建筑力学与结构（第5版）课件：轴向受力构件的受力和变形分析

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务1分析轴向拉压杆的内力CONTENTS目录内力概念和截面法01轴向拉压杆的内力02引例解析03教学目标1.用力学思维解决工程问题的能力。

1.能确定轴力的方向。2.能求指定截面的轴力。1.了解截面法。2.掌握轴向受力构件的内力类型。3.掌握轴力的符号规定。4.掌握截面法求指定截面轴力。知识目标能力目标素质目标PART01内力概念和截面法1.思考福州小城镇住宅楼项目柱受力分析2.内力概念内力：因外部载荷作用而引起的构件内部之间的相互作用力3.求内力的方法－截面法1.截开2.代替3.平衡PART02轴向拉压杆的内力1.轴向拉压杆的内力

在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，使杆件发生长度的改变(伸长或缩短)。轴向拉伸轴向压缩1.轴向拉压杆的内力

1)截开在求内力的截面n-n处，假想地将杆截为两部分，取其中一部分为研究对象，如左侧杆段（脱离体）。nnFFFnn1.轴向拉压杆的内力

(2)代替

弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。nnFFFnnNQM1.轴向拉压杆的内力nnFFFnnNQM轴力N

与杆轴相重合的内力3)平衡

对研究对象列平衡方程2.轴力的正负号规定轴力的方向以使杆件拉伸为正。轴力的方向以使杆件压缩为负。nnFFFnnNNnnF++3..轴向拉压杆指定截面内力求解例1：试求下图（a）所示轴向受力杆件截面1—1截面的轴力。1）截开：用假想截面在1—1截面处将杆件截成两部分。（a）（b）2）代替：舍去左侧隔离体，取右侧隔离体作为研究对象，用作用于截面上的轴力代替舍去部分对留下部分的作用力，如图（b）所示。3）平衡：根据留下部分的平衡条件求出该截面的轴力。得

PART03引例解析1.任务引例解析——福州小城镇住宅楼项目中柱内力分析THANKS感谢聆听

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务2绘制轴向拉压杆的内力图CONTENTS目录轴力图的概念01轴力图的绘制02引例解析03教学目标1.用力学思维解决工程问题的能力。

1.能绘制轴向受力构件的轴力图。1.理解轴力图的概念。2.掌握轴力图的绘制。3.掌握考虑自重的轴力图绘制。知识目标能力目标素质目标PART01轴力图的概念1.思考福州小城镇住宅楼项目柱内力分析2.轴力图概念

为了清楚地表示轴力随横截面位置的变化情况,常画轴力图。

这种表明轴力随横截面位置变化规律的图形称为轴力图。PART02轴力图的绘制1.轴力图绘制

画轴力图时，通常以平行杆件轴线的x坐标表示杆件的横截面位置，以与杆轴线垂直的坐标N表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形。正值轴力位于x轴上方负值轴力位于x轴下方xN轴力图作用：（1）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；（2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，确定危险截面位置，为强度计算提供依据。1.轴力图绘制

例1：已知

；

；

；

；试画所示杆件的轴力图。1.轴力图绘制1）分段：杆件在分界面A、B、C、D截面处有外力，因此，此杆AB、BC、CD各段的轴力不同。分析可知，每段内任意截面的轴力为常数，即轴力图为三条水平线组成。2）AB段：求段内任意截面截面1-1的轴力，用假想截面在1-1处将杆件截成两部分。取左侧隔离体为研究对象，如图（b）所示。由平衡方程：得

（a）（b）（c）（d）（e）3）BC段：求段内任意截面截面2-2的轴力，用假想截面在2-2处将杆件截成两部分。取左侧隔离体为研究对象，如图（c）所示。由平衡方程：得

1.轴力图绘制4）CD段：求段内任意截面3-3截面的轴力，用假想截面在3-3处将杆件截成两部分。取右侧隔离体为研究对象，如图（d）所示。（a）（b）（c）（d）（e）由平衡方程：得：

根据求得的各段轴力，画出轴力图，如图（e）所示，正、负轴力分别画在基线的两侧。由轴力图可以看出AB段的轴力最大.。1.轴力图绘制

例2：如图所示为某建筑的一根钢筋混凝土柱，柱高为3.6m，截面尺寸为450mm×450mm，，柱上承受横梁传来的荷载，其合力通过柱的轴线，大小为F=100kN，已知钢筋混凝土的重度为

