2024年北师大版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学下册月考试卷862考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、要得到函数的图像，只需将的图像（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位2、【题文】在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()．A.B.C.D.－3、【题文】函数是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A.B.C.D.4、【题文】如图；⊙O中弦AB；CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF∶DF＝1∶4，则CF的长等于()

A.B.2C.3D.25、“直线a∥直线β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6、如果执行如图的程序框图；那么输出的值是（）

A.2010B.-1C.D.27、已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.[-4，4]B.（-4，4）C.（-∞，4）D.（-∞，-4）8、已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2

的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1

的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为(

)

A.18娄脨

B.6娄脨

C.5娄脨

D.4娄脨

9、已知函数y=2sinx

的定义域为[a,b]

值域为[鈭�2,1]

则b鈭�a

的值不可能是(

)

A.5娄脨6

B.娄脨

C.2娄脨

D.7娄脨6

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、函数f（x）=tanx的定义域为____．11、已知｜a｜＝4,｜b｜＝8，a与b的夹角为120°，则｜2a-b｜＝.12、在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，［a,b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a-b|=_____.13、【题文】若直线y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝________.14、直线y=kx+1与A（1，0），B（1，1）对应线段有公共点，则k的取值范围是____．15、某年级先后举办了数学、音乐讲座，其中听数学讲座43人，听音乐讲座34人，还有15人同时听了数学和音乐，则听讲座的人数为______人．16、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a8≠0且S15-λa8=0，则实数λ=______．评卷人得分三、计算题(共9题，共18分)17、（2009•镜湖区校级自主招生）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=4，CD=2，对角线AC与BD交于点M．则点M到BC的距离是____．18、一组数据；1，3，-1，2，x的平均数是1，那么这组数据的方差是____．19、若∠A是锐角，且cosA=，则cos（90°-A）=____．20、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M；交DC于N．

（1）设AE=x；试把AM用含x的代数式表示出来；

（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．21、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．22、（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°．23、（2009•瑞安市校级自主招生）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去了7个小正方体），所得到的几何体的表面积是____．24、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25、有一组数据：x1，x2，x3，，xn（x1≤x2≤x3≤≤xn），它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的xn，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x1，余下数据的算术平均值为11．则x1关于n的表达式为x1=____；xn关于n的表达式为xn=____．评卷人得分四、作图题(共4题，共28分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、作出下列函数图象：y=28、画出计算1++++的程序框图．29、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、解答题(共2题，共8分)30、已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（-2，0），C（1，）

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线l：x=my+1与椭圆E交于M；N两点，点F为椭圆E的左焦点，当△FMN面积最大时，求此时直线l的方程．

31、【题文】在正方体中，分别的中点.

（1）求证：

（2）已知是靠近的的四等分点，求证：评卷人得分六、综合题(共3题，共27分)32、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．33、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．34、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】试题分析：因为，所以，要得到函数的图像，只需将的图像向左平移个单位，选C。考点：正弦型函数图象的变换【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】∵cosC＝＝

又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2；

则cosC≥即cosC的最小值为【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（-x）=-f（x）且f（0）=0，可变形为：f（-x）+f（x）=0，f（-x）-f（x）=-2f（x），f（x）•f（-x）≤0，而由f（0）=0，由知D不正确．故选D

考点：函数奇偶性。

点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】∵CF∶DF＝1∶4；∴DF＝4CF．

∵AB＝10；AF＝2，∴BF＝8．

∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2．【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：命题“若直线a∥直线β则直线a至少平行于平面β内的一条直线”是真命题。

命题“若直线a至少平行于平面β内的一条直线则直线a∥直线β”是假命题。

∵若直线a至少平行于平面β内的一条直线则直线a也可能在平面β内。

∴“若直线a至少平行于平面β内的一条直线则直线a∥直线β”是假命题。

所以“直线a∥直线β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的充分不必要条件．

故选B．

【分析】由题意得：命题“若直线a∥直线β则直线a至少平行于平面β内的一条直线”是真命题；命题“若直线a至少平行于平面β内的一条直线则直线a∥直线β”是假命题。

所以“直线a∥直线β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的充分不必要条件．6、D【分析】【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环Sk

循环前/20

第一圈是﹣11

第二圈是2

第三圈是23

第四圈是﹣14

第3n圈是2/

第3n+1圈是﹣1/

第3n+2圈是/

第2009圈是2009

第2010圈是22010

第2011圈否。

故最后输出值为2

故选D

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S的值，并输出．7、C【分析】解：当△=m2-16＜0时；即-4＜m＜4，显然成立，排除D

