《电路分析基础》课件第2章

2.1等效二端网络

2.2电阻的串联和并联

2.3电阻的Y形连接和△形连接

2.4含独立电源电路的等效变换

2.5实际电源的两种模型及等效变换

2.6含受控源电路的等效变换

2.7输入电阻

2.8练习题及解答提示

习题2第2章电路分析的等效变换在电路分析中，常用等效变换的方法化简电路，进而对电路进行分析与计算。等效变换的方法是基于等效电路的概念，而用求电路端口处VCR的方法求二端网络的等效电路是最根本的途径。本章将给出由此得出的一些结论和公式，在以后的电路分析中，不必每次都从求电路端口的VCR着手，以便于更迅速地解决问题。在电路分析中，可以把一组相互连接的元件看做一个整体，当这个整体只有两个端钮可与外部电路相连接，且进出这两个端钮的电流是同一个电流时，则称这个整体为二端网络(单口网络)。例如图2-1中的图(a)和图(b)都为二端网络。当二端网络内部含有独立源时，称其为含源二端网络；当二端网络内不含独立源时，称其为无源二端网络。2.1等效二端网络图2-1二端网络两个二端网络N1和N2，如果它们的端口伏安关系(VCR)完全相同，则N1和N2是等效的，或称N1和N2互为等效电路。尽管N1和N2可以具有完全不同的结构，但对任一外电路来说，它们都具有完全相同的作用。故等效仅为“对外等效”，对内并不等效。

等效变换是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响电路中留下来没有做变换的任一支路中的电压和电流。在电路的分析和计算中，特别是只需求解某支路电压或电流时，可先把待求支路以外的二端网络进行等效变换，即化简，再用化简后的电路去替代原复杂的二端网络，然后求解待求量。通过等效变换可把整个电路变为简单电路，便于电路的计算。2.2.1电阻的串联

n个电阻元件串联的电路如图2-2所示。电阻串联连接的特点是元件顺序首尾相接，设端口电压为u，流经每个电阻的电流均为i。由KVL可得端口的VCR为

u=R1i+R2i+…+Rki+…+Rni=(R1+R2+…+Rk+…+Rn)i=Reqi

其等效电阻为

2.2电阻的串联和并联(2-1)即n个电阻元件串联，就其端口来说，可等效为一个电阻Req。当电压、电流为关联参考方向时，第k个电阻上的电压为

式(2-2)为串联电阻的分压公式，它表明在电阻串联电路中，电阻值越大，分配到的电压就越大，即总电压u按电阻大小成正比分配。(2-2)图2-2n个电阻元件串联当只有两个电阻R1和R2相串联时，分压公式如下：

将式(2-1)两边同乘i2，得

Reqi2=R1i2+R2i2+…+Rki2+…+Rni2

即p=p1+p2+…+pk+…+pn

式(2-4)表明，当n个电阻串联时，其等效电阻上消耗的功率等于每个串联电阻消耗功率之和。电阻值越大，消耗的功率也越大。(2-3)(2-4)在实际应用中，分压电路可用一个具有滑动接触端的三端电阻器来组成，如图2-3所示。这种可变电阻器又称为“电位器”。电压ui施加于电阻R的两端，即b、c端，随

着a端的滑动，在a、c端可得到从零至ui连续可变而极性不变的电压。图2-3电位器

例2-1

图2-4所示为电阻分压电路，已知R1=R2=0.5kΩ，Rw为1kΩ的电位器。若输入电压ui=100V，试求输出电压uo的变化范围。

解当电位器滑动触头在最下端时，输出电压uo最小，由分压公式得：

图2-4例2-1题图

当电位器滑动触头在最上端时，输出电压uo

最大，同理可得:

由此可见，调节电位器Rw时，输出电压uo可在25~75V范围内连续变化。2.2.2电阻的并联

n个电阻元件的并联电路如图2-5所示。其基本特征是各电阻的端电压为同一电压u，由KCL得端口的VCR关系为

其等效电导为

(2-5)即n个电阻元件并联，就其端口来说，可等效为一个电导Geq。当电压、电流为关联参考方向时，第k个电导(电阻)上的电流为

式(2-6)为并联电阻的分流公式。它表明，在电阻并联电路中，电导值越大(电阻值越小)，分配到的电流就越大，即总电流i按各个并联电导值成正比分配。(2-6)图2-5n个电阻元件并联及等效当只有两个电阻R1和R2相并联时，有分流公式如下：

