湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷

湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足z(1−i)=iA．i2 B．−i2 C．12．已知二项式(x−2A．n=5B．n=8C．(x−2xD．(x−23．已知x∈R，向量a=(x,2),b=(2,A．5 B．5 C．(1,2) 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．288 B．144 C．96 D．255．已知函数f(x)=x|x|，则关于x的不等式f(2x)>f(1−x)的解集为（）A．(13,+∞) B．(−∞,16．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π3(3R−h)h2，其中RA．32000cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm37．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为A．32 B．16 C．82 8．设a=2(eA．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．b>c>a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B．线性回归直线y=bC．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10．下列说法正确的是（）A．若ac2>bc2，则C．∀a>b,m>0,b11．已知无穷数列{an}中，a1,a2,⋯,am是以10为首项，以−2为公差的等差数列，am+1,am+2,A．当m=3时，aB．当a23=−2C．当a2024=4D．不存在m，使得S2024m+3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(2x+1)的定义域为[−1,1)，则函数f(1−x)的定义域为13．函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ=14．已知动点P(x,y)的轨迹方程为x2−4y2−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为（1）求B；（2）已知b=3，求116．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AD//BC，AB=AD=CD=2，BC=4.（1）证明：AB⊥PC；（2）若PA=PC=AC，求平面BPC与平面PCD的夹角的余弦值.17．已知函数f(x)=ax（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.18．已知点P是圆E:(x−1)2+y2=16上的动点，F(−1,0)，M（1）求轨迹C的方程；（2）设不过原点的直线l与C交于A,B两点，且直线OA,OB的斜率的乘积为−34.平面上一点D满足OA=AD，连接BD交C于点19．利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31=x这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜i(i=−3,−2,−1,0,1,①求甲获胜的概率P0②求E(X

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：z=i则z=−12故答案为：D.【分析】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念.先通过变形，利用复数的除法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义求出z，据此可找出虚部.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题可知，2n=64，则(x−2x)6展开式中的第令6−2k=0，得k=3，则T4令x=1得(1−21)故答案为：D.【分析】本题考查二项式的系数，二项式展开式的通项.根据二项式系数和为2n，据此可列出方程求出n的值，据此可判断A和B选项；求出二项式展开式的通项公式，由x的指数为0可列出方程6−2k=0，解方程可求出k，反代回通项公式可求出常数项，判断C选项；再令x=13．【答案】C【解析】【解答】解：由a⊥b，则有a⋅则a+b=(3故答案为：C.【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化.先利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，解方程可求出x=1，则a+b在a上的投影向量为：4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意S3=3a1+于是S12故答案为：B.【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前n项公式可列出方程组，解方程组可求出a1,d，再利用等差数列的前n5．【答案】A【解析】【解答】解：由f(x)=x|x|=x2,x≥0−由f(2x)>f(1−x)，有2x>1−x，即x>1故答案为：A.【分析】本题考查函数的单调性.先将函数解析式去绝对值，可判断出函数的单调性为：f(x)在R上单调递增，利用函数单调性可列出不等式，解不等式可求出解集.6．【答案】B【解析】【解答】解：该灯笼去掉圆柱部分的高为40−8=32cm，则R−h=32由圆柱的底面圆直径为24cm，则有(R−h)2即162+122V=2=3456+32000−1792=33664.故答案为：B.【分析】本题考查球的内接几何体问题，球的体积公式，圆柱的体积公式.先利用勾股定理可列出方程，解方程可求出R，进而求出h，利用圆柱的体积公式求出两个圆柱的体积，利用球的体积公式求出灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积，据此可求出几何体的体积.7．【答案】C【解析】【解答】解：设直线AB:代入抛物线方程，消元可得y2设A(y12S△AFMS△BFN∴==p于是S△AFM⋅S∴S故答案为：C.【分析】本题考查抛物线的定义.先设直线AB:x=my+p2代入抛物线方程，与抛物线方程进行联立，利用韦达定理可得：y1y2=−p8．【答案】A【解析】【解答】解：令h(x)=e2x−1−2(当x＞0时，h'(x)=2e2x−2所以h(x)＞h(0)=0，所以h(12024)＞0，即h(令f(x)=2(e则f'令g(x)=f'(x)因为x∈(0可得2sinxco所以g(x)在(即f'(x)＞0在(可得f(12024)＞f综上所述：b>a>c故答案为：A.【分析】本题考查函数的单调性.令h(x)=e2x−1−2(ex−1)，求出导函数，根据导函数的正负可确定函数h(x)的单调性，进而推出h(12024)＞0，据此可推出b＞a；令f(x)=2(9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，A正确；B：由a=y−bxC：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，D正确.故答案为：ABD.【分析】本题考查方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质.利用方差的性质可判断A选项；根据线性回归直线y=bx+10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A，若ac2>bB，ba+ab≥2或bC，若a>b,m>0，则m(b−a)<0，但是a(a+m)与0的大小不能确定，C错误；D，sin2x+1+1故答案为：AD【分析】本题考查不等式的性质，利用基本不等式求最值.根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方程不改变，据此可判断A选项；观察B和D选项可得积为定值，利用基本不等式可求出最值，据此可分析取得最值的条件，据此可判断B和D选项；利用作差法化简可得ba−b+ma+m=11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.等差数列通项公式：an=10+(n−1)(−2)=−2n+12，m,等比数列通项公式：an=12⋅对一切正整数n，都有an+2m=an，当m=3时，a12B.当a23=−2时，由题意知，−2是等差数列中的项，在等差数列中，令−2n+12=−2，得对一切正整数n，都有an+2m=a解得m=8，B正确；C.当a2024=4时，由题意知，4是等差数列中的项，在等差数列中，令−2n+12=4，得对一切正整数n，都有an+2m=a得km=1010(k,m∈ND.S2024m+3若S2024m+3则有1012(11m−m令f(m)=1012(11m−m2)所以f(m)在m=5或m=6时取最大值f(m)令g(m)=30360+1012(12所以1012(11m−m即不存在m，使得S2024m+3故答案为：ABD.【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的周期性.由等差等和比数列的通项可推出an+2m=an，据此推出数列为周期数列，周期为2m，利用数列的周期性可得：a12=a6进行求值可判断A选项；−2和4是等差数列中的项，利用等差数列的通项公式求出项数n，根据数列为周期数列，周期为2m，可求出m的值可判断B和C选项；若S2024m+3≥31396，有12．【答案】(−2,【解析】【解答】解：由函数f(2x+1)的定义域为[−1,1)，则有令−1≤1−x<3，解得−2<x≤2.故答案为：(−2,【分析】本题考查抽象函数的定义域.根据题意可推出2x+1∈[−1,3)，据此可列出不等式13．【答案】π【解析】【解答】解：令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0，则根据图象得x=−π则2×(−π则φ=2kπ+π3,k∈Z，因为|φ|<π故答案为：π3【分析】本题考查根据函数图象确定函数的解析式.令f(x)=0，解出sin(2x+φ)=−12，根据图中零点可列出方程2×(−14．【答案】85【解析】【解答】解：令x2−4y2=t≥0则5≥645+故答案为：8【分析】本题考查函数的最值.令x2−4y2=t≥0，由m∈(−∞15．【答案】（1）解：(2a−c)cos由正弦定理得(2sin2cosBsin所以2cos∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，∵0<B<π，∴B=π（2）解：由正弦定理，得asin∴1=sin又∵0<A<2π3，φ为锐角，∴21sin∴12a+2c的最大值为【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形

