2024年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学上册月考试卷687考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知球的内接正方体棱长为1；则球的表面积为（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

2、不等式（x+1）（x-1）＜0的解集为（）

A.{x|-1＜x＜1}

B.{x|x＜1}

C.{x|x＞-1}

D.{x|x＜-1或x＞1}

3、极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线4、【题文】已知向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为则=（）A.30°B.45°C.60°D.90°5、【题文】已知等腰三角形一个底角的正弦值为则这个三角形顶角的正切值为A.B.C.D.6、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，反设正确的是（）A.假设三个内角都不大于B.假设三个内角都大于C.假设三个内角至多有一个大于D.假设三个内角至多有二个大于7、在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（）A.（0，]B.[）C.[]D.（]8、已知（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x﹣1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2++an（x+1）n，则a1等于（）A.192B.448C.﹣192D.﹣448评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是____．10、将演绎推理“y=log2x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是____．11、已知集合A={2a，3}，B={2，3}，若A∪B={2，3，4}，则实数a的值为______．12、复数2-3i的实部是______．13、若xy

满足{x+y鈭�2鈮�0kx鈭�y+2鈮�0y鈮�0

且z=y鈭�x

的最小值为鈭�4

则k

的值为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共18分)19、【题文】（本小题满分13分）

已知函数其中请分别解答以下两小题.

(Ⅰ)若函数过点求函数的解析式.

（Ⅱ）如图，点分别是函数的图像在轴两侧与轴的两个相邻交点，函数图像上的一点若满足求函数的最大值.20、已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为求圆C的方程．评卷人得分五、计算题(共4题，共32分)21、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.22、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．23、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．24、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共2题，共14分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

∵球的内接正方体的棱长是1；

∴它的对角线长为

∴球的半径R=

∴这个球的表面积S=4π（）2=3π．

故选C．

【解析】【答案】由球的内接正方体棱长为1；先求内接正方体的对角线长，就是球的直径，然后求出球的表面积．

2、A【分析】

由（x+1）（x-1）=0；解得x=-1或1；

∴不等式（x+1）（x-1）＜0的解集为{x|-1＜x＜1}．

故选A．

【解析】【答案】先解出相应的一元二次方程的实数根；进而即可得到一元二次不等式的解集．

3、A【分析】【解析】试题分析：【解析】

∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，3x+y+1=0，为直线的方程，故选A．考点：参数方程、极坐标方程【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】

试题分析：因为，向量a=（2,1）b=（3，﹣1）向量a与b的夹角为

所以，而

所以，=45°；选B。

考点：平面向量的坐标运算；向量的夹角。

点评：简单题，注意应用夹角公式【解析】【答案】B5、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B6、B【分析】【解答】根据反证法的步骤；假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B

【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．7、A【分析】【解答】解：∵a2+b2=2c2，∴c2=

∴由余弦定理得：cosC=（当且仅当a=b时取等号）；

∴0＜C≤．

故选：A．

【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC≥即可确定出C的取值范围．8、B【分析】【解答】解：（x﹣1）n=（﹣2+x+1）n=++（x+1）2++=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2++an（x+1）n，∵（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，∴解得n=7．

则a1==448．

故选：B．

【分析】（x﹣1）n=（﹣2+x+1）n=++（x+1）2++由于（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，可得解得n．即可得出．二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】

设点A（0；-1）与点P连线中点坐标为（x，y），则由中点坐标公式可得P（2x，2y+1）；

∵动点P在曲线2x2-y=0上移动；

∴2（2x）2-（2y+1）=0

即8x2-2y-1=0

故答案为：8x2-2y-1=0．

【解析】【答案】设出点A（0，-1）与点P连线中点的坐标，利用中点坐标公式可得P（2x，2y+1），根据动点P在曲线2x2-y=0上移动；代入方程即可求得点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程。

10、略

【分析】

“y=log2x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是“函数logax（a＞1）在（0；+∞）是增函数”

故答案为：函数logax（a＞1）在（0；+∞）是增函数。

【解析】【答案】由演绎推理的基本规则；大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是对数函数，故由对数的性质易得。

11、略

【分析】解：∵A={2a；3}，B={2，3}，A∪B={2，3，4}；

∴2a=4；解得a=2．

故答案为：2．

利用并集的性质求解．

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集的定义的灵活运用．【解析】212、略

【分析】解：复数2-3i=2+（-3）i；所以它的实部是2；

故答案为：2．

利用复数的基本概念回答．

本题考查了复数的基本概念；对于复数a+bi的实部为a，虚部为b．属于基础题．【解析】213、略

【分析】解：z=y鈭�x

表示在y

轴上截距为z

且平行于y=x

的直线；

z

取最小值鈭�4

时；得到直线y=x鈭�4

画出直线x+y鈭�2=0

和y=x鈭�4

如下图：

由题意知；直线z=y鈭�x

经过原不等式所表示的平面区域的最右端(4,0)

点；

从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；

隆脿

直线kx鈭�y+2=0

表示在x

轴上的截距为4

在y

轴上的截距为2

的直线；

隆脿y=0

时，x=鈭�2k=4

隆脿k=鈭�12

．

故答案为：鈭�12

．

由z=y鈭�x

便得到y=x+z

该式可表示在y

轴上的截距为z

且平行于y=x

的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kx鈭�y+2=0

的方程，从而求出k

．

考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=y鈭�x

可以看成在y

轴上截距为z

且平行于直线y=x

的直线系．【解析】鈭�12

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共18分)19、略

【分析】【解析】

试题分析：(Ⅰ)依题意得：1分。

2分。

展开得：

3分。

4分。

5分。

6分。

（Ⅱ）过点P作于点C,

令又点分别位于轴两侧；

则可得7分。

则8分。

10分。

11分。

12分。

函数的最大值13分。

考点：利用函数图象性质求函数解析式。

点评：求三角函数的解析式时，A值由函数的最值决定，求要先求出周期值通常代入特殊点求解【解析】【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）20、解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|；

由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7；

解得：t=±1；

∴圆心坐标为（3；1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3；

则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【分析】【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．五、计算题(共4题，共32分)21、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）22、解：当x＜2时；不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．

当2≤x＜4时；不等式即2＞6，解得x无解．

当x≥4时；不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．

综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【分析】【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．23、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可24、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共2题，共14分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上