2024年沪科版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学下册阶段测试试卷4考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、下列各组函数中；表示同一函数是（）

A.y=1与y=x

B.y=2lgx与y=lgx2

C.y=|x|与y=（）2

D.y=x与y=lnex

2、【题文】已知函数定义域为则的定义域为（）A.B.C.D.3、【题文】设全集为实数集R，A={0,1}，B={-1,1}，则=（）A.{0}B.{0,1}C.{1}D.4、以坐标原点O为顶点，x轴的正半轴为始边，角α，β，θ的终边分别为OA，OB，OC，OC为∠AOB的角平分线，若=则tan（α+β）=（）A.B.C.D.5、若直线=0与圆x2+y2-2y=0相切，则实数m等于（）A.-1或3B.-3或3C.1或-1D.3或1评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知关于x的方程在[0，π]上有两解，则实数k的取值范围是____．7、一个空间几何体的三视图及部分数据如右图所示，则这个几何体的体积是____．

8、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图1中的实心点个数1，5，12，22，，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作第2个五角形数记作第3个五角形数记作第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则____，若则____．1512229、【题文】在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为____

。10、【题文】已知函数是奇函数，当时，则____11、已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为____12、直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为____13、已知M=[0，1]，N=[0，1]，则如图能表示M到N的映射的有______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、画出计算1++++的程序框图．16、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

17、请画出如图几何体的三视图．

18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)21、（本小题12分）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面分别在上，且（1）求证：平面∥平面．（2）求直线与平面面所成角的正弦值．22、【题文】已知函数

（1）当时，判断的奇偶性；并说明理由；

（2）当时，若求的值；

（3）若且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．23、【题文】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，平面底面为中点，M是棱PC上的点，．

（1）若点M是棱PC的中点，求证：平面

（2）求证：平面底面

（3）若二面角M-BQ-C为设PM=tMC，试确定t的值．24、已知a鈫�b鈫�

是同一平面内的向量；

(1)

若|a鈫�|=1|b鈫�|=2a鈫�

与b鈫�

的夹角为60鈭�

求|a鈫�鈭�2b鈫�|

(2)

若a鈫�=(1,1)b鈫�=(2,x)a鈫�+b鈫�

与4b鈫�鈭�2a鈫�

平行，求a鈫�

与b鈫�

的夹角娄脠

．评卷人得分五、计算题(共2题，共18分)25、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M；交DC于N．

（1）设AE=x；试把AM用含x的代数式表示出来；

（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．26、已知α，β为锐角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根，求锐角α+β的值．（备选公式）评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)27、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．28、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．29、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．30、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】

y=1与y=x中；两个函数的定义域不同，是不是相同函数．

y=2lgx与y=lgx2中；两个函数的定义域不同，是不是相同函数．

y=|x|与y=（）2中；两个函数的定义域不同，是不是相同函数．

y=x与y=lnex两个函数的定义域相同；解析式相同，所以是相同的函数．

故选D．

【解析】【答案】判断两个函数的定义域是否是同一个集合；再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．

2、D【分析】【解析】

试题分析：因为函数定义域为所以所以

考点：本题主要考查抽象函数的定义域.

点评：对于抽象函数的定义域，学生应该注意定义域始终指的是自变量的取值范围，所以此题中告诉函数定义域为指的是而要求的定义域，指的是中的的取值范围，所以才有进而解出【解析】【答案】D3、A【分析】【解析】故选A【解析】【答案】A4、D【分析】【解答】以坐标原点O为顶点；x轴的正半轴为始边，角α，β，θ的终边分别为OA，OB，OC，OC为∠AOB的角平分线；

可得θ=

∵=∴tan（α+β）=tan2θ=

故选：D．

【分析】由题意推出θ与α和β的关系，然后利用二倍角公式求解即可.5、A【分析】解：将圆的方程化为标准方程得：x2+（y-1）2=1；

∴圆心坐标为（0，1），半径r=1；

∵直线=0与圆x2+y2-2y=0相切；

∴圆心到直线的距离d=r，即=1；

解得：m=-1或m=3．

故选：A．

将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r；利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

∵0≤x≤π，∴∴．

又∵f（x）=在[0，π]上有两解，∴．

∴实数k的取值范围是．

故答案为．

【解析】【答案】利用三角函数的图象与性质即可求出．

7、略

【分析】

由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱；

底面为直角三角形；

两直角边长分别等于1和

棱柱高等于

故几何体的体积V=×1××=．

故答案为：

【解析】【答案】根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为代入棱柱体积公式即可得到答案．

8、略

【分析】将图中的小石子分组，分组方法如图所示1+（3*1+1）+（3*2+1）+（3*3+1）++【3*（n-1）+1】=a(n)=145时，n=10.【解析】【答案】35，109、略

【分析】【解析】取中点连接因为分别为中点，所以所以是异面直线和所成角的补角。同理可得，设正方体的边长为1，则所以在中，则从而异面直线和所成角为【解析】【答案】60°10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】511、3x﹣2y+2=0【分析】【解答】解：∵AC的中点M（2；4）；

∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：

整理；得3x﹣2y+2=0；

故答案为：3x﹣2y+2=0

【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．12、2【分析】【解答】解：由题意得﹣×=﹣1，∴a2b=a2+1，b==1+

∴|ab|=|a×（1+）|=|a+|=|a|+||≥2；当且仅当a=1或a=﹣1时，取等号．

故|ab|的最小值为2；

故答案为2．

【分析】由题意知，两直线的斜率之积等于﹣1，得到a、b的关系，代入|ab|的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．13、略