（1）利用正弦定理将边化为角，再利用两角和的正弦公式可求出cosB，据此可推出B（2）利用正弦定理化简可得12a+2c=sin16．【答案】（1）如图，取BC的中点E，连接AE，因为EC//所以四边形ADCE为平行四边形.因为AD=DC，所以四边形ADCE为菱形，所以AE=BE=EC，即点A在以BC为直径的圆上，所以AB⊥AC.因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAC因为PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC.（2）由（1）可知AB⊥平面PAC，因为PA=PC，取AC中点为O，连PO，所以PO⊥AC.因为AE=EC，O为AC中点，所以OE⊥OC，又因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，所以PO⊥平面ABCD，因为OE⊂平面ABCD，所以PO⊥OE，所以OE,以点O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,所以CP=(0设平面PBC的法向量为m=(由CP⋅m=0取z1=1，得y1设平面PCD的法向量为n=(x2,y取z2=1，得y2所以cosm设平面BPC与平面PCD的夹角为θ，则cosθ=|所以，平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为513【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的性质定理，利用空间向量求二面角.

（1）取BC的中点E，连接AE，通过证明AE=BE=EC，利用圆周角定理可得：AB⊥AC，利用平面与平面垂直的性质定理可证明AB⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的性质定理可证明结论；（2）利用等腰三角形的性质可证明OE⊥OC，利用平面与平面垂直的性质定理可证明PO⊥平面ABCD，进而推出PO⊥OE，以点O为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出二面角.17．【答案】（1）f'(x)=2ax+(a−2)−若a≤0，f'(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减；若a>0，当x∈(0，1a)时，f'(x)<0，即f(x)当x∈(1a，+∞)时，f'(x)>0，即f(x)（2）若a≤0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(x)至多一个零点，不符合题意.若a>0，由（1）可知，f(x)的最小值为f(令h(a)=lna−1a+1，h'(a)=1a又h(1)=0，当h(a)≥0时，a∈[1，+∞)，f(x)至多一个零点，不符合题意，当h(a)<0时，a∈(0，1)又因为f(1e)=ae令g(x)=x−lnx，g'(x)=1−1x=x−1x，当x∈(0，1)时，g(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g(x)单调递增，当x>3−af(x)=ax2结合单调性可知f(x)在(3−a综上所述，若f(x)有两个零点，a的范围是(0，1)【解析】【分析】(1)利用对a进行分类讨论结合求导的方法讨论出函数的单调性。

(2)利用求导的方法判断出函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合零点存在性定理求出a的取值范围。18．【答案】（1）解：因为|ME|+|MF|=|ME|+|PM|=|EP|=4>|EF|=2，所以点M的轨迹是以点E,设C:x2a2由c=1知b=a所以点M的轨迹C的方程为x2（2）设A(x1,y1)因为点A,B均在曲线C上，所以同向相乘得x整理