《电路分析基础》课件1第8章

8.1LC电路中的正弦振荡

8.2RLC串联电路的零输入响应

8.3GLC并联电路的零输入响应

8.4一般二阶电路的分析

第8章二阶电路分析

我们首先研究仅由一个电容和一个电感组成的电路，设电容的初始电压uC(0－)=U0，电感的初始电流iL(0－)=0，如图8-1所示。若开关在t=0时闭合，考虑开关闭合后的零输入响应uC(t)和iL(t)。8.1LC电路中的正弦振荡图8-1LC电路对电路做定性分析可知：

(1)当t=0+时uC(0+)=U0，iL(0+)=0；

(2)当0<t<t1时电容放电，uC(t)↓，iL(t)↑；

(3)t=t1时，uC(t1)=0，iL(t1)=I0;

(4)当t1<t<t2时，电感电流不能跳变，电感对电容反向充电，iL(t)↓，uC(t)负上升；

(5)当t=t2时,uC(t2)=－U0，iL(t2)=0；

(6)当t2<t<t3时，电容对电感放电，|uC(t)|↓，iL(t)反向增大；

(7)当t=t3时，uC(t3)=0，iL(t3)=－I0。如此循环得波形如图8-2所示。可见，由于电能和磁能相互转换，电路两端的电压及电流不断改变大小和方向——产生电磁振荡。电磁振荡现象是电能和磁能相互转换的结果。图8-2uC(t)和iL(t)的波形由电路图8-1有

(8-1)

(8-2)

将式(8-2)代入式(8-1)得

(8-3)将式(8-1)代入式(8-2)得

(8-4)

式(8-3)和式(8-4)的特征方程均为

(8-5)

特征根均为

(8-6)故

(8-7)

将初始值

，

代入式(8-7)有

解得

所以

(8-8)可以得到以下结论：

(1)无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。(2)振荡周期由LC确定。振荡角频率。

(3)振荡幅度与初始储能uC(0+)和iL(0+)有关。

在图8-3的RLC串联电路中，已知uC(0－)=U0，iL(0－)=0，t=0时开关闭合，分析t≥0后uC(t)和iL(t)。8.2RLC串联电路的零输入响应图8-3零输入RLC电路

t≥0时由KVL得

uL(t)+uR(t)+uC(t)=0

即

(8-9)因为

故式(8-9)为

(8-10)特征方程为

LCs2+RCs+1=0

(8-11)

特征根为

(8-12)

令，，有

(8-13)则

(8-14)

下面讨论：

(1)若α>ω0，特征根为不相等的负实根，则

，t≥0

uC(t)按指数衰减，非振荡过程，称为过阻尼。

(2)若α=ω0，特征根为相等的负实根，则

，t≥0

是临界过程，称为临界阻尼。

(3)若α<ω0，特征根为一对实部为负值的共扼复根。令，，则s1,2=－α±jωd，解为

或

，t≥0

1.过阻尼α>ω0(R2>4L/C)

在图8-3所示电路中，令L=1H，R=3Ω，C=1F，

uC(0－)=0V，iL(0－)=1A，求t≥0时的uC(t)、iL(t)。

解因为，,α>ω0，故特征根为微分方程的解为

，t≥0①

由题已知

代入①式可得

uC(0+)=K1+K2=0

uC′(0+)=s1K1+s2K2=1

解得

所以

相应的波形如图8-4所示。图8-4uC和iL的波形

2.临界阻尼α=ω0(R2=4L/C)

在图8-3所示电路中，令，R=1Ω，C=1F，uC(0－)=－1V，iL(0－)=0A，求t≥0时的iL(t)。

解因为,

,α=ω0,故特征根为

微分方程的解为

，t≥0①

由题已知

代入①式可得

iL(0+)=K1=0

iL′(0+)=s1K1+K2=4

解得

所以

iL(t)=4te－2t，t≥0

相应的波形如图8-5所示。图8-5临界阻尼时的零输入响应iL的波形

3.欠阻尼α<ω0(R2<4L/C)

在图8-3所示电路中，令L=1H，R=1Ω，C=1F，uC(0－)

=1V，iL(0－)=1A，求t≥0时的uC(t)。

解因为,

,α<ω0，令，故特征根为

微分方程的解为

，t≥0①

由题已知

代入①式可得

解得

所以

相应的波形如图8-6所示。图8-6欠阻尼时的uC、iL波形如图8-7所示GLC并联电路，设iL(0－)=I0，不难得到微分方程

(8-15)8.3GLC并联电路的零输入响应将方程(8-15)与RLC串联电路的方程(8-10)对比可知，两电路具有对偶性质。不难得到

图8-7GLC并联零输入电路

【例8-1】如图8-8所示电路,已知L=1H，C=1F，R1=1Ω，R2=10Ω，us=10V，uC(0－)=1V，iL(0－)=1A，求t≥0时的uC(t)。8.4一般二阶电路的分析图8-8例8-1图

解

(1)编写电路微分方程。

该支路电流参考方向如图8-8(a)所示。由KCL、KVL及元件的VAR得方程如下

us=R1i+uC

①

②

③将③式代入①式得

④

由④式解出iL，代入②式，整理并代入元件值得电路的微分方程为

⑤

(2)求解响应。

先求初始值uC(0+)和uC′(0－)。由题意有uC(0+)=uC(0－)=1V，当t=0+时电路如图8-8(b)所示，可得

求微分方程的齐次解uCh(t)，对应的特征方程为

s2+11s+11=0

解得特征根为s1=－1.12，s2=－9.89，故

uCh(t)=K1e－1.12t+K2