2025年上外版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年上外版高二数学下册月考试卷816考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A.B.C.D.2、若R上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，则方程在区间内的所有实数根之和为（）A.4020B.4022C.4024D.40263、已知数列的前项和第项满足则A．9B．8C．7D．64、复数的值是（）A.－1B.1C.32D.－325、【题文】已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.6、如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB为（）m．A.20B.20C.20D.407、将参加夏令营的100名学生编号为：001，002，，100，采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，且随机抽得的号码为003．这100名学生分住在三个营区，从001到015在第I营区，从016到055住在第II营区，从056到100在第III营区，则第II个营区被抽中的人数应为（）A.6B.7C.8D.98、设abc隆脢(鈭�隆脼,0)

则a+1bb+1cc+1a(

)

A.都不大于鈭�2

B.都不小于鈭�2

C.至少有一个不大于鈭�2

D.至少有一个不小于鈭�2

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、（不等式证明选讲）函数的最大值是.10、把4个小球随机地投入4个盒子中，设ξ表示空盒子的个数，ξ的数学期望Eξ=____．11、已知抛物线y2=2px（p＞0）过焦点的弦AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则关系式为定值____．12、某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为________．13、若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．14、给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别曲线C的左；右焦点；则下列命题中：

（1）曲线C的焦点坐标为F1（-5，0）、F2（5；0）；

（2）曲线C上存在一点M，使得S=9；

（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为

（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|-|PF2|的最大值为

其中正确命题的序号是______．15、函数f(x)=ex鈭�alnx(

其中a隆脢Re

为自然常数)

垄脵?a隆脢R

使得直线y=ex

为函数f(x)

的一条切线；

垄脷

对?a<0

函数f(x)

的导函数f隆盲(x)

无零点；

垄脹

对?a<0

函数f(x)

总存在零点；

则上述结论正确的是______.(

写出所有正确的结论的序号)

评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共7分)23、三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=PB=求PC与AB所成角的余弦值．

评卷人得分五、计算题(共1题，共6分)24、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】试题分析：方程对应的曲线为以为圆心，为半径的上半圆，直线可化为即直线恒过点利用数形结合思想可知实数k的取值范围是考点：（1）曲线的方程，方程的曲线；（2）数形结合思想。【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】试题分析：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）,∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，,又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，,∵f（x）=f（0）+∴f（x）=∵0＜x≤1时，f（x）=log2x≤0，∴f（x）=在（0，1）内没有一实根，在（-1，0）内有一实数根x1,又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）=在（2，3）有一个实根x2，且x1+x2=2；∵f（x）的周期为4，当2010＜x＜2012时，函数的图象与2＜x＜4的图象一样,∴原方程在区间（2010，2012）内的实根有2个，设为a，b，则=2011∴a+b=4022,故选B考点：本题主要考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合0＜x≤1时，f（x）=log2x与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题.【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】试题分析：因为an=那么可知=an=∵n=1时适合an=2n-10，∴an=2n-10．∵5＜ak＜8，∴5＜2k-10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，故选B．考点：本题主要考查考查数列的通项公式的求法.【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】

因为故选A【解析】【答案】A5、A【分析】【解析】记椭圆的左焦点为F′,

圆(x-)2+y2=的圆心为E,

连接PF′；QE.

∵|EF|=|OF|-|OE|=c-==2

∴==

∴PF′∥QE,

∴=且PF′⊥PF.

又∵|QE|=(圆的半径长),

∴|PF′|=b.

据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,

∴|PF|=2a-b.

∵PF′⊥PF,

∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,

∴b2+(2a-b)2=(2c)2,

∴2(a2-c2)+b2=2ab,

∴3b2=2ab,

∴b=c==a,=

∴椭圆的离心率为【解析】【答案】A6、B【分析】解：∵∠BCD=75°；∠BDC=60°，∴∠CBD=45°；

在△BCD中，由正弦定理得：即

解得BC=20

又tan∠ACB==∴AB=BC=20．

故选：B．

在△BCD中使用正弦定理求出BC；在利用锐角三角函数的定义得出AB．

本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题．【解析】【答案】B7、C【分析】解：依题意可知；在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔5个号抽到一个人；

则分别是003；008、013、构成以3为首项；5为公差的等差数列；

从016到055住在第II营区，抽到的第一个号码是018，最后一个号码是053，共有+1=8；共有8人；

故选C

依题意可知；在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔5个号抽到一个人，则构成以3为首项，5为公差的等差数列，从而得出答案．

