2025年人教A版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A版高一数学上册阶段测试试卷592考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、【题文】已知集合集合且则满足的实数a可以取的一个值是()A.0B.1C.2D.32、【题文】函数在上的最小值是A.0B.1C.2D.33、在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A.2πrB.C.D.4、设则f[f（﹣1）]=（）A.1B.2C.4D.85、函数f（x）=x2ln|x|的图象大致是（）A.B.C.D.6、函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（）A.cos310°＜sin136°＜tan224°B.sin136°＜cos310°＜tan224°C.cos310°＜tan224°＜sin136°D.tan224°＜sin136°＜cos310°7、隆露

九章算术隆路

中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣(

墙，读音)

厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿(

第一天挖)

一尺，小鼠也日穿一尺.

大鼠日自倍(

以后每天加倍)

小鼠日自半(

以后每天减半).

问何日(

第几天)

两鼠相逢(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f=af（b）+bf（a）．又已知考查下列结论：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a2是a1，a3的等比中项；④b2是b1，b3的等差中项．其中正确的是____．（填上所有正确命题的序号）9、已知点在线段上，且设则实数=．10、【题文】已知函数则=____。11、【题文】关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是____.12、函数y=的定义域为____．13、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2-2x，那么当x＞0时，函数f（x）的解析式是______．14、已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则x=______．15、用min{a,b,c}

表示abc

三个数中的最小值设f(x)=min{2x,x+2,10鈭�x}(x鈮�0)

则f(x)

的最大值为______．16、从圆(x鈭�1)2+(y鈭�1)2=1

外一点P(2,3)

向这个圆引切线，则切线的方程为______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)17、记U=R；若集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，则。

（1）求A∩B，A∪B，∁UA；

（2）若集合C={x|x≥a}；A⊆C，求a的取值范围．

18、已知幂函数y=t（x）的图象过点（2，4），函数y=f（x）的图象可由y=t（x）的图象向左移动个单位并向下移动个单位得到．

（1）求函数t（x）和f（x）的解析式；

（2）若集合A={m∈R|当x∈[-2，2]时，函数g（x）=f（x）-mx具有单调性}，集合求B∩（∁RA）

19、某种产品的年产量为a；在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%．

（Ⅰ）写出产量y随年数x变化的函数解析式；

（Ⅱ）若使年产量两年内实现翻两番的目标；求p．

20、已知函数f（x）=x+．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）作出函数的图象；

（3）解关于x的不等式f（x）＞-2．

21、已知函数f（x）=（a＞0；a≠1，a为常数，x∈R）

（1）若f（m）=6；求f（-m）的值；

（2）若f（1）=3，求f（2）及的值．

22、19.（本题满分14分)设数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为证明：．23、求下列函数的解析式．

（1）已知f（x）=x2+2x；求f（2x+1）；

（2）已知f（-1）=x+2求f（x）；

（3）已知f（x）-2f（）=3x+2，求f（x）．24、如图；四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．25、已知函数f(x)=2cosxsin(x+娄脨3)鈭�3sin2x+sinxcosx

(1)

求函数f(x)

的最小正周期；

(2)

求f(x)

的最小值及取得最小值时相应的x

的值；

(3)

若当x隆脢[娄脨12,7娄脨12]

时，f(x)

的反函数为f鈭�1(x)

求f鈭�鈭�1(1)

的值．评卷人得分四、作图题(共2题，共12分)26、请画出如图几何体的三视图．

27、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、综合题(共2题，共8分)28、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4；0）；与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式；

（2）如图2；若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）

①当PO=PF时；分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；

②当n=2时；若P为AB边中点，请求出m的值；

（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动；且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

29、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】

试题分析：a=3时，B＝{－2，－1，0,1，2}，符合AB．

考点：真子集的定义.【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C3、B【分析】【解答】解：由题意可知；球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长；

内接正三棱锥；它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的。

一个顶点出发沿球面运动；经过其余三点后返回；

例如动点从A到S；再到C，到B回到A；

∠SOA=∠SOC=90°；∠COB=∠BOA=60°；

则经过的最短路程为：一个半圆一个圆；

即：

故选B．

【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．4、B【分析】【解答】由题意可得，f（﹣1）=（﹣1）2=1

∴f[f（﹣1）]=f（1）=21=2

故选B.

