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文档简介
3.1支路分析法
3.2网孔分析法
3.3节点分析法
3.4回路分析法
3.5电路的对偶特性与对偶电路第3章电路基本分析方法下面以图3-1所示的共有4个三条以上支路连接的节点、6个支路电流的电路为例介绍支路电流分析法。3.1支路分析法图3-1支路分析法示例列KCL方程:
节点①:
i1+i2-i5=0
(3-1a)
节点②:
-i1+i3+i4=0
(3-1b)
节点③:
-i2-i3+i6=0
(3-1c)
节点④:
-i4+i5-i6=0
(3-1d)图3-1中有3个网孔,对电路的网孔编写KVL方程。设绕向为顺时针方向,电压降为正、升为负,则有
网孔Ⅰ:
-us1+u1+u5+u4+us4=0
(3-2a)
网孔Ⅱ:
-u5-u2+us2-u6=0
(3-2b)
网孔Ⅲ:
-us4-u4+u6+u3-us3=0
(3-2c)除了3个网孔外,尚有若干个回路存在,若对其中由R1、R2、us2、R3、us3、us1所构成的回路列KVL方程,同样设绕向为顺时针方向,电压降为正、升为负,则有
-us1+u1-u2+us2+u3-us3=0
(3-2d)
显然,式(3-2)中,(d)=(a)+(b)+(c)。方便起见,对平面网络通常按网孔编写KVL方程。
综上所述,对于具有n个节点、b条支路的连通网络有(n-1)个独立的KCL方程,有(b-n+1)个独立的KVL方程,由拓扑约束关系可列出的独立方程总数为
(n-1)+(b-n+1)=b
(3-3)对于具有n个节点、m个网孔的连通网络,支路电流分析法的步骤如下:
(1)在电路中标出支路电流;
(2)列出(n-1)个节点的KCL方程;
(3)列出m个网孔的KVL方程;
(4)代入欧姆定律消去电压变量,求解各支路电流。
【例3-1】电路如图3-2所示,试列写支路电流方程。
解设支路电流为i1~i6,如图所示。电路的节点数n=4,可列3个独立的KCL方程。
选择节点①~③,得
i6-i1-i2=0
i1-i4-i3=0
i2+i3-i5=0
电路的网孔数为3,可列3个独立的KVL方程,代入欧姆定律,得
R1i1+R4i4-us=0
R2i2-R3i3-R1i1=0
R5i5-R4i4+R3i3=0图3-2例3-1图
【例3-2】电路如图3-3所示,求电流i。
解设支路电流i1如图3-3所示。
由节点的KCL方程得
i+1-i1=0
由回路Ⅱ的KVL方程得
1+2i1-2i-4+1i=0
解得
i=1A图3-3例3-2图网孔分析法是指以网孔电流为变量编写平面电路方程以求解电路响应的分析方法。
所谓网孔电流,是人们假想的一个仅在网孔边界循环流动的电流。如图3-4所示平面电路,假设有电流im1、im2、im3分别沿网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ边界循环流动,则电流im1、im2、im3为网孔电流,其参考方向是任意假定的。3.2网孔分析法图3-4支路分析法示例
1.网孔电流的特点
(1)网孔电流是一组完备的变量集。显然,一旦求得网孔电流im1、im2、
im3,则电路中的任一支路电流皆可由网孔电流确定。如i1=im1,i2=im2,i3=im3,i4=im1-im3,i5=im1+im2,i6=im2+im3。
(2)网孔电流是一组独立的变量集。
在网孔电流im1、im2、im3中,任意一个网孔电流不能由其他两个电流求得。若对电路各节点以网孔电流为变量编写KCL方程,以节点①、②为例,有
im1+im2=im1+im2,im1+im3=im1+im3
(3)网孔电流有且仅有(b-n+1)个。在平面电路中,网孔数是(b-n+1)个,因此网孔电流为(b-n+1)个。
综上所述,由网孔电流为变量可以建立起一组数目最少而又能够完全描述电路的线性方程。
对图3-4,用网孔电流表示支路电流,分别对网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ编写KVL方程,有
网孔Ⅰ:
网孔Ⅱ:
(3-4)
网孔Ⅲ:同类项合并,可得
(3-5)令
R1+R4+R5=R11,R5=R12,-R4=R13,us1-us4=us11
R5=R21,(R2+R5+R6)=R22,R6=R23,us21=us22
-R4=R31,R6=R32,R3+R4+R6=R33,us3+us4=us33
则式(3-5)可写为网孔方程的一般形式:
(3-6)对照原电路不难看出,式(3-6)中:
·Rii(i=1,2,3)是第i个网孔的所有电阻之和,且为正值,称为第i网孔的自电阻。
·Rij(i≠j)是第i个网孔和第j个网孔互相共有的电阻,称为互电阻。当i、j网孔电流流过该电阻的参考方向一致时,取正值;当i、j网孔电流流过该电阻的参考方向相反时,取负值。
