备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第二章-§2-1-函数的概念及其表示

§2.1函数的概念

及其表示第二章

函数的概念与基本初等函数Ⅰ1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.函数的概念设A，B是

，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的

一个数x，在集合B中都有

的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：

、

和

.(2)如果两个函数的

相同，并且

完全一致，我们就称这两个函数相等.非空的数集任意唯一确定定义域对应关系值域定义域对应关系3.函数的表示法表示函数的常用方法有

、图象法和

.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.解析法列表法1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数相等.(

)(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.(

)(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.(

)×××√1.下列所给图象是函数图象的是A.①②

B.②③ C.③④

D.①④√①中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.2.下列各组函数相等的是√√探究核心题型第二部分例1

(1)函数y＝

的定义域为A.(－4，－1) B.(－4,1)C.(－1,1) D.(－1,1]√题型一函数的定义域(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为___________.∵f(x)的定义域为(－4，－2)，[－2，－1)∴函数g(x)的定义域为[－2，－1).思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.跟踪训练1

所以1<x<2或2<x≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)√√即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1).题型二函数的解析式例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，

①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，

②由①②解得f(x)＝3x.(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.思维升华跟踪训练2

(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是A.f(x)＝x2＋6x

B.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10√f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(3)已知函数f(x)满足f(x)＋

＝3x，则f(2)等于A.－3 B.3C.－1D.1√①②分段函数例3

(1)已知函数f(x)＝

则f(2024)的值为A.－1 B.0

C.1 D.2√所以f(2024)＝f(2023)＝f(2022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2024)＝1.题型三(2)已知函数f(x)＝

若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是_____________________.－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)若f(a)＝4，解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.思维升华跟踪训练3

(1)已知函数f(x)＝

若f(f(a))＝2，则a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1√令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝

则f(x)<f(x＋1)的解集为____________.当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立.课时精练第三部分基础保分练1.函数f(x)＝lg(x－2)＋

的定义域是A.(2，＋∞) B.(2,3)C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞)∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).√123456789101112131415162.(2022·鸡西模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图象中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为12345678910111213141516图(1)图(2)

图(3)图(4)A.1 B.2 C.3 D.4√对图(1)，由图知0≤x≤1，图象不符合函数的定义域，故图(1)错误；对图(2)，由图知0≤x≤2,0≤y≤2，图象符合函数的定义，故图(2)正确；对图(3)，由图知0≤y≤3，图象不符合函数的值域，故图(3)错误；对图(4)，不符合函数定义，不是函数图象，故图(4)错误.123456789101112131415163.已知f(x3)＝lgx，则f(10)的值为令x3＝10，则x＝

，12345678910111213141516√123456789101112131415164.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是√水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合.123456789101112131415165.下列四个函数，定义域和值域不相同的是12345678910111213141516√对于A，函数的定义域和值域都是R；对于B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对于C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；对于D，因为函数y＝

，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞).12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知函数f(x)＝

(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是√当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，当0<a<1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递减，此时f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2，12345678910111213141516123456789101112131415168.函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有①f(x2)＝|x|；②f(x2)＝x；③f(cosx)＝x；④f(ex)＝x.A.①③ B.①④ C.②③

D.②④√12345678910111213141516令t＝ex(t>0)，f(t)＝lnt，故④符合函数定义.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).x2－1(x≥0)1234567891011121314151611.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋

的定义域为________.解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].[－1,0]1234567891011121314151612.已知f(x)＝

若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________.①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.由－3≤f(a)≤1，解得－

≤a≤－1.1或－312345678910111213141516综合提升练13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，

①当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，

②②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.√14.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝

若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于A.2B.C.1D.012345678910111213141516√作出函数f(x)的图象，如图所示.因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，12345678910111213141516拓展冲刺练15.∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2)C.[－2,2] D.(

)√1234567891011121314151612345678910111213141516当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，有1－n2