【分析】根据题意，可先求f（﹣1）=1，然后即可求解f[f（﹣1）]。5、D【分析】【解答】解：函数f（x）=x2ln|x|可知：f（﹣x）=x2ln|﹣x|=x2ln|x|=f（x）；函数是偶函数，排除选项A；C；

当x=e时，函数的图象经过（e，e2）；是第一象限的点．

显然B不满足题意．

故选：D．

【分析】利用函数的奇偶性以及特殊点的坐标所在位置判断即可．6、A【分析】解：tan224°=tan44°；sin136°=sin44°，cos310°=cos50°=sin40°；

如图∠COF=44°；CF是44°的正切线，EG是正弦线，OE是余弦线，DI是40°的正弦线；

由图可知CF＞EG＞DI；

所以cos310°＜sin136°＜tan224°；

故选A．

首先化为（0；90°）的三角函数，然后利用三角函数线比较大小．

本题考查了利用三角函数线半径三角函数值的大小；关键是正确画图，找出对应的三角函数线．【解析】【答案】A7、C【分析】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1

为首项；以2

为公比的等比数列；

前n

天打洞之和为2n鈭�12鈭�1=2n鈭�1

同理，小老鼠每天打洞的距离1鈭�12n1鈭�12=2鈭�12n鈭�1

隆脿2n鈭�1+2鈭�12n鈭�1=5

即2n鈭�12n鈭�1=4

解得n隆脢(2,3)

取n=3

即两鼠在第3

天相逢．

故选：C

．

利用等比数列的求和公式即可得出．

本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0；∴①正确；

又f（1）=f（1•1）=2f（1）；∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②错；

又∵f（2）=2，∴f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴bn===+1

即bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列；故④正确；

又b1==1，∴bn=1+（n-1）×1=n，∴f（2n）=2nbn=n•2n，∴an=2n，∴数列{an}是等比数列；故③正确．

故答案为：①③④

【解析】【答案】令a=b=0；得f（0）=f（0•0）=0，可知①正确；

令a=b=1，得f（1）=f（1•1）=2f（1），f（1）=0；又令a=b=-1；得f（1）=-f（-1）-f（-1）=2f（-1）；

得f（-1）=0；可知②不正确；

由f（2）=2，则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，得bn=bn-1+1，{bn}是等差数列；故④正确；

又b1=1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n•2n，则an=2n，数列{an}是等比数列；故③正确．

9、略

【分析】试题分析：因为点在线段上，且所以考点：向量共线表示【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】显然有x＞3，原方程可化为

故有(10–a)·x=29,必有10–a＞0得a＜10

又x=＞3可得a＞【解析】【答案】＜a＜1012、[2，+∞）【分析】【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2；+∞）．

故答案为：[2；+∞）．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．13、略

【分析】解：设x＞0；则-x＜0；

∵当x≤0时，f（x）=x2-2x；

∴f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x；

∵函数y=f（x）是偶函数；

∴f（x）=f（-x）=x2+2x；

则

故答案为：．

先设x＞0；则-x＜0，根据x≤0时f（x）的解析式可求出x＞0的解析式，用分段函数的形式表示出f（x）．

本题考查利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式，以及转化与化归的思想方法．【解析】14、略

【分析】解：一组数据按从小到大的顺序排列为：23；28，30，x，34，39，且其中位数是31；

∴解得x=32．

故答案为：32．

利用中位数的性质直接求解．

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的性质的合理运用．【解析】3215、略

【分析】

解：f(x)=min{2x,x+2,10鈭�x}(x鈮�0)

如图所示；

则f(x)

的最大值为y=x+2

与y=10鈭�x

交点的纵坐标；

即当x=4

时；y=6

．

故答案为6

．

利用新定义；画出函数图象即可得出．

正确理解新定义和画出图象是解题的关键．

【解析】6

16、略

【分析】解：分两种情况考虑：

若切线方程斜率不存在时；直线x=2

满足题意；

若切线方程斜率存在时；设为k

此时切线方程为y鈭�3=k(x鈭�2)

即kx鈭�y+3鈭�2k=0

隆脽

直线与圆相切，隆脿

圆心(1,1)

到切线的距离d=r

即|k鈭�1+3鈭�2k|k2+1=1

解得：k=34

此时切线方程为34x鈭�y+3鈭�32=0

即3x鈭�4y+6=0

综上；切线方程为x=2

或3x鈭�4y+6=0

．

故答案为：x=2

或3x鈭�4y+6=0

当切线方程斜率不存在时，直线x=2

满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离d=r

列出关于k

的方程；求出方程的解得到k

的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意的切线方程．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．【解析】x=2

