2024年北师大版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学下册阶段测试试卷89考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、若抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为6的点到焦点的距离等于8；则焦点到准线的距离是（）

A.6

B.2

C.8

D.4

2、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）

A.

B.

C.

D.

3、不等式的解集是（）

A.{x∈R|x≠1}

B.{x∈R|x≤2}

C.{x∈R|x≤2；且x≠1}

D.{x∈R|x≥2}

4、圆与直线的位置关系是（）A.直线过圆心B.相交C.相切D.相离5、【题文】函数在区间上的最大值是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则关于x，y的方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的个数为________．7、【题文】不等式的解集为__________．8、【题文】若数列中，则________．9、【题文】已知则的值为____．10、【题文】某校为了了解高三同学暑假期间学习情况，调查了200名同学；统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）。则这200名同学中学习时间在6～8小时的同学为_______________人；

11、如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)18、（本小题满分12分）已知椭圆的两顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程。19、（本小题满分12分）已知函数（1）画出函数图像；（2）求的值；（3）当时，求取值的集合.20、【题文】在△ABC中，角所对的边分别为且∥

（Ⅰ）求的值。

（Ⅱ）求三角函数式的取值范围21、数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2．

（Ⅰ）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；

（Ⅱ）求{an}的通项公式．评卷人得分五、计算题(共2题，共18分)22、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.23、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】

由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右；

焦点坐标（0），准线方程x=-

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8；

即6-（-）=8；解之可得p=4

故焦点到准线的距离为=p=4

故选D

【解析】【答案】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得6-（-）=8；解之可得p值，进而可得所求．

2、C【分析】

记事件A={△PBC的面积大于}；

基本事件空间是线段AB的长度；（如图）

因为则有

化简记得到：

因为PE平行AD则由三角形的相似性

所以；事件A的几何度量为线段AP的长度；

因为AP=

所以△PBC的面积大于的概率=．

故选C．

【解析】【答案】首先分析题目求△PBC的面积大于的概率；可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可．

3、C【分析】

∵∴∴

解得x≤2且x≠1；故解集为{x∈R|x≤2，且x≠1}；

故选C．

【解析】【答案】由不等式可得即由此求得不等式的解集．

4、B【分析】∵的圆心为（1,0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d=故选B【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】

试题分析：化简

当则所以当时故选C.

考点：1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的最值求解.【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】∵m＞n，∴有C42＝6(个)焦点在x轴上的不同椭圆．【解析】【答案】67、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以要使只需且即且所以原不等式的解集为．

考点：本题考查了不等式的解法．【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以，显然当是奇数时，所以

考点：数列的递推关系.【解析】【答案】39、略

【分析】【解析】解：因为。

两式联立可得解得=1/2【解析】【答案】1/210、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】6011、略

【分析】解：平均气温低于22.5℃的频率；即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22；

所以总城市数为11÷0.22=50；

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18；

所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．

故答案为：9．

由频率分布直方图；先求出平均气温低于22.5℃的频率，不低于25.5℃的频率，利用频数=频率×样本容量求解．

本题考查频率分布直方图，考查学生的阅读能力，计算能力．注意关系式：频数=频率×样本容量．【解析】9三、作图题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共4题，共28分)18、略

【分析】【解析】

设椭圆的方程为：由已知得=4，双曲线离心率为2（6分）又故（10分）（12分）【解析】【答案】19、略

【分析】（1）略.（2）因为所以先求出f(3)=-5,所以f(f(3))=f(-5)=11.(3)分别求出对应的值域，然后求并集即可.解:（1）图像（略）5分（2）=＝11，9分(3)由图像知，当时，故取值的集合为12分【解析】【答案】（1）图像（略）；（2）=＝11；(3)20、略

【分析】【解析】

试题分析：（I）求的值，可考虑利用正弦定理，也可利用面积公式但本题由已知且∥可根据向量平行的充要条件列式：结合正弦定理与正弦的诱导公式，两角和的正弦公式化简整理，化简可得可得从而得到的值；（II）求三角函数式的取值范围，将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得再根据算出的范围，得到的取值范围；最终得到原三角函数式的取值范围．

试题解析：(Ⅰ)∵且∥∴

由正弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC，又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC

∵sinC≠0∴cosA=

又∵0，∴

(Ⅱ)原式=+1=1-=1-2cos2C+2sinCcosC=sin2C-cos2C=

∵0<p∴<2C-<∴<sin(2C-)≤1

∴-1<sin(2C-)≤即三角函数式的取值范围为（-1，]

考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．【解析】【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）三角函数式的取值范围为（-1，]．21、略

【分析】

（Ⅰ）将an+2=2an+1-an+2变形为：an+2-an+1=an+1-an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1-an并令n从1开始取值，依次得（n-1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．

本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．【解析】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1-an+2得；

an+2-an+1=an+1-an+2；

由bn=an+1-an得，bn+1=bn+2；

即bn+1-bn=2；

又b1=a2-a1=1；

所以{bn}是首项为1；公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n-1）=2n-1；

由bn=an+1-an得，an+1-an=2n-1；

则a2-a1=1，a3-a2=3，a4-a3=5，，an-an-1=2（n-1）-1；

所以，an-a1=1+3+5++2（n-1）-1

==（n-1）2；

又a1=1；

所以{an}的通项公式an=（n-1）2+1=n2-2n+2．五、计算题(共2题，共18分)22、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）23、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。六、综合题(共3题，共15分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）25、略

【分析】【分析