·usii(i=1,2,3)是第i个网孔中,沿着网孔电流的方向所有电源电压升的代数和,即电压升为正、降为负。注意,此处的电源电压不仅包括电压源电压,也包括电流源电压,所以通常当电流源介于两个网孔之间时要标出电流源电压的参考方向。所以,对于具有k个网孔的电流方向,不难写出网孔方程的一般形式,即
(3-7)
【例3-3】电路如图3-5(a)所示,求u1、u2。
解设网孔电流im1、im2、im3如图3-5(b)所示。有
R11=6,R12=2,R13=-3,us11=2
R21=2,R22=5,R23=1,us22=-1
R31=-3,R32=1,R33=5,us33=0图3-5例3-3图故网孔方程为
得
则
【例3-4】电路如图3-6(a)所示,试用网孔分析法求电流i1、i2。
解
方法一:设网孔电流为im1、im2、im3,标出电流源的电压参考方向,如图3-6(b)所示。
网孔方程为
辅助方程为
im3-im2=2
(4)
把式(3)代入式(2),消去u得
-3im1+4im2+5im3=0
(5)
把式(4)分别代入式(1)和式(5),消去im2得
(6)
(7)将式(7)代入式(6),消去im3得
代入式(7)得
代入式(4)得
则
图3-6例3-4图方法二:将电路变形为如图3-6(c)所示,设网孔电流为im1、im2、im3,得网孔方程为
解得
则
【例3-5】电路如图3-7所示,试用网孔分析法求电流i。
解设网孔电流的参考方向如图3-7所示,得网孔方程为
辅助方程为
i=im2(有受控源,写出控制量与网孔电流的关系式)解得
i=3A图3-7例3-5图
2.超网孔的概念
网孔分析法的实质是:以网孔电流为变量,选择独立回路列写KVL方程。在此,所选择的独立回路是电路的网孔。在这种情况下,若构成该网孔的支路含有电流源,则必须引入未知电压(电流源电压)u;如果在列写KVL方程时,选择避开电流源支路的回路,则可以不引入未知电压u。该回路被称为超网孔,即以网孔电流为变量列写所有不包括电流源支路的回路的KVL方程,当然同样还要写出辅助方程(电流源与网孔电流的关系式,控制量与网孔电流的关系式)。
【例3-6】电路如图3-8(a)所示,求电压u1和u2。
解
方法一:为避开电流源支路,选择虚线所示回路(超网孔),以网孔电流为变量列写KVL方程,可得
2im1+4im3+3im2=0
辅助方程为
im1-im3=1
im1-im2=2u2
u2=3im2
图3-8例3-6图解得
im1=0.62A,im2=0.089A,im3=-0.38A
u1=4im3=-1.52V,u2=3im2=0.267V
方法二:设网孔电流和电流源端电压的参考方向如图3-8(b)中所示,列网孔方程得
辅助方程为
解得
im1=0.62A,im2=0.089A,im3=-0.38A
u1=4im3=-1.52V,u2=3im2=0.267V在电路中任意选择某一节点为参考节点(零电位点),则其余各节点与参考节点间的电压(电位差)称为节点电压。以节点电压为变量,编写电路方程以求解响应的方法称为节点分析法。如图3-9所示电路,若选节点④为参考节点(零电位点),设电路中其他节点①、②和③相对于参考节点的电压(电位差)分别为un1、un2、un3,则un1、un2、un3为节点电压。节点电压的参考极性以参考节点为负,其余独立节点为正。故节点电压实质是节点与参考节点之间的电压差。3.3节点分析法图3-9节点分析法示例
1.节点电压的特点
节点电压也同样具有上节所述可以作为列方程求解电路的电压变量的一切特点。这体现在以下几个方面:
(1)节点电压是一组完备的变量集。
节点电压un1、un2、un3一旦求得,则不难看出所有的支路电压皆可由节点电压的线性组合得到。如图3-9所示,有
u1=un1-un2,u2=un2,u3=un2-un3,u4=un3,
u5=un1-un3,u6=un1
(2)节点电压是一组独立的变量集。
在节点电压un1、un2、
un3中,任意已知两个节点电压的值,不能求得第三个节点电压的值。若对电路各回路以节点电压为变量编写KVL方程,以网孔Ⅰ、Ⅱ为例,则有
(un1-un3)+(un3-un2)+(un2-un1)=0,
(un1-un2)+un2-un1=0
(3)节点电压为(n-1)个。
在具有n个节点的电路中,当选择其中一个作为参考点后,其余独立节点数为(n-1)个,即节点电压为(n-1)个。
所以,由节点电压为变量可以建立起一组数目最少而又能够完全描述电路的线性方程。
2.节点方程的一般形式
节点分析法的实质是以节点电压为变量编写节点的KCL方程。在图3-9所示的电路中,对节点①、②、③编写KCL方程,有
(3-8)
用节点电压表示元件的约束关系,有
(3-9)把式(3-9)代入式(3-8),整理后可得
(3-10)式(3-10)中,令
(G1+G5)=G11,-G1=G12,-G5=G13,is=is11
-G1=G21,(G1+G2+G3)=G22,-G3=G23,0=is22
-G5=G31,-G3=G32,(G3+G4+G5)=G33,0=is33
则有3个节点电压的节点方程为
(3-11)对具有m个节点电压的电路,相应的节点方程为