当m=4；f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；

当m=-4，f（x）=2（x+2）2；g（x）=-4x显然成立，排除B；

故选C．

对函数f（x）判断△=m2-16＜0时一定成立；可排除D，再对特殊值m=4和-4进行讨论可得答案．

本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．【解析】【答案】C8、C【分析】解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体为四棱锥；底面ABCD

为矩形，AB=1BC=2

侧面PAD

为等腰直角三角形；且平面PAD隆脥

平面ABCD

连接ACBD

设AC隆脡BD=O

则O

为该几何体的外接球的球心；

则半径R=12AC=52

隆脿

该几何体的外接球的表面积为4娄脨隆脕(52)2=5娄脨

．

故选：C

．

由三视图还原原几何体；可知原几何体为四棱锥，底面ABCD

为矩形，AB=1BC=2

侧面PAD

为等腰直角三角形，且平面PAD隆脥

平面ABCD

连接ACBD

设AC隆脡BD=O

则O

为该几何体的外接球的球心，由勾股定理求得半径，代入球的表面积公式得答案．

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．【解析】C

9、C【分析】解：函数y=2sinx

在R

上有鈭�2鈮�y鈮�2

函数的周期T=2娄脨

值域[鈭�2,1]

含最小值不含最大值，故定义域[a,b]

小于一个周期。

b鈭�a<2娄脨

故选C

结合三角函数R

上的值域[鈭�2,2]

当定义域为[a,b]

值域为[鈭�2,1]

可知[a,b]

小于一个周期；从而可得．

本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx

的值域[鈭�2,2]

而在区间[a,b]

上的值域[鈭�2,1]

可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

∵函数f（x）=tanx的定义域为：{x|kπ-＜x＜kπ+k∈Z}；

故答案为：{x|kπ-＜x＜kπ+k∈Z}．

【解析】【答案】由正切函数的性质即可得答案．

11、略

【分析】试题分析：由则故答案为考点：平面向量的模长的求解；平面向量的数量积.【解析】【答案】12、略

【分析】由于［a,b)上矩形面积就是该组的频率，因而|a-b|h=m,所以【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.【解析】【答案】114、[﹣1，0]【分析】【解答】解：如图；

∵直线y=kx+1过定点P（0；1）；

kPA=﹣1，kPB=0；

∴k的取值范围是：[﹣1；0]．

故答案为：[﹣1；0]．

【分析】由题意画出图形，求出直线所过定点与线段两端点连线的斜率，则答案可求．15、略

【分析】解：根据题意；设听数学的学生为集合A，听音乐的学生为集合B；

则card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；

则card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）=43+34-15=62；

即听讲座的人数为62；

故答案为：62．

根据题意，设听数学的学生为集合A，听音乐的学生为集合B，由题意可得card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；由集合的交、并集的元素数目关系可得card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）；计算可得答案．

本题考查集合的交集运算，关键是转化思路，把原问题转化为集合的交集、并集问题．【解析】6216、略

【分析】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8；

∴15a8-λa8=0；解得λ=15．

由等差数列的性质可得：S15==15a8；代入即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】15三、计算题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】过M点作MN⊥BC，利用平行线的性质得到AB、CD、MN之间的关系后代入后即可求得M到BC的距离．【解析】【解答】解：如图；过M点作MN⊥BC于N；

由平行线的性质可得；

∴可求得MN=

故答案为．18、略

【分析】【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，=（x1+x2++xn），则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2++（xn-）2]．【解析】【解答】解：x=1×5-1-3-（-1）-2=0；

s2=[（1-1）2+（1-3）2+（1+1）2+（1-2）2+（1-0）2]=2．

故答案为2．19、略

【分析】【分析】首先根据诱导公式得出cos（90°-A）=sinA，再根据cosA2+sinA2=1求解即可．【解析】【解答】解：∵cosA2+sinA2=1；

又A为锐角，cosA=；

∴sinA=．

∴cos（90°-A）=sinA=．

故答案为：．20、略

【分析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME；根据勾股定理求出即可．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2，代入求出即可．【解析】【解答】解：（1）连接ME．

