2025年沪教新版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教新版高一数学下册阶段测试试卷480考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若则（）．A.B.0C.1D.22、【题文】若则的值为()A.B.1C.±1D.03、【题文】已知方程在内有且只有一个根则在区间内根的个数为A.B.C.D.4、【题文】函数的定义域为A.B.C.D.5、【题文】奇函数f(x)在上单调递增，若f(-1)=0,则不等式f(x)<0的解集是()A.B.C.D.6、【题文】直线x+2y+3=0的斜率和在y轴上的截距分别是()A.和－3B.和－3C.和D.和7、已知f（x）=则f（1）为（）A.2B.3C.4D.5评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、函数的值域是____．9、①y=tanx在定义域上单调递增；

②若锐角

③f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，若则f（sinθ）＞f（cosθ）；

④要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位．

其中真命题的序号为____．10、【题文】函数是定义在(–1，1)上的奇函数，且则a=____；

b=____．11、【题文】函数f(x)=则=____

若=－x+2ax与g=在区间[1，2]上是减函数，则a的取值范围是__________12、【题文】已知两条相交直线∥平面则与的位置关系是____．13、已知x为三角形中的最小角，则函数y=sin（x+）+sin（x-）+cosx+1的值域为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)14、如图；正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．

（1）求证：GH∥平面CDE；

（2）求证：BC⊥平面CDE；

（3）求三棱锥G-ABC的体积．

15、在直角坐标系中，已知点点在三边围成的区域（含边界）上，且（Ⅰ）若求（Ⅱ）用表示并求的最小值.16、【题文】（本题满分14分）已知圆圆动点到圆上点的距离的最小值相等.

（1）求点的轨迹方程；

（2）点的轨迹上是否存在点使得点到点的距离减去点到点的距离的差为如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.17、【题文】（12分）已知实数函数当时，

（1）证明：（2）证明：当时，

（3）设当时，的最大值为2，求18、【题文】已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）若函数上的最小值为的最大值。19、计算下列各式值。

（1）（-0.1）0+×2+（）

（2）lg500+lg-lg64+50（lg2+lg5）2．20、如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设．

（1）用表示向量．

（2）若求实数λ的值．21、已知函数f(x)=3(3+x)+3(3鈭�x)

(1)

求函数f(x)

的定义域和值域；

(2)

判断函数f(x)

奇偶性；并说明理由。

(3)

求出函数f(x)

单调区间．评卷人得分四、证明题(共4题，共40分)22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．24、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．25、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)26、计算：．27、（2005•深圳校级自主招生）如图所示；MN表示深圳地铁二期的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区．取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75度．已知MB=400m．通过计算判断，如果不改变方向，地铁路线是否会穿过居民区，并说明理由．

（1.732）

解：地铁路线____（填“会”或“不会”）穿过居民区．28、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是____厘米．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)29、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．30、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）31、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】试题分析：令即所以考点：复合函数求值.【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】因为则可以判定b=0,a=-1,因此=-1，选A【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】因为所以则函数是周期为2的周期函数。因为所以函数关于直线对称。因为方程在内有且只有一个根所以方程在内有且只有一个根则方程在内有2个根。根据周期性可得，方程在各有2个根，在内有1个根，所以方程在内有个根，故选A【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】

考点：奇偶性与单调性的综合．

分析：根据题目条件；画出一个函数图象，再观察即得结果．

解：根据题意；可作出函数图象：

∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞；-1）∪（0，1）

故选A．【解析】【答案】A6、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D7、A【分析】【解答】解：∵f（x）=

∴f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2．

故选：A．

【分析】由函数性质得f（1）=f（3）=f（5）=f（7），由此能求出结果．二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

由题意可得y=|x|=

由指数函数y=x单调递减可知；

当x≥0时，0＜x≤=1；

故0＜y≤1；

同理由指数函数y=3x单调递增可知；

当x＜0时，0＜3x＜3=1；

故0＜y＜1；

综上可知：函数的值域为{y|0＜y≤1}

故答案为：{y|0＜y≤1}．

【解析】【答案】化已知函数为分段函数；分别由指数函数的单调性可得值域，综合可得．

9、略

【分析】

由正切函数的单调性；可知①y=tanx在定义域上单调递增为假命题；

锐角α，β满足cosα＞sinβ，即sin（-α）＞sinβ，即-α＞β，即α+β＜故②为真命题；

f（x）是定义在[-1；1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，则在[0，1]上是减函数；

若则1＞sinθ＞cosθ＞0，∴f（sinθ）＜f（cosθ），故③为假命题；

将的图象向左平移个单位得到=的图象；故④为真命题；

故答案为：②④．

【解析】【答案】由正切函数的单调性；可以得到①的真假，根据正弦函数的单调性及诱导公式，可以判断②的真假，根据函数奇偶性与单调性的性质，判断出函数在[-1，0]上的单调性，结合三角函数的值域，可以判断③的真假，利用函数图象的平移变换法则，及诱导公式，可以判断④真假，进而得到答案．

10、略

【分析】【解析】解：因为函数是定义在(–1；1)上的奇函数，所以f(0)=0,解得。

b=1,又解得a=0【解析】【答案】1,011、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】平行或相交（直线在平面外）13、略

【分析】解：函数y=sin（x+）+sin（x-）+cosx+1

=sinxcos+cosxsin+sinxcos-cosxsin+cosx+1

=2sinxcos+cosx+1

=sinx+cosx+1

=2sin（x+）+1；

∵x为三角形中的最小角；

∴0＜x≤

∴＜x+≤

∴sin（x+）∈[1]；

∴2sin（x+）+1∈[+1；3]；

即函数y的值域为[+1；3]．

故答案为：[+1；3]．

化简函数y为正弦型函数，根据x为三角形中的最小角得出0＜x≤从而求出函数y的值域．

本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．【解析】[+1，3]三、解答题(共8题，共16分)14、略

【分析】

依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半；（11分）

即：．（12分）

∴．（14分）

（求底面积对的有1分）

【解析】【答案】（1）通过G；H分别是DF，FC的中点，说明GH∥CD，然后证明GH∥平面CDE．

（2）平面ADEF⊥平面ABCD；交线为AD，证明DE⊥平面ABCD，ED⊥BC，然后证明BC⊥平面CDE；

（3）点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半；求出底面面积，即可求三棱锥G-ABC的体积．

（1）证明：∵G；H分别是DF，FC的中点；

∴△FCD中；GH∥CD；

∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE；

∴GH∥平面CDE．

（2）证明：平面ADEF⊥平面ABCD；交线为AD；

∵ED⊥AD；ED⊂平面ADEF，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD；

∴BC⊂平面ABCD；∴ED⊥BC；

又∵BC⊥CD；CD∩DE=D；

∴BC⊥平面CDE．

（3）15、略

【分析】试题分析：（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两端点的的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程的思想的运用及运算法则的正确使用；（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；（3）在线性约束条件下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题和填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验.试题解析：解（Ⅰ）∴5分由8分设直线过点时，取得最小值-1，即的最小值-1考点：（1）向量的坐标表示;（2）线性目标函数的最值.【解析】【答案】（1）（2）的最小值-1.16、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解；以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。

（（1）根据已知设出点的坐标；因为点到圆上点的距离的最小值相等，所以可知点到圆心的距离相等，因此得到轨迹方程。

（2）假设存在点满足题意可知；得到关于x,y的方程，然后利用方程有无解来判定是否存在的问题。

解：（1）设动点的坐标为

圆的圆心坐标为圆的圆心坐标为

因为动点到圆上的点距离最小值相等，所以

即化简得

因此点的轨迹方程是

（2）假设这样的点存在，设点

因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4；

所以

又点在直线上，点的坐标是方程组的解；

消元得方程组无解；

所以点的轨迹上不存在满足条件的点【解析】【答案】（1）点的轨迹方程是（2）点的轨迹上不存在满足条件的点17、略

【分析】【解析】解：（1）1分。

∴3分。

（2）时，

∴4分。

∵是一次函数。

当时，要证

而

6分。

∴成立7分。

（3）由已知

即8分。

又

9分。

而对都成立。

∴是的对称轴。

即10分。

11分。

∴12分【解析】【答案】（1）略。

（2）略。

（3）18、略

【分析】【解析】（Ⅰ）设P（x，y）是函数图象上的任意一点，它在函数图象上的对应点则由平移公式，得2分。

∴代入函数中；得。

2分。

∴函数的表达式为1分。

（Ⅱ）函数的对称轴为

①当时，函数在[]上为增函数；

∴2分。

②当时，

∴

当且仅当时取等号；2分。

③当时，函数在[]上为减函数；

∴2分。

综上可知，

∴当时，函数的最大值为【解析】【答案】（1）（2）

当时，函数的最大值为19、略

【分析】

（1）利用指数幂的运算法则即可得出．

（2）利用对数的运算法则即可得出．

本题考查了指数幂与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：（1）原式=1++

=1+2+2=5．

（2）原式=+50=2+50=52．20、略

【分析】

（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用表示向量．

（2）根据向量关系的条件建立方程关系；求实数λ的值．

本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本题的关键．【解析】解：（1）由题意知A是BC的中点，且=