或3x鈭�4y+6=0

三、解答题(共9题，共18分)17、略

【分析】

（1）因为集合A={x|3≤x＜8}；B={x|2＜x≤6}；

所以A∩B={3≤x≤6}；

A∪B={x|2＜x＜8}；

∁UA={x|x＜3或x≥8}．

（2）因为集合C={x|x≥a}；A={x|3≤x＜8}，又A⊆C；

所以a≤3．

【解析】【答案】（1）根据给出的集合A和集合B，然后运用交集和并集的概念进行运算求解，并且求出∁UA．

（2）直接利用集合的包含关系求出a的取值范围．

18、略

【分析】

（1）设幂函数t（x）=xα，由其图象过点（2，4），所以，2α=4；解得α=2．

故t（x）=x2．

把y=t（x）的图象向左移动个单位并向下移动个单位，得f（x）=t（x+）-．

所以，f（x）=

（2）由g（x）=f（x）-mx=x2+x-2-mx=x2-（m-1）x-2；

它的对称轴为x=

因为函数g（x）在区间[-2，2]上具有单调性，所以或．

解得：m≤-3或m≥5．故A=（-∞；-3]∪[5，+∞）．

再由f（x）+3＜2x+m对x∈（0，）恒成立，得：x2+x-2+3＜2x+m对x∈（0，）恒成立；

即m＞x2-x+1对x∈（0，）恒成立．

令h（x）=x2-x+1，对称轴为x=所以h（x）在（0，）上为减函数；

所以h（x）＜h（0）=1．所以m≥1．故B=[1；+∞）．

所以CRA=（-3；5）；

则B∩（∁RA）=[1；+∞）∩（-3，5）=[1，5）．

【解析】【答案】（1）设出幂函数；把点（2，4）代入幂函数解析式后求幂指数，则t（x）可求，然后利用图象的平移变化可得f（x）的解析式；

（2）根据当x∈[-2，2]时，函数g（x）=f（x）-mx具有单调性，借助于二次函数的对称轴的范围求出m的取值集合A，再利用f（x）+3＜2x+m对x∈（0，）恒成立，借助于二次函数在（0，）上的单调性求出m的取值集合B；然后直接进行交集与补集的运算．

19、略

【分析】

（Ⅰ）设年产量为y，年数x，y=a（1+p%）x；..（4分）

定义域：{x|x为整数；且0≤x≤m}..（6分）

（Ⅱ）y=a（1+p%）2=4a；..（8分）

解得p=100..（10分）

答：（Ⅰ）解析式为=a（1+p%）x；（Ⅱ）p=100．（12分）

【解析】【答案】（Ⅰ）根据在今后m年内；计划使产量平均每年比上年增加p%，可得等比数列模型，即可求得函数解析式；

（Ⅱ）若使年产量两年内实现翻两番的目标；即使年产量为原来的4倍，列出方程，即可求p．

20、略

【分析】

（1）函数的定义域为（-∞；0）∪（0，+∞）

∵f（-x）=-x+=x+=f（x）；∴函数是奇函数；

（2）x＞0时；f（x）=x+1，函数图象如图，利用函数为奇函数，可得x＜0时的图象；

（3）根据函数图象；可得f（x）＞-2的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

【解析】【答案】（1）确定函数的定义域；利用函数的奇偶性定义可以判断；

（2）根据函数的奇偶性；可得函数的图象；

（3）利用函数的图象；可解关于x的不等式f（x）＞-2．

21、略

【分析】

（1）∵f（-x）==f（x）

∴f（x）为偶函数。

∴f（-m）=f（m）=6．

（2）∵f（1）=3

∴a+=6

∴=36

∴=34

∴f（2）=17

∵=8；

∴

∴．

【解析】【答案】（1）先求出f（-x）；判断出奇偶性，在利用奇偶性求f（-m）即可．

（2）由f（1）=3⇒a+=6，在对其平方求出=34再找到f（2）

利用可求出f（）．

22、略

【分析】(1)根据当时再与作差，可得到然后构造等比数列求通项即可.(2)在（1）的基础上，可求出从而再采用错位相减的方法求和即可.【解析】

（1）∵当时两式相减得：2分∴即4分又∴∴6分所以是2为首项2为公比的等比数列;∴即7分（2）∵∴9分∴10分∴14分【解析】【答案】（1）（2）见解析23、略

【分析】

分别利用代入法；配凑法和方程组的方法求本题的个解析式即可．

本题考查了函数解析式的求法；用到了代入法、配凑法和方程组的方法；认真体会每种方法的特点．【解析】解：（1）用代入法，f（2x+1）=（2x+1）2+2（2x+1）=4x2+8x+3；

