x)<0,h*(x)单调递减，

r.h*(x)>h#(0)=0,Ah(x)单调递增，

Ah(x)<h(0)=0,即F(x)<0,

Af(x)在(X］，0)上单调递减，不符合题意.

综上，a=--.

6

19.(上海)设常数a£R,函数f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),

则a=7.

【解答】解：•・•常数a£R,函数f(x)=log2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),

・•・函数f(x)=10g2(x+a)的图象经过点(1,3),.\log2(1+a)=3,解得a=7.故答案为:7.

20.(上海)已知a£{-2,-1,-1,1,1,2,3},若塞函数f(x)=x。为奇函数，且在(0,

22

+°°)上递减，则a=-1.

【解答】解：・・・a£{-2,-1,1,1,1,2,3),嘉函数f(x)=x。为奇函数，且在(0,十

22

8)上递减，l.a是奇数，且aVO,，a=-l.故答案为：7.

2L(上海)已知常数a>0,函数f(x)三2X，的图象经过点P(p,A),Q(q,一L).若

2x+ax55

2p.q=36pq,则a=6.

【解答】解：函数f(x)—的图象经过点P(p,1),Q(q,」).

2x+ax55

则：上+上二旦，二1，整理得：,2计"2Paq+2%p+2：q],

2p+ap2q+aq552p4q+2paq+2qap+apq

解得:2Pq=a?pq,由于：2Pq=36pq,所以：a?=36,由于a>0,故：a=6.故答案为：6

22.(上海)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上晌函数，若f(x)的图象绕原点

逆时针旋转？L后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是()B

6

A.衣B.近C.近■D.0

23

【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，

若f(x)的图象绕原点逆时针旋转工后与原图象重合，故f(1)=cos匹=运，故选：B.

662

23.(上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某

地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(OVxVIOO)的成员自

驾时，自驾群体的人均通勤时间为

30,0<x<30

-x)=2、晔-犯30<x<10C(W：分钟)'

x

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试依据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；探讨g(x)的单调性，并说明其实际

意义.

【解答】解；(1)由题意知，当30VXV100时，f(x)=2x+更”・90>40,

x

BPx2-65x+900>0,解得xV20或x>45,

Axe(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;

(2)当0<xW30时，g(x)=3C*x%+40(1-x%)=40-工；

10

当30<xV100时，，

2

R(x)=(2x+侬・90)・x%+40(1-x%)=2L_-llx+58：

x5。10

当0VxV32.5时,g(x)单调递减;当32.5VxV100时,g(x)单调递增；

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时;人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自

驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.

24.(天津)已知a=log2e,b=ln2,c=log［工，则a,b,c的大小关系为()D

万3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：a=log2e>l,0<b=ln2<l,c=log1-I^log23>log2e=a,

万3

则a,b,c的大小关系c>a>b,故选：D.

25.(天津)已知a>0,函数f(x)x<0.若关于x的方程f〃)=ax恰有2

-x2+2ax-2a,x>0

个互异的实数解，则a的取值范围是(4,8).

【解答】解：当xWO时，由f(x)=ax得x?+2ax+a=ax,得x2+ax+a=0,

2

得a(x+1)=-x2,得a=-——,

x+1

12

设g(x)=・"，贝I」g(x)=-2x(x-H)-x=-..x*x.,

x+1(x+1)2(x+1)2

由g(x)>0得-2<x<-1或-l<x<0,此时递增，

由g(x)<0得x<-2,此时递减，即当x=-2时，g(x)取得微小值为g(-2)=4,

当x>0时，由f(x)=ax得-x2+2ax-2a=ax,

得x?-ax+2a=0,得a(x-2)=x2,当x=2时，方程不成立,

2222

当xW2时，a=二设h(x)=-11,则M(x)=2X(X-2)-X-x-4x,

x-2x-2(x-2)2(x-2)2

由h(x)>0得x>4,此时递增，

由h(x)<0得0<x<2或2Vx<4,此时递减，即当x=4时，h(x)取得微小值为h(4)=8,

要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4Va<8,故答案为：(4,8)

26.(天津)已知函数f(x)=a\g(x)=logax,其中a>l.

(I)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间；

(口)若曲线y=f(x)在点(xi，f(xi))处的切线与曲线y=g(x)在点(X2，g(X2))处的切

线平行，证明xi+g(x2)=辿心；

Ina

(IH)证明当a2e丁时，存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

【解答】([)解:由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=axlna-Ina,

令hz(x)=0,解得x=0.

由a>l,可知当x改变时，hz(x),h(x)的改变状况如下表：

X(-8,o)0(0,+8)

y(x)-0+

h(x)J微小值个

・•・函数h(x)的单调减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+8)；

(口)证明：由？(x)=ax|na,可得曲线y=f(x)在点(x「f(x】))处的切线的斜率为

由g，（x）=」—，可得曲线y=g（X）在点（X2,g（X2））处的切线的斜率为T—

xlnax2lna

•・,这两条切线平行，故有ax1]。车，即叼<1（1皿）2二1，

两边取以a为底数的对数，得logax2+xi+2logalna=0,

Xi+g（X2）=[Inina；

Ina

xx

（IC）证明：曲线y=f（x）在点（X[,a*】）处的切线他y-ai=a4na（x-X1）,

曲线y=g(x)在点(X2，logx)处的切线L：y-logX=—；—(x-x)-

a2a/9X2)na9/

要证明当aN3时，存在直线I，使I是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线,

1

只需证明当a2代二时，存在xi£

(-8,+OO),X2e(0,+8)使得I］与I重合,

&x1lna=—\--①

xlna

即只需证明当aN3时，方程组2

x.x.1

a-x1alna=log_x-^—②

1a乙9Ina

由①得x-————，代入②得:

2△（I.产

a*1-盯aX】lna+X1*笆詈二。③

因此，只需证明当a2PT时，关于％的方程③存在实数解.

设函数u（x）=aX_xaX]na+x+」-+红辿迫，既要证明当a»伫丁时，函数y=u（x）存在零点.

InaIna

uz(x)=1-(Ina)2xax,可知x£(-0)时，uz(x)>0：x£(0,+°°)时，uz(x)单

调递减,

z_(lna)2<0,

乂u(0)=1>0,u''(Ina)2)=1a

2X

故存在唯一的xo，且xo>O,使得『（xo）=0,BPl-（lna）x0a°=O,

由此可得，u（x）在（-8,xo）上单调递增，在（xo,+8）上单调递减,

U（X）在X=Xo处取得极大值U（xo）.

\_

*.*，故InIna2-1.

,•u(x)=aX°xo...1.21nlna_1,21nlna2+21nlna

0Oa]na+xF^^>0.

Ina

x0(lna)

卜.面证明存在实数3使得u(t)<0,

由(工)可得axel+xlna,当x〉」一时，有

Ina

u(X)(1+xlna)(l-xlna)+x-h7^+^^na=-(lna)22,,,,1,21nlna

x+x+_+-j+—:----

InaInaInaIna

・•・存在实数3使得u(t)<0.

因此，当a1户e时，存在X1W(-8,+8),使得U(X1)=O.

・••当a2f7时，存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

27.(浙江)函数y=2Xsin2x的图象可能是()D

【解答】解：依据函数的解析式y=2Xsin2x,得到：函数的图象为奇函数，

故解除A和B.当x=?L时，函数的值也为0,故解除C.故选：D.

2

28.(浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母

一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？"设鸡翁，鸡母,

x+y+z=100

鸡雏个数分别为x,y,z,则i,当z=81时，x=8,v=11

5x+3jH--z=100