将式(2-5)两边同乘u2，得

Gequ2=G1u2+G2u2+…+Gku2+…+Gnu2

即

p=p1+p2+…+pk+…+pn(2-8)

式(2-8)表明，当n个电阻并联时，其等效电导上消耗的功率等于每个并联电导(电阻)消耗功率之和。电导值越大(电阻值越小)，消耗的功率也越大。(2-7)

例2-2

多量程电流表如图2-6所示，已知表头内阻RA=2300Ω，量程为50μA，各分流电阻分别为R1=1Ω，R2=9Ω，R3=90Ω。求扩展后各量程。图2-6例2-2题图

解基本表头偏转满刻度为50μA。当用“0”、“1”端钮测量时，“2”、“3”端钮悬空，这时RA、R2、R3是相串联的，而R1与它们相并联，由分流公式(2-7)可得

则

同理，用“0”、“2”端钮测量时，“1”、“3”端钮悬空，这时流经表头的电流满刻度仍为50μA,而R1、R2串联，再与RA和R3的串联电阻相并联，得

用“0”、“3”端钮测量时，“1”、“2”端钮悬空，得

由此例可见，若直接利用该表头测量电流，则只能测量0.05mA以下的电流，而并联了分流电阻R1、R2、R3以后，作为电流表，它就有120mA、12mA、1.2mA三个量

程，实现了电流表量程的扩展。

通过对电阻元件的串联和并联分析可知：串联电阻电路起分压作用；并联电阻电路则起分流作用。2.2.3电阻的混联

当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联，简称混联。逐个运用串联等效和并联等效以及分压和分流公式，可以很方便地解决混联电路的计算问题。

例2-3

求图2-7(a)所示电路a、b端的等效电阻Rab。图2-7例2-3题图

解为了看清楚电阻的串、并联关系，先将各同电位点合为一点，那么c、d、e三个点合为一点，如图(b)所示，这样就可以方便地求得：

Rab=［((4∥4)+2)∥4+(2∥2)］∥3=1.5Ω

式中“∥”表示求并联电阻的等效值。

对于具有对称性的电路，可根据其电路特点，首先找出等电位点，通过用短接线连接等电位点(或断开等电位点间的支路)，将电路变换为简单的串、并联形式，再求出等效电阻。

例2-4

求图2-8(a)所示电路的等效电阻Rab。

解图(a)所示电路为一对称电路，设想在a、b端加一电压源，必然得出c、d两点为等电位点，e、f两点也为等电位点，将c、d两点和e、f两点分别用短接线连接，得图(b),由图(b)可得等效电阻为

图2-8例2-4题图

前面讨论的是二端电阻网络的等效，本节讨论三端电阻网络的等效。两个三端网络等效的条件是这两个网络在对应端子上的VCR相同。2.3电阻的Y形连接和△形连接设两个三端网络N1和N2如图2-9所示。根据KVL，给定任意两对端钮间的电压，其余一对端钮间的电压便可确定。例如，给定u13和u23，则由u12=u13－u23，u12便可确定。根据KCL，给定任意两个端钮的电流，其余一个端钮的电流便可确定。例如，给定i1和i2，则由i3=－(i1+i2)，i3便可确定。也就是说，如果这两个网络的u12、u23、i1、i2的关系完全相同，则这两个三端网络N1和N2便是等效的。

三端网络的最简单形式便是电阻的星形(Y形)连接和三角形(△形)连接网络。图2-9两个三端网络的等效在电路分析过程中，常会遇到含有这种Y、△连接的电阻网络，用电阻串联、并联的等效方法无法得到整个电阻网络的等效电阻。但是，若能用Y—△等效变换的方法，对Y、△连接的电阻网络先进行等效变换，然后再用电阻的串、并联等效方法，即可求得电阻网络的等效电阻。

图2-10(a)和(b)分别是Y形网络和△形网络，现在根据三端网络等效的定义来推导Y形网络和△形网络的等效条件。图2-10Y形网络和△形网络对图2-10(a)所示的Y形网络来说，有