∵MN是BE的垂直平分线；

∴BM=ME=6-AM；

在△AME中；∠A=90°；

由勾股定理得：AM2+AE2=ME2；

AM2+x2=（6-AM）2；

AM=3-x．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b；

因MN垂直平分BE；

则ME=MB=6-a；NE=NB；

所以由勾股定理得

AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2

即a2+x2=（6-a）2，b2+（4-x）2=42+（6-b）2；

解得a=3-x2，b=x2+x+3；

所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12；

即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2）；

答：S关于x的函数关系式是S=2x+12．21、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC；

∵∠FAC=∠DAE；

∴∠ABC=∠DAE；

而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角；

∴∠ABC=∠D；

∴∠DAE=∠D；

∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点；

∴直线AC与⊙O2相切；

∴CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径；

∴由切割线定理得：AC2=BC•CE；

∴AC=4．

答：⊙O1直径是4．22、略

【分析】【分析】本题中所给的两个题中的三角函数都是特殊角的三角函数，其三角函数值已知，将其值代入，计算即可．【解析】【解答】解：由题意（1）sin30°+cos45°=+=

（2）sin260°+cos260°-tan45°=+-1=+-1=023、略

【分析】【分析】如图所示，一、棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，那么每个小正方形的边长是1，所以每个小正方面的面积是1；二、正方体的一个面有9个小正方形，挖空后，这个面的表面积增加了4个小正方形，减少了1个小正方形，即：每个面有12个小正方形，6个面就是6×12=72个，那么几何体的表面积为72×1=72．【解析】【解答】解：如图所示；周边的六个挖空的正方体每个面增加4个正方形，减少了1个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，则表面积为12×6×1=72．

故答案为：72．24、略

【分析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：；解可得答案；

（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假设存在；根据一元二次方程根与系数的关系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但当时；△＜0，方程无实数根（5分）

∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）25、略

【分析】【分析】先表示n个数的和，在分别表示去掉最大或最小数后的数据的和，经过代数式变形可得到答案．【解析】【解答】解：由题意知，有：（x2+x3++xn）÷（n-1）=11；

∴（x2+x3++xn）=11（n-1）；

∵（x1+x2+x3++xn）÷n=10；

∴[x1+11（n-1）]÷n=10，∴x1=11-n；

又∵（x1+x2+x3++xn-1）÷（n-1）=9；

∴（x1+x2+x3++xn-1）=9（n-1）

∴[（x1+x2+x3++xn-1）+xn]÷n=10；

∴[9（n-1）+xn]÷n=10，∴xn=n+9．

故答案为：11-n；n+9．四、作图题(共4题，共28分)26、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．27、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．28、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．29、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、解答题(共2题，共8分)30、略

【分析】

（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得解得

所以椭圆E的方程为：

（2）如图所示：

由得（3m2+4）y2+6my-9=0；

设M（x1，y1），N（x2，y2）；

则

易知直线x=my+1过椭圆的右焦点（1；0）；

所以===12

=

令t=m2+1（t≥1），则f（t）=9t++6，f′（t）=9-＞0；

所以f（t）在[1；+∞）上单调递增，即f（t）≥f（1）=16；

所以S△FMN≤12=3；即△FMN面积最大为3，此时m=0；

所以所求直线方程为x=1．

【解析】【答案】（1）把点A、C的坐标代入椭圆方程可得关于a，b的方程组；解出即可；

（2）易判断直线过椭圆的右焦点（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），则=|y1-y2|，联立直线与椭圆的方程消掉x可得y的二次方程，由韦达定理可表示出|y1-y2|；构造函数，利用单调性可得函数的最值，从而可得△FMN面积的最大值及相应的m值；

31、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）用普通方法不容易证且为正方体故选用空间向量法。先建立空间直角坐标系，设出正方体的边长得各点的坐标。用向量垂直证线线垂直，再根据线面垂直的定义证得线面垂直。（2）由（1）可知用向量证得即再根据线面平行的判定定理证得线面平行。

试题解析：证明：如图所示，建立空间直角坐标系

设正方体的棱长为

∵分别的中点；

∴

1分。

（1）∵∴2分。

∵

∴3分。

∵

∴5分。

∵是平面上的两条相交直线，∴6分。

（2）∵是靠近的的四等分点，∴7分。

设则

∴

∴9分。

∴∴

∵且不在平面内，∴12分。

考点：空间向量法在立体几何中的应用。【解析】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析六、综合题(共3题，共27分)32、略

【分析】【分析】（1）过C作CE⊥AB于E；根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A；B、C三点的坐标；

（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解析】【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE=BE．

∴△AOD≌△BEC．

∴OA=EB=EA．

设菱形的边长为2m；在Rt△AOD中；

m2+（）2=（2m）2；解得m=1．

∴DC=2；OA=1，OB=3．

∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，）．

（2）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+，代入A的坐标（1，0），得a=-．

∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+．

解法二：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，）三点；