。求柱中1-1截面、柱底2-2截面的内力，并画出整根柱子的内力图。1.轴力图绘制1）求柱中截面的轴力。用假想截面1-1在处将杆件截成两部分。取上侧隔离体为研究对象，如图（b）所示。隔离体上作用着两个外力，一个是横梁传来的荷载F=100kN，一个是1-1截面以上部分钢筋混凝土柱的自重，设以上的柱的体积为V1，自重为G1，则（a）（b）

（c）（d）

（e）由平衡方程:得:1.轴力图绘制2）求柱底2-2截面的轴力。用假想截面在处将杆件截成两部分。取上侧隔离体为研究对象，如图7-5（c）所示。隔离体上同样作用着两个外力，一个是横梁传来的荷载F=100kN，一个是2-2截面以上部分钢筋混凝土柱的自重，设以上的柱的体积为V2，自重为G2，则（a）（b）

（c）（d）

（e）由平衡方程:得:1.轴力图绘制3）绘制轴力图。由于柱自重的影响，不同截面的内力也不相同，计算距离柱顶任意距离处的截面内力。用假想截面在处将杆件截成两部分。取上侧隔离体为研究对象，如图（d）所示。（a）（b）

（c）（d）

（e）由上式可以看出，任意截面的轴力为以为变量的一次函数。一次函数的图像为一条斜直线，取柱顶和柱底的轴力确定此斜直线。当时

，

；当时

，

。然后将柱顶和柱底的轴力用直线连起来，即得到整根柱子的轴力图，如图(e）所示。由轴力图可以看出最大轴力在柱底。PART03引例解析1.任务引例解析——福州小城镇住宅项目中柱内力图分析THANKS感谢聆听

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务3计算静定平面桁架内力CONTENTS目录认识桁架结构01桁架结构中所有杆的内力（节点法）02桁架结构中指定杆件的内力（截面法）03教学目标1.了解我国建筑实力，激发民族认同感。2.增强学生的安全意识。

1.掌握节点法求桁架各杆内力。2.能判断桁架结构中的零杆。1.理解桁架的概念和组成。2.掌握节点法求桁架各杆内力。3.掌握截面法求桁架指定杆件的内力。4.掌握桁架中零杆的判断。知识目标能力目标素质目标PART01认识桁架结构1.思考温州科技馆北展厅屋盖采用空间钢管结构体系，钢管之间采用直接相贯的焊接节点，主桁架为平面桁架2.桁架概念和组成

桁架是由若干直杆在两端用铰连接而成的结构。基本假设:（1）节点全部为光滑铰节点。

（2）各杆轴线都是直线且通过铰的中心。

（3）荷载和支座反力都作用在节点上并位于桁架平面内。

2.桁架概念和组成

1)世界首台桩梁一体架桥机“共工号”“共工号”2)世界首座三塔四跨钢桁架悬索桥——温州瓯江北口大桥主桥荷载试验结果顺利通过。试验期间，144辆总重量近5000吨的重型卡车“压”桥，刷新国内公路桥梁“体检”加载重量纪录。桁架结构在大跨度桥梁上的应用，彰显了我国建筑实力PART02桁架结构中所有杆的内力（节点法）1.节点法概念

节点法是取桁架的节点为隔离体，由于桁架的每个节点都处于平衡状态，因此利用节点的平衡条件来计算杆件的内力。节点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。

桁架各杆件都只承受轴力，作用于桁架任一节点的力构成一个平面汇交力系。平面汇交力系平衡方程数有两个，可求解两个未知数。在利用节点法计算桁架内力时，应从不超过两根杆件的节点开始，因此可先利用整体平衡条件求出桁架的约束反力，然后从两杆节点开始计算，依次利用各节点的平衡条件，求出各杆的轴力。2.节点法应用

例1：用节点法求图（a）所示桁架各杆件的内力。2.节点法应用（1）求约束反力取桁架整体为研究对象，画受力图如图（b）所示，列平衡方程解方程得2.节点法应用（2）求各杆内力1）取节点A为隔离体,画受力图如图（c）所示，列平衡方程得得2）取节点C为隔离体,画受力图如图（d）所示，列平衡方程得2.节点法应用3）取节点F为隔离体,画受力图如图（e）所示，列平衡方程联立解方程得4）取节点G为隔离体,画受力图如图（f）所示，列平衡方程得得2.节点法应用5）取节点D为隔离体,画受力图如图（g）所示，列平衡方程6）取节点E为隔离体,画受力图如图（h）所示，列平衡方程得得得2.节点法应用7）取节点H为隔离体,画受力图如图（i）所示，列平衡方程8）校核：取节点B为隔离体,画受力图如图（j）所示，列平衡方程得计算结果无误2.节点法应用（3）各杆的内力如图（k）所示3.零杆判断（1）L形节点L形节点为不共线的两杆节点，如图（a）所示，当节点上无荷载作用时，两杆内力都为零。（2）T形节点T形节点为两杆共线的三杆节点，如图（b）所示，当节点上无荷载作用时，则不共线的第三杆内力为零，共线两杆的内力相等，符号相同。PART03桁架结构中指定杆件的内力（截面法）1.截面法法概念