【分析】解：①不是；y有负值，N=[0，1]；

②是；

③不是；一个x可能对应两个y；

④是．

故答案为：②④．

紧扣映射的概念；依次判断即可．

本题考查了映射的概念，属于基础题．【解析】②④三、作图题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．16、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．17、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．18、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共4题，共24分)21、略

【分析】

【解析】略【解析】【答案】21、（1）证明：(2)22、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为于是有即这个不等式恒成立，说明这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．

试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）

所以既不是奇函数；也不是偶函数（4分）

（2）当时，

由得（1分）

即（3分）

解得（5分）

所以或（6分）

（3）当时，取任意实数，不等式恒成立；

故只需考虑此时原不等式变为（1分）

即

故

又函数在上单调递增，所以（2分）

对于函数

①当时，在上单调递减，又

所以，此时的取值范围是（3分）

②当在上，

当时，此时要使存在；

必须有此时的取值范围是（4分）

综上，当时，的取值范围是

当时，的取值范围是

当时，的取值范围是（6分）

考点：（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．【解析】【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或（3）当时，的取值范围是当时，的取值范围是当时，的取值范围是．23、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN，在三角形PAC中，利用中位线定理证明PA//MN，由线线平行得线面平行；（2）证PQ⊥AD，QB⊥AD，由PQ∩BQ=Q，所以AD⊥平面PBQ，再利用线面垂直得面面垂直；（3）先证PQ⊥面ABCD，（注意此步不可省略），再以Ｑ为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标及平面BQC的法向量并设利用关系PM=tMC，用坐标表示出来，列方程解出并得

从而易得平面MBQ法向量为再由数量积运算得可得t值．

试题解析：证明：（1）连接AC；交BQ于N，连接MN．1分。

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形；且N为AC中点；

又∵点M是棱PC的中点；∴MN//PA2分。

∵MN平面MQB，PA平面MQB；3分。

∴PA//平面MBQ．4分。

（2）∵AD//BC，BC=AD；Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．6分。

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD；且平面PAD∩平面ABCD=AD，7分。

∴BQ⊥平面PAD．8分。

∵BQ平面PQB；∴平面PQB⊥平面PAD．9分。

另证：AD//BC，BC=AD；Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ；

∴四边形BCDQ为平行四边形；∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．6分。

∵PA=PD；∴PQ⊥AD．7分。

∵PQ∩BQ=Q；∴AD⊥平面PBQ．8分。

∵AD平面PAD；∴平面PQB⊥平面PAD．9分。

（Ⅲ）∵PA=PD；Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD；且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．10分。

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图；以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为

．11分。

设

则∵

∴∴12分。

在平面MBQ中，

∴平面MBQ法向量为．13分。

∵二面角M-BQ-C为30°，∴．14分。

考点：1、线面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、利用空间直角坐标系解决问题．【解析】【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3．24、略

【分析】

(1)

根据题意，由向量数量积的计算公式可得(a鈫�鈭�2b鈫�)2=a鈫�2鈭�4a鈫�鈰�b鈫�+4b鈫�2

代入数据计算可得答案；

(2)

根据题意，计算可得a鈫�+b鈫�

与4b鈫�鈭�2a鈫�

的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得3(4x鈭�2)=6(1+x)

解可得x

的值，即可得b鈫�

的坐标，分析可得a鈫�

与b鈫�

方向相同；即可得答案．

本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．【解析】解：(1)

根据题意，若|a鈫�|=1|b鈫�|=2a鈫�

与b鈫�

的夹角为60鈭�

则a鈫�?b鈫�=1隆脕2隆脕cos60鈭�=1

则(a鈫�鈭�2b鈫�)2=a鈫�2鈭�4a鈫�鈰�b鈫�+4b鈫�2=1鈭�4+4隆脕4=13

则|a鈫�鈭�2b鈫�|=13

(2)

根据题意，若a鈫�=(1,1)b鈫�=(2,x)

则a鈫�+b鈫�=(3,1+x)4b鈫�鈭�2a鈫�=(6,4x鈭�2)

若a鈫�+b鈫�

与4b鈫�鈭�2a鈫�

平行；则有3(4x鈭�2)=6(1+x)

解可得x=2

则b鈫�=(2,2)

则有b鈫�=2a鈫�a鈫�

与b鈫�

方向相同；

则a鈫�

与b鈫�

的夹角娄脠=0鈭�

．五、计算题(共2题，共18分)25、略

【分析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME；根据勾股定理求出即可．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2，代入求出即可．【解析】【解答】解：（1）连接ME．

∵MN是BE的垂直平分线；

∴BM=ME=6-AM；

在△AME中；∠A=90°；

由勾股定理得：AM2+AE2=ME2；

AM2+x2=（6-AM）2；

AM=3-x．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b；

因MN垂直平分BE；

则ME=MB=6-a；NE=NB；

所以由勾股定理得

AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2

即a2+x2=（6-a）2，b2+（4-x）2=42+（6-b）2；

解得a=3-x2，b=x2+x+3；

所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12；

即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2）；

答：S关于x的函数关系式是S=2x+12．26、略

【分析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，然后利用题中给的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα•tanβ=整体代入得到tan（α+β）==1，再根据特殊角的三角函数值即可得到锐角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根；

∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴锐角（α+β）=45°．六、综合题(共4题，共24分)27、略

【分析】【分析】（1）过C作CE⊥AB于E；根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A；B、C三点的坐标；

（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解析】【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE=BE．

∴△AOD≌△BEC．

∴OA=EB=EA．

设菱形的边长为2m；在Rt△AOD中；

m2+（）2=（2m）2；解得m=1．

∴DC=2；OA=1，OB=3．

∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，）．

（2）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+，代入A的坐标（1，0），得a=-．

∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+．

解法二：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，）三点；

得解这个方程组，得

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3．28、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH