无套利分析方法

第三章无套利分析方法第一节MM定理一、传统资本结构理论资本结构指企业各种长期资金来源的构成和比例关系，通常长期资金来源包括长期债务资本和股权资本，因此资本结构通常是指企业长期债务资本与股权资本的构成比例关系。（一）净收益理论净收益理论认为，利用债务可以降低企业的加权平均资本成本。负债程度越高，加权平均资本成本就越低，企业价值就越大。（二）营业净收益理论营业净收益理论认为，企业增加成本较低的债务资本的同时，企业的风险也增加了，这会导致股权资本成本的提高,一升一降，企业的加权平均资本成本没什么变动。因此，该理论认为企业并不存在什么最优的资本结构。（三）折衷理论折衷理论是净收益理论和营业净收益理论的折中。该理论认为，企业负债多、风险大的同时，尽管会导致股权成本的上升，但在一定程度内不会完全抵消利用成本较低的债务所带来的好处，因此会使加权平均资本成本下降，企业价值上升。但一旦超过其限度，股权资本成本的上升就不再能为债务的低成本所抵消，加权平均资本成本又会上升。由下降变为上升的转折点，便是加权平均资本成本的最低点。此时，企业的资本结构达到最优。

1956年莫迪利亚尼(Modigliani)和米勒(Miller)发表了其著名的论文《资本成本、公司金融和投资理论》。现代资本结构理论诞生了。他们认为在一系列假设条件约束下的完美市场中，企业的价值和其资本结构无关。这一观点后来被人们用二人名字的首字母命名为“MM定理”，有时也被称做“无关性定理(IrrelenceTheorem)”。二、无公司所得税和个人所得税的ＭＭ定理（一）基本假设⒈市场是无摩擦的，也就是交易成本、代理成本和破产成本均为零，不存在公司所得税和个人所得税；⒉个人和公司可以以同样的利率进行借贷，同时不论举债多少，个人和公司的负债都不存在风险；⒊经营条件相似的公司具有相同的经营风险；⒋不考虑企业增长问题，所有利润全部作为股利分配；⒌同质性信息，即公司的任何信息都可以无成本地传导给市场的所有参与者。（二）分析过程假设有A和B两家公司，其资产性质完全相同，经营风险也一样，两家公司每年的息税前收益也都为100万元。

A公司全部采用股权融资，股权资本的市场价值为1000万元，则股权资本的投资报酬率为10%；B公司则存在一部分的负债，其负债价值为400万元，负债的利率为5%，假设B公司剩余的股权价值被高估，为800万元，则B公司总的市场价值为1200万元。莫迪利亚尼和米勒认为，由于企业的资产性质、经营风险和每年的息税前收益是一样的，因此B公司价值高于A公司价值的情况并不会长期存在下去，投资者的套利行为将使得两家公司的价值趋于相等。投资者无风险套利行为：卖空1%的B公司股权和债权，买入1%的A公司股权。⒈交易发生时,卖空1%

B公司，收入12万；买入A公司1%,支出10万。则资金净流入2万。⒉未来的每年，AB公司的盈利相同，未来净现金流为0（三）结论⒈MM定理Ⅰ：任何公司的市场价值都与其资本结构无关。这一定理同时也意味着杠杆公司的价值等于无杠杆公司的价值。杠杆企业指利用财务杠杆的负债企业

⒉MM定理Ⅱ：股东的期望收益率随着公司财务杠杆的上升而增加。公司的加权平均资本成本等于其中B为债务的价值；S为股权的价值；rB为利息率，即公司的债务资本成本；rs为股东的期望收益率，也就是公司的股权资本成本。对于杠杆公司而言在一般情况下，同一公司的股权要比债权承担更多的风险，因此r0是大于rB的。进而，我们可以得出结论：杠杆公司股东的期望报酬率与公司的财务杠杆比率成正比。上式也正是无税条件下MM定理Ⅱ的表述公式。三、存在公司所得税情况下的MM定理（一）修正后的MM定理Ⅰ债务的利息是税前支付的，而股利则是税后支付的。如果杠杆公司的息税前利润为