对图2-10(b)所示的△形网络来说，沿顺时针绕向列写KVL方程，得

－(i1－i12)R31+R12i12+(i2+i12)R23=0(2-9)

即

由此可得：

(2-10)式(2-9)和式(2-10)分别为Y形网络和△形网络的VCR，如果两式的VCR完全相同，则两式中i1与i2的对应系数应分别相等，即

(2-11)由式(2-11)可解得：

(2-12)式(2-12)就是△形网络变换为等效的Y形网络的变换公式，式中三式可概括为Y形电阻

由式(2-11)也可解得：

(2-13)式(2-13)就是Y形网络变换为△形网络的公式，式中三式可概括为△形电阻

若Y形连接中3个电阻相等，即R1=R2=R3=RY，则等效△形连接中3个电阻也相等，且等于R△=R12=R23=R32=3RY，即

R△=3RY，

当电路中含有Y、△连接的电阻网络时，可对Y、△连接的电阻网络进行Y—△等效变换，再进一步分析和计算电路。下面举例说明。

例2-5

求图2-11(a)所示电路中的电压U1。

解应用Y—△等效变换，将图(a)中3个9Ω电阻构成的△形网络进行等效变换得图(b)。在图(b)中，由电阻串、并联等效求得a、b端的等效电阻为

Rab=3+(3+3)∥(3+3)=6Ω

得图2-11例2-5题图

由分流公式，得

则

U1=3I1=3×2=6V

例2-6

电路如图2-12(a)所示，试求电流I。图2-12例2-6题图

解应用Y—△等效变换，将图(a)中acda间三个电阻构成的△形网络等效变换为Y形网络，如图(b)所示。在图(b)中，设电流I1和I2如图所示，由分流公式得

故得

ucd=1.4I1－1×I2=1.4×2－1×2=0.8V

返回到图(a)，可得

根据等效的概念，要求解电流I，必须在原电路中求取。

1.电压源的串联

图2-13(a)所示为n个电压源的串联，它可以用一个电压源等效电路来替代，如图2-13(b)所示。根据KVL，等效电压源的电压us为

若usk的参考方向与图2-13(b)中us的参考方向一致，则式(2-14)中usk的前面取“＋”号；若不一致，则取“－”号。2.4含独立电源电路的等效变换(2-14)图2-13电压源的串联及其等效电路

2.电压源的并联

只有电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。此时，等效电压源即并联电压源中的一个，如图2-14所示。图2-14电压源的并联及其等效电路

3.电压源与任意二端网络并联

电压源与任意二端网络并联时，其等效电路仍为电压源，如图2-15所示。图(a)中的网络N，可以是任意的二端元件，例如电阻R或电流源is等，也可以是一个简单或复杂的二端网络。需要强调的是，等效变换改变了电路的内部结构，但仍保持端口上电压和电流关系不变，因而不影响外接电路的工作状态，即对外等效。对同一外电路来说，图(a)中的电压源us流出的电流显然不等于图(b)中电压源us流出的电流，即对内不等效。图2-15电压源与任意二端网络相并联及其等效电路

4.电流源的并联

图2-16(a)所示为n个电流源的并联，它可以用一个电流源电路来等效替代，如图2-16(b)所示。由KCL，等效电流源的电流is为

若isk的参考方向与图(b)中is的参考方向一致，则式(2-15)中isk的前面取“＋”号；若不一致，则取“－”号。(2-15)图2-16电流源的并联及其等效电路

5.电流源的串联

只有电流相等且流向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。此时，等效电流源即串联电流源中的一个，如图2-17所示。图2-17电流源的串联及其等效电路

6.电流源与任意二端网络串联

电流源与任意二端网络串联时，其等效电路为电流源，如图2-18所示。同电压源与任意二端网络并联一样，图(a)中网络N可以是任意的二端元件，也可以是一个

二端网络。图2-18电流源与任意二端网络串联及其等效电路

2.4节讨论的都是理想独立源模型，而实际电源接入电路时，电源自身会有一定的损耗，那就不能忽略电源的内阻，因此有必要讨论实际电源的模型及其等效变换。

实际电源有实际电压源模型(戴维南电路模型)和实际电流源模型(诺顿电路模型)，它们可分别用图2-19(a)和(b)来表示。2.5实际电源的两种模型及等效变换图2-19实际电源的两种模型