(3-12)
【例3-7】电路如图3-10(a)所示,求电压u。
解设参考点及节点电压un1、un2、un3如图3-10(b)所示。由于节点②、③的节点电压为电压源电压,故不需列节点②、③的节点方程。
由节点①列节点方程:
图3-10例3-7图辅助方程为
un2=us1,un3=us2(电压源与节点电压的关系式)
解得
【例3-8】电路如图3-11(a)所示,试编写节点方程。
解
方法一:设节点③为参考点,其余节点电压分别为un1、un2、un4。(电压源介于两个非参考节点之间)设电压源电流为i,如图3-11(b)所示。列节点①、②、④的节点方程:
图3-11例3-8图辅助方程为
us=un1-un4
方法二:若设节点④为参考点,则其余节点电压分别为un1、un2、un3,如图3-11(c)所示。(不需列节点①的节点方程)
节点②、③的节点方程为
辅助方程为
un1=us(电压源与节点电压的关系式)
【例3-9】电路如图3-12(a)所示,求u2和i。
解设受控源电流为i1,将独立电压源与1Ω电阻对调,设参考点和各节点电位如图3-12(b)所示,有
图3-12例3-9图
0.5i=un3-un2(电流源与节点电压的关系)
(控制量与节点电位的关系)
u2=un2(控制量与节点电位的关系)
解得
3.超节点的概念
从以上分析中可以看到,在应用节点法分析电路时,对于介于两个非参考节点间的电压源的处理一般要引入未知电流i。考虑到节点分析法即是以节点电压为变量,列写KCL方程,如果作闭合曲面将电压源支路及其两端点包含在内,对该闭合曲面列写KCL方程以避开电压源支路,则可以不引入未知电压i。该闭合曲面称为超节点(广义节点)。
【例3-10】电路如图3-12(a)所示,求u2和i。
解将独立电压源与1Ω电阻对调,设参考点和各节点电位如图3-13所示,为避开电压源支路,作虚线所示闭合曲面(超节点),以节点电压为变量列写KCL方程,可得
un1=0.5u2,un4=2
0.5i=un3-un2(电压源与节点电压的关系)
i=2(un1-un3),u2=un2(控制量与节点电压的关系)
解得
图3-13例3-10图网孔是一组独立回路,网孔电流是人们假想的沿网孔边界循环流动的电流,是一组独立的变量集。不妨设想,任意找到一组独立回路,假设存在沿回路边界循环流动的电流——回路电流,则该组回路电流也应是一组独立的变量集。以回路电流为变量列方程求解电路的方法,称为回路分析法(回路电流法)。网孔电流法仅适用于平面电路,而回路电流法则适用于平面或非平面电路。
对于一个具有n个节点、b条支路的连通网络来说,其独立回路数为b-(n-1)个。所谓独立回路是指,在该组回路中,任一回路都包含其他回路所没有的新支路。下面以图3-14(a)所示电路为例来具体说明回路电流法。3.4回路分析法图3-14回路分析法示例该电路有4个节点、6条支路,故独立回路数为6-(4-1)=3个。选择独立回路如图3-14(b)所示,并假设回路电流为im1、im2、im3,则各回路的KVL方程为
回路Ⅰ:
-us1+R1im1+R6(im1+im3)+R5(im1-im2+im3)+R4(im1-im2)+us2=0
回路Ⅱ:
R3im2-us2+R4(im2-im1)+R5(im2-im1-im3)=0
回路Ⅲ:
R6(im1+im3)+R5(im1+im3-im2)+R2im3=0整理得
(3-13)将式(3-13)改写为如下一般形式:
(3-14)
【例3-11】如图3-15(a)所示电路中,已知R1=10Ω,R2=5Ω,R3=15Ω,R4=5Ω,is=2A,试用回路分析法求支路电流i1。
解选择独立回路,如图3-15(b)所示,并假设回路电流为im1、im2、im3,则有回路方程
辅助方程为
i1=im1
代入数据解得
i1=-1A图3-15例3-11图
1.电路的对偶特性
从前面的学习可以发现,电路中的许多变量、元件、结构及定律等都是成对出现的,
存在明显的一一对应关系,这种类比关系就称为电路的对偶特性。例如在平面电路中,对于每一节点可列一个KCL方程:
(3-15)
3.5电路的对偶特性与对偶电路而对于每一网孔可列一个KVL方程:
(3-16)
在这里,电路变量电流与电压对偶,电路结构节点与网孔对偶,电路定律KCL与KVL对偶。又如对于图3-16所示实际电源的戴维南电路和诺顿电路模型分别有
u=us-Rsi
(3-17)
i=is-Gsu
(3-18)图3-16实际电源的电路模型表3-1电路中的常见对偶元素
2.对偶电路
考虑如图3-17所示两电路,对于图(a)可列出节点方程
(G1+G3)un1-G3un2=is1
(3-19a)
-G3un1+(G2+G3)un2=-is2
(3-19b)
对于图(b)可列出网孔方程:
(R1+R3)im1-R3im2=us1
(3-20a)
-R3im1+(R2+R3)im2=
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