期末综合代数推理题-浙教版《数学》七年级上册教案

期末综合题之代数推理（教案）教学目标1.通过研究三阶幻方的共性，经历观察、发现、猜想、验证、归纳的过程，发展发现问题与提出问题的能力，感悟代数推理的必要性。2.经历分析幻方问题中数量关系，运用数量间的逻辑关系，感悟代数推理的过程。3.通过具体的数运算到未知设元，字母参与运算，运用代数推理的形式解决其他简单的幻方问题，提升推理能力和运算能力。重点和难点重点：代数推理的基本方法。难点：代数推理的一般推广应用。教学过程神话情境引入，激发学习兴趣相传大禹治水期间，洛水中浮出一只神龟，受龟背上神秘图案的启发，找到治水的方法。我们揭开神龟背上神秘的外衣，用今天的数学知识来说，这是一个三阶幻方图。（二）探究三阶幻方，代数推理论证问题1：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的格子，使得每行、每列以及每条对角线上的数字和都相等.如下是同学们填好的三阶幻方的方案。为了表达方便，我们将三阶幻方不同位置给予不同的名称，如左图。通过观察各种方案，你能发现它们有什么共同的特性。预设学生可能会发现：1.3阶幻方的中心格数都是5。2.3阶幻方中如图三角形所对应的数，角格数×2=与其不相邻的两个边格数之和于是提出问题：1.3阶幻方的中心格数为什么都是5呢？2.3阶幻方中如图三角形所对应的数，为什么“角格数×2=与其不相邻的两个边格数之和”？现在我就开始解决刚才的两个问题。1.3阶幻方的中心格数为什么都是5呢？请同学们想一想：1.每行、每列、每斜对角三个数的和多少？2.与中心格数有涉及的是哪些行、列、斜对角呢？3.上述所有涉及的行、列、斜对角，三数为一组，共四组，分别相加，求得和与1至9的自然数和相等吗？由什么引起的呢？哪个数重复加了？多加了几次？解：设3阶幻方的中心格数为x1+2+3+4+……+8+9=4545÷3=1545+3x=15×4X=5若将9个不同的整数分别填入3×3的格子，使得每行、每列以及每条对角线上的数字和都相等.填好后，上面的发现还成立吗？3阶幻方的中心格数与哪个量存在关系呢？解：设3阶幻方的中心格数为x，每行、每列、每斜对角三个数的和为S。3S+3x=4S2.3阶幻方中如图三角形所对应的数，为什么“角格数×2=与其不相邻的两个边格数之和”？请同学们想一想：与三角位置的数有涉及的是哪些行、列、斜对角？在所涉及的行、列、斜对角中，你选择哪些行、列、斜对角进行优化研究？根据上述所涉及的行、列、斜对角的数，你能列出哪些等式？由这些等式你能列出什么关键性等式？因为，e+c+x=15,d+f+x=15,e+a+d=15,c+f+b=15所以，e+c+d+f+2x=30,e+a+d+c+f+b=30,得：e+c+d+f+2x=e+a+d+c+f+b2x=a+b若将9个不同的整数分别填入3×3的格子，使得每行、每列以及每条对角线上的数字和都相等.填好后，上面的发现还成立吗？因为，e+c+x=S,d+f+x=S,e+a+d=S,c+f+b=S所以，e+c+d+f+2x=S,e+a+d+c+f+b=S得：e+c+d+f+2x=e+a+d+c+f+b2x=a+b（三）幻方填写再探，推理方法应用问题2：同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的4个数字之和都相等，则a+b的值为_________.请同学们想一想：横、竖以及内外两个圆上，每4个数字之和为多少？四个未知数中哪个相对容易得出？四个未知数中哪几个是可以确定的？哪几个是需要分类讨论的？这四个未知数从哪几个数中选？解：-1+2-3+4-5+6-7+8=44÷2=2由-7+6+b+8=2，得：b=-5再由6+4-5+x=2，得：x=-3再由a-3+4+y=2，得：a+y=1当a=-1时，a+b=-6当a=2时，a+b=-3问题3：把数字1-10的自然数分别填入图中的10个圆内，要求每边上的三个圆内数字之和都相等，你能否填出一种符合要求的填法？若能,请填上数字;若不能,请说明理由.假设能，请同学们想一想：1.若将每边上三个圆内的数字为一组，可得几组？各组相加求得和与1至10的自然数 和相等吗？2.上述不相等是什么引起的？哪些位置数字重复加了？多加了几次？3.根据上述分析，你能通过设元列出等式吗？解：假设能，设每边三个圆内数字和为S，如图所示