高等数学课件-D111对弧长曲线积分培训讲学

第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分1/10/2025同济版高等数学课件第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章1/10/2025同济版高等数学课件一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用1/10/2025同济版高等数学课件如果L是xOy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.1/10/2025同济版高等数学课件3.性质（

,

为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)1/10/2025同济版高等数学课件二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义1/10/2025同济版高等数学课件点设各分点对应参数为对应参数为则1/10/2025同济版高等数学课件说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此1/10/2025同济版高等数学课件如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则1/10/2025同济版高等数学课件例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)1/10/2025同济版高等数学课件例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则1/10/2025同济版高等数学课件例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得1/10/2025同济版高等数学课件例4.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线1/10/2025同济版高等数学课件例5.计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知1/10/2025同济版高等数学课件思考:例5中

改为计算解:

令,则圆

的形心在原点,故,如何利用形心公式1/10/2025同济版高等数学课件例6.计算其中

为球面解:化为参数方程则1/10/2025同济版高等数学课件例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.1/10/2025同济版高等数学课件内容小结1.定义2.性质(l曲线弧

的长度)1/10/2025同济版高等数学课件3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧1/10/2025同济版高等数学课件思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:1/10/2025同济版高等数学课件2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)1/10/2025同济版高等数学课件故重心坐标为作业P1883(3),(4),(6),(7)5第二节1/10/2025同济版高等数学课件备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分1/10/2025同济