2025年中考数学二轮专题复习 题型四-二次函数图象与性质综合题

第1讲Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年级上册2025年中考数学二轮专题复习题型四二次函数图象与性质综合题已知二次函数y=-x2+2bx+c.(1)二次函数图象的对称轴是直线x=

.(用含b的代数式表示)(2)当b=1时,若抛物线经过点M(2,3),求这个二次函数的表达式.

1结构化整合b(2)当b=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2x+c,将点M(2,3)代入得,3=-22+4+c,解得c=3,∴当b=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2x+3.

1结构化整合

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(4)在(2)的条件下,对于一切实数x,若函数值y<x+k总成立,求k的取值范围.

1结构化整合

图示速解拓展:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的交点情况可以用关于x的方程ax2+bx+c=kx+b的根的情况来表示.①一个交点⇔Δ=0;②两个交点⇔Δ>0;③无交点⇔Δ<0.

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(5)在(2)的条件下,当m-2≤x≤m时,二次函数的最大值是-2m,求m的值.

1结构化整合

图示速解拓展:见到“最值”找三个点,①取值范围的左端点,②取值范围的右端点,③抛物线的顶点.

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(6)若c=1,当2≤x≤4时,函数y的值总大于等于1,求b的取值范围.

1结构化整合(6)当c=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2bx+1,∴二次函数的图象开口向下,对称轴是直线x=b.∵当2≤x≤4时,函数y的值总大于等于1,∴当x=2时,y=-22+4b+1≥1,解得b≥1.当x=4时,y=-42+8b+1≥1,解得b≥2.∴b的取值范围是b≥2.

图示速解

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(7)若c=1,是否存在实数b(b>1),使得当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.

1结构化整合(7)存在.∵当c=1时,二次函数的表达式是y=-x2+2bx+1,∴二次函数的图象开口向下,对称轴是直线x=b,顶点坐标是(b,b2+1).当x=1时,y=-1+2b+1=2b,当x=4时,y=-16+8b+1=-15+8b.∵当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3,∴当b>1时,分以下3种情况讨论.已知二次函数y=-x2+2bx+c.(7)若c=1,是否存在实数b(b>1),使得当1≤x≤4时,二次函数的最大值比最小值大3,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.

1结构化整合

图示速解拓展:抛物线开口向下,到对称轴距离越远的点函数值越小;抛物线开口向上,到对称轴距离越远的点,函数值越大.

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(8)在(2)的条件下,若二次函数的图象分别交x轴于点A,B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,则对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

1结构化整合(8)存在.由(2)知,二次函数的表达式为y=-x2+2x+3,∴点C的坐标是(0,3),对称轴是直线x=1.当y=0时,解得x=3或x=-1,∴点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(3,0).∵点A,B关于直线x=1对称,∴PA+PC=PB+PC≥BC.已知二次函数y=-x2+2bx+c.(8)在(2)的条件下,若二次函数的图象分别交x轴于点A,B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,则对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

1结构化整合

图示速解“将军饮马”模型链接▶▶大单元整合专题二-类型3-问题1≫改编自2023年贵州省中考第24题的设问

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(9)在(8)的条件下,若点Q为抛物线BC上一动点(不与点B,C重合),求点Q到直线BC的最大距离.1结构化整合

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(9)在(8)的条件下,若点Q为抛物线BC上一动点(不与点B,C重合),求点Q到直线BC的最大距离.1结构化整合

图示速解拓展:本问利用到转化思想,将“求QG的最大值”转化为“求QE的最大值”,其中45°角是本问隐含的关键条件.

已知二次函数y=-x2+2bx+c.(10)在(2)的条件下,平移抛物线y=-x2+2bx+c,使平移后的抛物线的顶点在直线y=x+1上,求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.1结构化整合

2[2024遵义汇川区模拟]已知点P(m,n)在抛物线y=a(x-1)2+3(a为常数,a≠0)上.(1)若m=2,n=4,①求抛物线的解析式;②若点A(t-1,y1),B(t,y2)在该二次函数的图象上,且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧,若y1<y2,求t的取值范围.(2)当-1≤m≤0时,总有n≥-2,且当3≤m<4时,总有n≤-2,求a的值.2(1)若m=2,n=4,①求抛物线的解析式;(1)①当m=2,n=4时,P(2,4),把P(2,4)代入y=a(x-1)2+3得,4=a(2-1)2+3,解得a=1,∴y=(x-1)2+3.2(1)若m=2,n=4,②若点A(t-1,y1),B(t,y2)在该二次函数的图象上,且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧,若y1<y2,求t的取值范围.

2(2)当-1≤m≤0时,总有n≥-2,且当3≤m<4时,总有n≤-2,求a的值.

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3(1)求二次函数的表达式.(1)∵二次函数图象的顶点坐标为(1,-4),∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4.∵图象过点(3,0),∴0=4a-4,解得a=