截面法是截取两个以上节点部分作为隔离体计算桁架内力。截面法用于计算桁架中求少数指定杆件的内力。在需求内力的杆件上作一适当的截面，将桁架截为两部分，然后任取一部分作为研究对象，此时，隔离体上的荷载、约束反力及杆件内力组成一个平面一般力系，利用平衡条件来计算所求杆件的内力。2.截面法应用

例2：用截面法求图（a）所示桁架GH、DH、DE各杆的内力。2.截面法应用（1）求约束反力取桁架整体为研究对象，由于对称性，则点A与点B处约束反力相同(2)求GH、DH、DE各杆的内力用1-1截面假想将GH、DH、DE截开，取左边部分为研究对象，画受力图如图（b）所示，利用平衡条件列出平衡方程，即得得得（3）校核计算结果无误THANKS感谢聆听

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务4分析轴向拉压杆的应力与强度CONTENTS目录应力的概念01计算轴向拉压杆的应力02应用强度公式解决实际问题03分析轴向拉压杆的强度0405引例解析教学目标1.用力学思维解决工程问题的能力。

1.能够进行轴向拉压杆应力、强度计算。1.掌握应力的类型。2.掌握轴向拉压构件应力和强度的计算方法。3.掌握受弯构件应力和强度的计算方法。知识目标能力目标素质目标PART01应力的概念1.思考福州小城镇住宅楼项目柱应力分析2.应力的概念

截面内某点的应力是指截面上该点处的内力分布集度。应力的大小反映了该点分布内力的强弱程度。正应力剪应力应力的符号规定：正应力以拉为正，压为负；剪应力使隔离体有绕隔离体内一点顺时针转动趋势时为正，反之为负。工程上常用的应力单位为PART02计算轴向拉压杆的应力1.轴向拉压杆的应力

在拉（压）杆的横截面上，杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。N根据左侧图片现象，提出平面假设。假设变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。根据平面假设，可以作出如下的判断：（1）外力作用下轴向拉压杆截面上只有正应力；（2）同一横截面上应力均匀分布，各点正应力相等。拉压构件横截面上的正应力的计算公式为—横截面上的正应力—横截面上的轴力—横截面的面积2.计算轴向拉压杆的应力

例1：如图（a）所示的圆截面阶梯杆件，已知

，

，

；AB段直径为

，BC段直径为

，CD段直径为

。试求：（1）绘制轴力图；（2）计算各段应力。2.计算轴向拉压杆的应力解：由于杆件为悬臂构件，利用截面法求内力时，可取杆件右侧作为研究对象，可不必求支座处的支座反力。（1）绘制轴力图1)分段：杆件在分界面A、B、C、D截面处有外力，由于内力计算只与外力有关，因此，将杆件分为AB、BC、CD三段，且每段内任意截面的轴力为常数，即轴力图为三条水平线组成。2）AB段：求AB段内任意截面1-1截面的轴力，用假想截面在1-1处将杆件截成两部分。取右侧隔离体为研究对象，如图（b）所示。由平衡方程得2.计算轴向拉压杆的应力3)BC段：求BC段内任意截面2-2截面的轴力，用假想截面在2-2处将杆件截成两部分。取右侧隔离体为研究对象，如图（c）所示。由平衡方程4）CD段：求CD段内任意截面3-3截面的轴力，用假想截面在3-3处将杆件截成两部分。取右侧隔离体为研究对象，如图（d）所示。由平衡方程得得根据求得的各段轴力，画出轴力图，如图（e）所示，正、负轴力分别画在基线的两侧。2.计算轴向拉压杆的应力（2）求各段应力应力也应该分段计算，由拉压构件横截面上的正应力计算公式可知，应力与N与A有关，因此分段时既要考虑N的分段处，也要考虑A的分段处，根据分析，此杆求应力时仍分为AB、BC、CD三段。1）AB段应力2）BC段应力3）CD段应力由以上计算可知，CD段是最危险的。PART03分析轴向拉压杆的强度1.许用应力

