教学多元函数的基本概念教学案例

推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第八章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念（1）邻域一、多元函数的概念（2）区域例如，即为开集．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，（3）聚点

内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（3）n维空间n维空间的记号为说明：

n维空间中两点间距离公式特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．设两点为

n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：二、多元函数的概念

引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强机动目录上页下页返回结束（1）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量数集称为函数的值域在点的值记为例1求的定义域．解所求定义域为是有界闭区域例如的定义域是无界开区域的定义域不是区域（2）二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面.图形如右图.例如,例如,左图球面.单值分支:定义1设函数的定义域为是的内点或边界点，如果

以任何方式无限趋近于时，函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数则称A为函数当记为或这里三、多元函数的极限时的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2求证

证当时，原结论成立．例3求极限

解其中值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在.例4.讨论函数函数趋于不同

若当点以不同方式趋于解:设

沿直线

趋于点,则有在点的极限.值不同极限不同!在

点极限不存在.例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察播放确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有四、多元函数的连续性定义3对二元函数，如果则称函数在点处连续.例如,函数又如,函数上间断.在圆周在点

极限不存在,

故

为其间断点.注（1）（2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面如果函数在上各点处都连续,则称此函数在

上连续例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（2）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数例如等都是二元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７解多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取练习题3、若,则________.,则_________.的定义域是__________.4、若函数练