2025届浙江省9+1高中联盟高三11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省9+1高中联盟2025届高三11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a等于（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】因为，且，则,所以.故选：D.2.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故.所以.故选：A.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，成立，所以，解得，故选：B4.在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则，解得，则该圆锥的高为.故选：A.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】令，则，，，则，且，所以.故选：C7.已知函数，若，，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数，因为，则，又，，，，，则，所以，当时，因为，所以为单调递增函数，所以.故选：B.8.已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】依题意在区间上有零点，整理得在上有解，表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，所以表示原点到直线上的点的距离的平方，设，由于，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X服从二项分布，且，则C.X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大D.若随机变量X服从正态分布，且，则【答案】BD【解析】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；B：由，得，解得，所以，故B正确；C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；D：由，得，所以，故D正确.故选：BD10.已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；由，则，所以，所以，D对.故选：BCD11.已知曲线C方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D若，将沿翻折，使面面，则折后【答案】ABC【解析】由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正确；由，得：，在中，，则，所以，故，当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；周长，设Bx,y，，又，，则，当且仅当，即时，等号成立，故周长的最大值是，故C正确；设AB的方程是：与联立得：，解得：（舍去）或，则点为椭圆上顶点，，又在圆上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，则平面，又平面，则，所以，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为.故答案为：13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）【答案】【解析】由题意可知：，解得，则的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中项的系数为.故答案为：.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】【解析】标有数字的4只球排序共有种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，的面积为，求的值.解:（1）由条件得，从而.所以，由正弦定理得，故.从而，得，故.所以.（2）设的面积为，则.16.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；（2）讨论函数的单调性.解:（1）函数，求导得，由曲线在点处的切线垂直于直线，得，所以.（2）函数的定义域为，，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，方程中，，若，则，，函数在上单调递增；若，则，关于x的方程有两个正根，，，当或时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.17.如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.（1）证明：平面；（2）若为钝角，且二面角的大小为，求.解:（1）如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可证，又，平面ABC，平面ABC；（2）法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，则为二面角的平面角，即设，，则，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），综上.法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，易知平面PAC的法向量为，设面PAB的法向量为，则，，则，整理得，由，得，解得或（舍），综上，.18.在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.解:（1）由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得.由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，F1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距为，，所以点T的轨迹W的方程为（2）由（1）知A-2,0，F1,0，设直线，Px1联立消去x，整理得，则，根据题意可设，，则由，可得，同理可得，所以直线FM与直线FN的斜率之积，.所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值.19.一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为.（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当，记的取值为X，求X的分布列；（3）求为实数的概率.解:（1）一次操作后可能的复数为：1，i，，，，，（2）一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2由，故X的取值为1，，2，3，，4，，.，，，所以X的分布列为X1234P（3）若为实数，则或.而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，，设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为，于是，从而，即因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系.（ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）；（ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）；（ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）；因此由全概率公式可以得到：变形得，其中，故浙江省9+1高中联盟2025届高三11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a等于（）A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】因为，且，则,所以.故选：D.2.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故.所以.故选：A.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，成立，所以，解得，故选：B4.在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则，解得，则该圆锥的高为.故选：A.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】令，则，，，则，且，所以.故选：C7.已知函数，若，，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数，因为，则，又，，，，，则，所以，当时，因为，所以为单调递增函数，所以.故选：B.8.已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】依题意在区间上有零点，整理得在上有解，表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，所以表示原点到直线上的点的距离的平方，设，由于，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X服从二项分布，且，则C.X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大D.若随机变量X服从正态分布，且，则【答案】BD【解析】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；B：由，得，解得，所以，故B正确；C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；D：由，得，所以，故D正确.故选：BD10.已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；由，则，所以，所以，D对.故选：BCD11.已知曲线C方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D若，将沿翻折，使面面，则折后【答案】ABC【解析】由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正确；由，得：，在中，，则，所以，故，当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；周长，设Bx,y，，又，，则，当且仅当，即时，等号成立，故周长的最大值是，故C正确；设AB的方程是：与联立得：，解得：（舍去）或，则点为椭圆上顶点，，又在圆上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，则平面，又平面，则，所以，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为.故答案为：13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）【答案】【解析】由题意可知：，解得，则的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中项的系数为.故答案为：.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】【解析】标有数字的4只球排序共有种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若，的面积为，求的值.解:（1）由条件得，从而.所以，由正弦定理得，故.从而，得，故.所以.（2）设的面积为，则.16.已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；（2）讨论函数的单调性.解:（1）函数，求导得，由曲线在点处的切线垂直于直线，得，所以.（2）函数的定义域为，，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，方程中，，若，则，，函数在上单调递增；若，则，关于x的方程有两个正根，，，当或时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.17.如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.（1）证明：平面；（2）若为钝角，且二面角的大小为，求.解:（1）如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可证，又，平面ABC，平面ABC；（2）法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，则为二面角的平面角，即设，，则，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），综上.法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，易知平面PAC的法向量为，设面PAB的法向量为，则，，则，整理得，由，得，解得或（舍），综上，.18.在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.解:（1）由题意：点T在线段BF的垂直