由平行四边形法则得+=2

则=2-=2-

则=-=2--=2-．

（2）由图知∥

∵=-=2--λ=（2-λ）-

∴

解得．21、略

【分析】

(1)

根据对数的真数为正数确定f(x)

的定义域；根据真数的范围确定函数的值域；

(2)

利用奇偶性定义证明f(x)

为偶函数；

(3)t=鈭�x2+9

在(鈭�3,0]

上单调递增；[0,3)

上单调递减，函数y=log3t

在(0,+隆脼)

单调递增，根据复合函数的单调性可得函数f(x)

的单调增区间(鈭�3,0]

单调减区间[0,3)

本题主要考查了函数定义域，值域的求法，函数奇偶性的判断与证明，对数的运算性质，属于中档题．【解析】解：(1)

根据函数式，自变量x

需满足：{3鈭�x>0x+3>0

解得；x隆脢(鈭�3,3)

即函数的定义域为(鈭�3,3)

又f(x)=3(3+x)+3(3鈭�x)=3(9鈭�x2)

隆脽9鈭�x2隆脢(0,9]隆脿3(9鈭�x2)隆脢(鈭�隆脼,2]

即f(x)

的值域为(鈭�隆脼,2]

(2)

由(1)

可知函数f(x)

的定义域关于原点对称；

且f(鈭�x)=3(3鈭�x)+3(3+x)=f(x)

所以函数f(x)

为偶函数．

(3)隆脽t=9鈭�x2

在(鈭�3,0]

上单调递增.

在(0,3]

上单调递减。

隆脽

函数y=log3t

在(0,+隆脼)

单调递增。

根据复合函数的单调性可得函数f(x)

的单调增区间(鈭�3,0]

单调减区间[0,3)

．四、证明题(共4题，共40分)22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．24、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．25、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、计算题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】根据实数的运算顺序计算，注意：（）-1==2；任何不等于0的数的0次幂都等于1；=-2；由于1-＜0，所以|1-|=-1．【解析】【解答】解：原式=2+1×（-2）+=-1．27、略

【分析】【分析】问地铁路线是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径．如果大于则不会穿过，反正则会．如果过A作AC⊥MN于C，那么求AC的长就是解题关键．在直角三角形AMC和ABC中，AC为共有直角边，可用AC表示出MC和BC的长，然后根据MB的长度来确定AC的值．【解析】【解答】解：地铁路线不会穿过居民区．

理由：过A作AC⊥MN于C；设AC的长为xm；

∵∠AMN=30°；

∴AM=2xm，MC=m；

∵测得BA的方向为南偏东75°；

∴∠ABC=45°；

∴∠ABC=∠BAC=45°；

∴AC=BC=x；

∵MB=400m；

∴；

解得：（m）

≈546（m）＞500（m）

∴不改变方向，地铁线路不会穿过居民区．28、略

【分析】【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解析】【解答】解：∵∠HEM=∠AEH；∠BEF=∠FEM；

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°；

同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===5；

∴AD=5厘米．

故答案为5．六、综合题(共3题，共12分)29、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据圆周角定理求出∠AO'B，证△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根据三角形的面积和扇形的面积公式求出即可．【解析】【解答】解：（1）设C（x；-x）；

∵AC=BC；

根据勾股定理得：（x+4）2+（-x+2）2=（x-5）2+；

解得：x=2；

∴C（2；-2）．

答：点C的坐标是（2；-2）．

（2）AC∥x轴；作BE⊥AC于E；

∴AC=2+4=6；

由勾股定理得：BC==6；

∴AC=BC=6，BE=3；CE=3；

∴∠ABC=∠BAC=30°．

答：∠BAC的度数是30°．

（3）设圆心为O’；

∵∠ACB=180°∠A-∠ABC=120°；

∴∠AO'B=360°-2×120°=120°；

∵AO=OB；

∴∠OAB=∠OBA=30°；

∴∠OAB=∠CAB；∠OBA=∠CBA，AB=AB；

∴△AO'B≌△ACB，

∴AO=OB=AC=BC=6；

∴R=6；

连接O'C交AB于D；

则CD⊥AB；

∵∠CAB=30°；

∴CD=AC=3；

由勾股定理得：AD=3；

∴AB=2AD=6；

∴S弓形ABC=S扇形OACB-S△ACB=-×