各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象，如低碳钢、铝合金等塑性材料。（2）脆性断裂，材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂，如铸铁、混凝土等脆断材料。

实际上，轴向拉压杆件在工作时，其横截面上的正应力绝不允许达到材料的极限应力。因此工程上必须考虑使材料具有一定的安全储备，因而将材料的极限应力

除以大于1的安全系数

作为材料的许用应力，用符号

表示。2.强度条件

为了保证构件能够正常工作，具有足够的强度，就必须要求构件实际工作时的最大应力不能超过材料的许用应力即拉压构件的强度条件为：式中:

—荷载作用下构件横截面上产生的最大应力；—构件危险截面上的轴力；—构件危险截面的横截面积；—材料的许用应力。3.强度条件的应用

（1）校核强度是否成立。如果强度条件不等式成立，则满足强度要求；反之，强度不足。在已知荷载、杆件几何尺寸和材料许用应力的情况下，验算杆件是否满足强度条件，即

（2）设计截面来确定杆件的最小横截面面积，再根据截面形状，设计出具体的截面几何尺寸。在已知荷载和材料许用应力的情况下，在满足强度条件的前提下，将强度条件公式变化为3.强度条件的应用（3）确定许用荷载

根据上式确定构件的最大许用荷载，知道了每个构件的许用荷载，根据整个结构的受力情况，即可确定出整个结构的许用荷载。在已知杆件的横截面面积和材料许用应力的情况下，在满足强度条件的前提下，将强度条件公式变化为PART04运用强度公式解决实际问题1.强度公式运用

例2：如图（a）所示的圆截面杆件，已知

，

，材料的许用应力

，试校核该杆件的强度。解：画出杆件的轴力图如图（b）所示。因是等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，其最大正应力为杆件满足强度要求。1.强度公式运用

例3：如图（a）所示为某建筑的屋架，杆件截面均为圆形，已知材料的许用应力

，试选择DF杆的直径。解：（1）求支座反力(2)求DF杆的轴力利用

得采用截面法，将桁架沿n-n截面截开，取其左侧部分为隔离体，画出其受力图，如图（b）所示，对C点取矩利用

得1.强度公式运用（3）计算DF杆的直径利用

该杆最小直径为

可选择钢拉杆的直径为30mm1.强度公式运用解：（1）求1杆和2杆的轴力利用利用

得

例4：如图所示的三角形构架，钢杆1和钢杆2在A、B、C处铰接。已知钢杆1的横截面

面积

，钢杆2的横截面面积

，钢材的许用应力

。该结构在结点处受铅垂方向的

荷载G作用，试求G的最大允许值。

即利用

即

得

得为了保证整个结构的安全，点重物的允许值应选PART05引例解析1.引例解析福州小城镇住宅项目中柱强度应力分析THANKS感谢聆听

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务5计算轴向拉压杆的变形CONTENTS目录拉压杆的轴向变形01拉压杆的横向变形0203引例解析教学目标1.用力学思维解决工程问题的能力。

1.能对轴向拉压杆件进行轴向和横向变形计算。1.掌握轴向拉压构件变形计算。知识目标能力目标素质目标PART01拉压杆的轴向变形1.思考福州小城镇住宅楼项目柱变形分析。2.拉压杆的轴向变形轴向变形为:

设等直杆的原长为

，横截面面积为A，在轴向力F作用下，长度由变为,如图（a）所示轴向线应变:杆件伸长：EA称为抗拉（压）刚度PART02拉压杆的横向变形1.拉压杆的横向变形横向变形为:设变形前杆件的横向尺寸为b，变形后相应尺寸b1横向线应变:为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比，称为泊松比或横向变形系数2.计算轴向拉压杆的应力

例1：如图（a）所示一等直钢杆，承受轴向荷载，已知杆件的横截面积

，材料的弹性模量

。试求：(1)每段的伸长；(2)每段的线应变；(3)全杆总伸长。解：（1）绘制轴力图，如图（b）所示。(2)每段的伸长2.计算轴向拉压杆的应力(3)每段的线应变(4)全杆总伸长PART03引例解析1.引例解析福州小城镇住宅项目中柱变形分析THANKS感谢聆听