本题考查系统抽样，解题的关键是随机抽取第一数，再确定间隔，从而得到样本组成等差数列．【解析】【答案】C8、C【分析】解：假设a+1bb+1cc+1a

都大于鈭�2

即a+1b>鈭�2b+1c>鈭�2c+1a>鈭�2

将三式相加，得a+1b+b+1c+c+1a>鈭�6

又因为abc隆脢(鈭�隆脼,0)

所以a+1a鈮�鈭�2b+1b鈮�鈭�2c+1c鈮�鈭�2

三式相加，得a+1b+b+1c+c+1a鈮�鈭�6

所以a+1b+b+1c+c+1a>鈭�6

不成立．

故选：C

．

假设a+1bb+1cc+1a

由此利用反证法和均值不等式能求出结果．

本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】【解析】【答案】210、略

【分析】

ξ的所有可能取值为0；1，2，3．

P（ξ=0）==P（ξ=1）==

P（ξ=2）==P（ξ=3）==

∴ξ的分布列为。

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=

故答案为：

【解析】【答案】ξ的所有可能取值为0；1，2，3，求出相应的概率，即可求得ξ的数学期望．

11、略

【分析】

由题设，可设点A（2pa2，2pa），B（2pb2，2pb）．

因三点A，F，B共线，∴4ab=-1．

易知，===-4．

故答案为：-4．

【解析】【答案】先根据题意设出A、B点的坐标，结合A，F，B三点共线可得到4ab=-1，再由==代入可得到答案．

12、略

【分析】【解析】试题分析：分层抽样抽取的人数比例为高三学生抽取50人考点：分层抽样【解析】【答案】5013、略

【分析】解：由题O1（0，0）与O2：（m；0）

O1A⊥AO2；

∴m=±5

AB=

故答案为：4

画出草图，O1A⊥AO2；有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．

本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题．【解析】414、略

【分析】解：∵动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-

∴=-整理，得曲线C的方程为：=1；x≠±4

在（1）中，∵F1、F2分别曲线C的左、右焦点，c==

∴线C的焦点坐标为F1（-0）、F2（0），故（1）错误；

在（2）中，曲线C上存在一点M，（S）max==bc=3＜9；故（2）错误；

在（3）中，当∠PF2F1=90°时，|PF2|==|PF1|=8-=的值为故（3）正确；

在（4）中，当P，F2，A共线时，|PA|-|PF2|的最大值为|AF2|==故（4）正确．

故答案为：（3）（4）．

求出曲线C的方程为：=1；x≠±4．

在（1）中，C的焦点坐标为F1（-0）、F2（0）；在（2）中，（S）max=3＜9；在（3）中，由椭圆定义得的值为在（4）中，当P，F2，A共线时，|PA|-|PF2|的最大值为|AF2|．

本题考查椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】（3）（4）15、略

【分析】解：对于垄脵

函数f(x)=ex鈭�alnx

的导数为f隆盲(x)=ex鈭�ax

设切点为(m,f(m))

则e=em鈭�amem=em鈭�alnm

可取m=1a=0

则?a隆脢R

使得直线y=ex

为函数f(x)

的一条切线，故垄脵

正确；

对于垄脷?a<0

函数f(x)

的导函数f隆盲(x)=ex鈭�ax

由x>0

可得f隆盲(x)>0

则导函数无零点；故垄脷

正确；

对于垄脹

对?a<0

函数f(x)=ex鈭�alnx

由f(x)=0

可得ex=alnx

分别画出y=ex

和y=alnx(a<0)

的图象；可得它们存在交点；

故f(x)

总存在零点；故垄脹

正确．

故答案为：垄脵垄脷垄脹

．

求出f(x)

的导数；设出切点(m,f(m))

可得切线的斜率，由已知切线的方程可得am

的方程，求得m=1a=0

即可判断垄脵

求出f(x)

的导数；运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0

即可判断垄脷

由f(x)=0

可得ex=alnx

分别画出y=ex

和y=alnx(a<0)

的图象；可得它们存在交点，即可判断垄脹

．

本题考查命题的真假判断和应用，考查导数的运用：求切线方程，以及函数的零点问题，注意运用转化思想和函数的性质，考查运算能力和判断能力，属于中档题．【解析】垄脵垄脷垄脹

三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共7分)23、略

【分析】

如图所示，

∵∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°；

∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得==

在Rt△ABP中，由勾股定理可得==

在Rt△APC中，由勾股定理可得==4；

．

∵好。

∴=+++

∴=++

即29=17+4+16+++．

化为=．

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为．

【解析】【答案】利用勾股定理即可得出线段AB，PA，PC的长，进而得到cos∠BAC，cos∠ACP，利用向量及其数量积运算可得及解出即可．

五、计算题(共1题，共6分)24、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共4题，共36分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可