（2）凑配法：由f（-1）=x+2得到f（-1）=（-1）2+4（）+3；

设=t，t≥-1，故所求的函数f（x）=x2+4x+3（x≥-1）．

（3）方程组法：f（x）-2f（）=3x+2；①；

f（）-2f（x）=+2；②

由①②联立，消去f（），得f（x）=-x--2；

故所求的函数为f（x）=-x--2．24、略

【分析】

（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB；根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）设AC∩BD=O；连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形；∴AC⊥BD；

∵PD⊥底面ABCD；

∴PD⊥AC；∴AC⊥平面PDB；

∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O；连接OE；

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O；

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角；

∴O；E分别为DB；PB的中点；

∴OE∥PD，

又∵PD⊥底面ABCD；

∴OE⊥底面ABCD；OE⊥AO；

在Rt△AOE中，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．25、略

【分析】

(1)

利用和差公式；三角函数的周期性即可得出．

(2)

利用三角函数的单调性最值即可得出；

(3)

利用互为反函数的性质即可得出．

本题考查了和差公式、三角函数的周期性、三角函数的单调性最值、互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：(1)f(x)=2cosxsin(x+娄脨3)鈭�3sin2x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos娄脨3+cosxsin娄脨3)鈭�3sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+娄脨3)

隆脿f(x)

的最小正周期T=娄脨

(2)

当2x+娄脨3=2k娄脨鈭�娄脨2

即x=k娄脨鈭�5娄脨12(k隆脢Z)

时；f(x)

取得最小值鈭�2

．

(3)

令2sin(2x+娄脨3)=1

又x隆脢[娄脨2,7娄脨2]

隆脿2x+娄脨3隆脢[娄脨3,3娄脨2]隆脿2x+娄脨3=5娄脨6

则x=娄脨4

故f鈭�鈭�1(1)=娄脨4

．四、作图题(共2题，共12分)26、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．27、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、综合题(共2题，共8分)28、略

【分析】【分析】（1）已知抛物线的对称轴是y轴；顶点是（0，4），经过点（4，0），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；根据三线合一定理可以求得G的坐标，则P点的横坐标可以求得，把P的横坐标代入抛物线的解析式，即可求得纵坐标，得到P的坐标，再根据正方形的边长是4，即可求得Q的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得Q的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线PF的解析式；

②已知n=2；即A的纵坐标是2，则P的纵坐标一定是2，把y=2代入抛物线的解析式即可求得P的横坐标，根据AP=2，且AP∥y轴，即可得到A的横坐标，从而求得m的值；

（3）假设B在M点时，C在抛物线上或假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，求得两个临界点，当B在MP和FN之间移动时，抛物线与正方形有两个交点．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+c经过点E（0；4），F（4，0）

，解得；

∴y=-x2+4；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；

∵PO=PF∴OG=FG

∵F（4；0）∴OF=4

∴OG=OF=×4=2；即点P的横坐标为2

∵点P在抛物线上。

∴y=-×22+4=3；即P点的纵坐标为3

∴P（2；3）

∵点P的纵坐标为3；正方形ABCD边长是4，∴点Q的纵坐标为-1

∵点Q在抛物线上，∴-1=-x2+4

∴x1=2，x2=-2（不符题意；舍去）

∴Q（2；-1）

设直线PF的解析式是y=kx+b；

根据题意得：；

解得：，

则直线的解析式是：y=-x+6；

②当n=2时；则点P的纵坐标为2

∵P在抛物线上，∴2=-x2+4

∴x1=2，x2=-2

∴P的坐标为（2，2）或（-2；2）

∵P为AB中点∴AP=2

∴A的坐标为（2-2，2）或（-2-2；2）

∴m的值为2-2或-2-2；

（3）假设B在M点时；C在抛物线上，A的横坐标是m，则B的横坐标是m+4；

代入直线PF的解析式得：y=-（m+4）+6=-m；

则B的纵坐标是-m，则C的坐标是（m+4，-m-4）．

把C的坐标代入抛物线的解析式得：-