轴向受力构件的受力和变形分析建筑力学与结构BuildingMechanicsandStructures任务6分析轴向拉压杆的稳定性CONTENTS目录压杆稳定的概念01分析构件的截面几何性质0203临界力和临界应力提高压杆稳定性的措施引例解析0405教学目标1.培养学生的安全意识。2.用力学思维解决工程问题的能力。

1.能用压杆稳定理论解释并解决工程问题。2.能分析构件的稳定状态。3.用惯性矩等的相关概念解释工程实际问题。4.会计算细长杆的临界力。5.能分析不同截面形式压杆的稳定性。1.掌握压杆稳定的概念。2.掌握截面的几何性质。3.掌握临界力和临界应力的概念及计算方法。4.掌握提高压杆稳定性的措施。知识目标能力目标素质目标PART01压杆稳定的概念1.思考福州小城镇住宅楼项目柱稳定性分析。2.压杆稳定的概念压杆由于其轴线在轴向压力的作用下不能维持原有的直线状态而被压弯造成的这种现象为压杆丧失稳定，简称失稳。稳定的不稳定的临界状态临界力

判断压杆稳定的一个重要指标1.思考稳定性问题非常重要，当受压杆件不满足稳定性要求时，会造成严重的后果。例如2000年10月25日上午，南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤的重大事故。PART02分析构件的截面几何性质1.确定截面的形心坐标1）静矩对于图形，其面积为A。z和y为图形所在平面的坐标轴。在坐标（z，y）处取微面积dA，则乘积ydA和zdA分别为微面积对z轴和对y轴的静矩。微面积的静距在整个面积上的积分称为图形A对y轴和z轴的静矩或一次矩。

静矩与坐标轴的选择有关；若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之亦然；单位:长度的三次方；静矩的数值可正、负、零。1.确定截面的形心坐标分别表示任一组成部分的面积及其形心的坐标

形心位置确定合力矩定理，力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系各分力对同一点力矩的代数和对坐标原点取矩2）确定截面的形心坐标2.惯性矩

—图形对y轴的惯性矩—图形对z轴的惯性矩2.惯性矩

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径2.惯性矩例1：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

因此，矩形截面对形心轴的惯性矩为2.惯性矩例2：已知：圆截面直径d，求：Iy，Iz取圆环微元面积由于y轴和z轴都与圆的直径重合思考：圆环形截面的惯性矩？3.惯性积

—图形对yz轴的惯性积如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。4.极惯性矩

—图形对O点的极惯性矩5.主惯性轴和主惯性矩一对互相垂直的坐标轴，（以

、

表示），使截面对它们的惯性积等于零（即

）一对互相垂直的坐标轴是“主惯性轴”，简称“主轴”。截面对主惯性轴的惯性矩叫做“主惯性矩”。6.确定组合截面的惯性矩移轴定理:是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。平行移轴公式：6.确定组合截面的惯性矩例3：计算图7所示的组合图形的形心主惯性。解：（1）求组合图形的形心位置由于截面有一对称轴，则形心必在该对称轴上。建立直角坐标系

，设截面的形心坐标为

将T形截面在虚线处分割成上下两个矩形A1和A2，则其面积与形心坐标分别为6.确定组合截面的惯性矩（2）计算形心主惯性矩6.确定组合截面的惯性矩（2）计算形心主惯性矩PART03临界力和临界应力1.压杆的临界力临界力大小的计算公式式中：

—压杆临界力；

—压杆的抗弯刚度；其中

为材料的弹性模量；

为杆件横截面对中性轴的惯性矩，与杆件的截面形式和尺寸有关；

—杆件的计算长度；

其中为与杆件两端支承情况有关的长度系数，其值见右表；

为杆件的长度；2.压杆的临界力计算解：（1）杆件的临界力例4：如图所示两端铰支的细长压杆，该杆是由16号工字钢制成，已知钢材的弹性模量

材料的屈服极限

，杆长

。查型钢表可知

，

，

。试求：(1)杆件的临界力；(2)从强度方面计算杆件的屈服荷载。

杆件将在

值较小的平面内失稳，所以惯性矩

应为压杆截面的最小形心惯性矩

，因此

（2）计算屈服荷载3.压杆的临界应力临界应力公式（欧拉公式）称为柔度或长细比，综合的反映了压杆的长度、截面形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。4.欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围是：压杆的应力不超过材料的比例极限，即（1）细长杆（

）（式中—

称为极限柔度，是临界应力等于比例极限

时的柔度值，是适用于欧拉公式的最小柔度值。因此，当时

，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。欧拉公式只适用于细长杆。4.欧拉公式的适用范围（2）中长杆（

）这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如