EBIT,公司所得税率为Tc,那么无杠杆公司的税收支出是EBITTc,杠杆公司的税收支出是(EBIT-rBB)Tc

上式即为修正后的MM定理Ⅰ的公式表述，也就是说杠杆公司的价值等于无杠杆公司的价值加上负债节税作用的价值。（二）修正后的MM定理Ⅱ对于杠杆公司的股权和债权持有者而言，其所能获得的价值总量是；从另一角度来看，也等于无杠杆公司股东所获得的价值分配总量加上税减价值，所以，对上式两边除以S，并移项得：上式为修正后的MM定理Ⅱ的表述公式，它表明杠杆公司股东的期望报酬率等于无杠杆公司股东的期望报酬率加上一笔风险报酬，这笔风险报酬的多少取决于公司的负债程度和公司所得税的水平。四、米勒模型：对MM定理的再次修正修正后的MM定理中引入公司所得税的因素之后,结论为负债越多的公司价值越大。然而，在现实生活中，并没有任何公司无限度地增加负债。对于这一现象，米勒在其1977年发表的《负债与税收》一文中，通过引入个人所得税因素进行了解释。米勒根据无套利原则，通过分析公司可以通过增加负债来提高公司价值和个人投资债券多交所得税之间的矛盾，提出了再次修正后的MM定理，即米勒模型：其中Ts为股利所得的应税税率，

Tb为债券利息收入的所得税税率。简单的分析：（一）公司处于无税的环境中，米勒模型相应地转变为不考虑所得税因素的MM定理，此时（二）个人所得税为零，模型变为考虑公司所得税情况下的MM定理，此时（三）（四）第二节状态价格定价技术状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。例子A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态:上升状态（概率q）和下降状态（概率1-q）。构造两个基本证券：基本证券1：价格上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2：价格上升时价值为0，下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是πu，基本证券2的价格是πd。

购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流

PA=πuuPA+πddPA

或1=πuu+πdd由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r

所以只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。

状态价格定价法的应用假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是S0，期末价值是S1，这里S1只可能取两个值：一是S1=Su=uS0,u＞1,二是S1=Sd

=dS0,d＜1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是NS0-B，到了期末，该组合的价值V是NS1-RB，R是利率因子。对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=Su,则V=Vu=NSu-RB，如果S1=Sd,则V=Vd=NSd-RB。由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有

NS0-B=c0,把N和B代入本式中，得到看涨期权的价值公式

c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)

其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。

第三节对可赎回债券价格的简单分析一、可赎回债券的价格如果债券发行的时候，事先约定发行者可以在一定条件下以约定的价格赎回债券，这样的债券就是可赎回债券。例如，1995年1月15日，A公司发行了2025年1月15日到期、年利率为7%的附息票债券。该债券在前10年不可以赎回，一般在债券上标明“NC10”。读成“10年不赎回”在2005年1月15日到2006年1月15日之间的任何时间，有权以103.60元的价格将其发行的面值为100的债券购买回来。然后，随着时间的推移，购回价格下降了，从2006年1月15日到2007年1月15日，债券的购回价格为103.24元。从2015年1月15日到更远的时间，A公司可以以面值回购。如果A公司在债券两次付息之间进行赎回，除了规定的赎回价格之外，它还要支付应付的利息。在债券发行之后的可赎回期间，如果利率上涨，发行者可以选择不赎回，其筹资成本仍然是原来较低的利率。在这个意义上讲，债券发行者获利。然而，另一方面，当市场利率下降到一定程度时，债券发行者会选择赎回。此时，发行者可以以新的较低利率重新筹资，从而使债券投资者在利率下降时的获利有上限的限制。总结一下：当利率下降时，赎回条款限制投资者获益；但是当利率上升时，投资者却没有一个损失的底线。这是因为赎回条款这一选择权是给予债券发行者的，因此必然更有利于发行者。二、可赎回债券和不可赎回债券价格之间的关系令分别是可赎回债券和另外等同的不可赎回债券价格，C为发行者选择权的价值。则假设一个套利者将执行下列交易策略：⒈以价格Pc

购买可赎回债券；⒉以价格C购买以该债券为标的的看涨期权，执行价为债券的赎回价；⒊以价格Pnc卖出不可赎回债券。从这些交易中得到的现金流为由假设可知它是正的。第四节无套利定价法

1.无套利定价概念如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。例子假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。套利过程是：第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）。第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还远期利率协议半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。

①：10％②：协议6个月后以11％的利率借入资金1051万，到期归还

1110万＝1051e0.11×0.5②：11％①：以10％的利率借入6个月资金1000万，到期归还

1051万＝1000e0.10×0.5③：12％③：将借入的资金以12％利率贷出资金1000万一年，到期收回

1127万＝1000e0.12×12.无套利定价方法的主要特征：

无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。

无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合（自融资组合）。3.无套利定价方式

(1)金融工具的模仿即通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权来模仿股票的盈亏。(2)

金融工具的合成金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同价值。例如：合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头和无风险债券。

SS=max(0,ST-X)-max(0,X-ST)+X=ST-X+X=STS=c-p+Xe-r(T-t)

例：如何将无套利定价法运用到期权定价中？Case：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

为了找出该期权的价值，

可构建一个