2.4节讨论的最简等效电路都只含一个元件，即用一个元件替代原电路而端口的VCR不变。图2-19所示的两种实际电源模型都无法再进行化简。但当满足一定条件时，

它们可以互为等效电路，也就是说，它们可以互相替换而保持端口的VCR不变。

为寻求它们的等效条件，我们先分别写出这两种模型端口的VCR。由图2-19(a)得

u=us－Rsi(2-16)

由图2-19(b)得

为了便于和式(2-16)比较，将式(2-17)改写为

比较式(2-16)和式(2-18)，显然，如果满足如下条件：

(2-17)(2-18)(2-19)

则这两种模型的VCR完全相同，即这两个电路是等效的。

换句话说，若要这两个电路等效，那么这两种模型端口处的伏安特性曲线要完全相同。为此，给出式(2-16)和式(2-18)所示的u—i关系曲线分别如图2-20(a)和(b)所示。(2-20)或图2-20两种实际电源的伏安特性曲线由图2-20可以很清楚地看到，当图(a)和图(b)所示的伏安

特性曲线完全相同时，就有

无论是从式(2-16)和式(2-18)的对比，还是从图2-20(a)和(b)的对比，都可以看到，图2-19(a)和(b)所示电路等效的条件是式(2-19)和式(2-20)，即

或

图2-19所示的两种实际电源模型可根据式(2-19)和式(2-20)进行等效变换。两种电源模型的等效变换如图2-21所示。图2-21两种电源模型的等效变换如果已知电压源模型，则可求得其等效的电流源模型的is，并把Rs和is并联即可。如果已知电流源模型，则可求得其等效的电压源模型的us，并把Rs和us串联即可。要注意

等效变换时电压源电压的极性与电流源电流方向的关系，如图2-21所示。还要注意，互换电路中的电阻Rs是一样的，只是连接方式不同。在电路中，不与电阻串联的电压源和不与电阻并联的电流源也称为无伴电源。无伴电压源和无伴电流源之间不能直接进行等效变换。

运用等效变换的概念分析电路的方法也叫等效分析法。等效的根本是:不同结构的电路要有相同的端口伏安关系，要求的待求量应是端口以外的任意变量，因为对内是不等效的。

等效分析法可归结为：先对待求量以外的二端网络进行等效变换(化简)，再将待求支路接入化简后的电路，然后求出待求量。

例2-7

求图2-22(a)所示电路的电流i。

解在图(a)中，10V电压源并10Ω电阻等效为一个10V的电压源，如图(b)所示。在图(b)中，10V电压源串5V电压源(两电源参考极性相反)等效为一个5V的电压源，且参考极性为上“＋”下“－”，如图(c)所示。图2-22例2-7题图

图(c)电路就是等效变换后的电路，5Ω这一待求支路，对a、b左端的电路来说是外电路。也就是说，在图(a)中求i，和在图(c)中求i的结果是完全相同的。由图(c)得：

例2-8

求图2-23所示电路的电压u。

解在图(a)中，1Ａ电流源串6Ω电阻支路可等效为一个1A电流源，如图(b)所示。在图(b)中，3Ａ电流源并1Ａ电流源(两电流源参考方向相反)等效为2Ａ电流源，如图(c)所示，要注意2Ａ电流源的方向向上。

在图(c)中得

u=2×5=10V图2-23例2-8题图

例2-9

求图2-24(a)所示电路中的电流i。

解将所求支路看做外电路，对a、b端左边电路进行等效变换，也就是进行化简。

由图(a)电路，将实际电流源(2Ａ电流源并2Ω电阻支路)等效变换为实际电压源(2Ω电阻串4Ｖ电压源支路)，将实际电压源(4Ω电阻串8Ｖ电压源支路)等效变换为实际电流源(4Ω电阻并2Ａ电流源支路)，如图(b)所示。图2-24例2-9题图

在图(b)中，2Ω电阻串2Ω电阻，等效为4Ω电阻，如图(c)所示。在图(c)中，将4Ω电阻串4Ｖ电压源等效变换为1Ａ电流源并4Ω电阻，如图(d)所示。

在图(d)中，1Ａ电流源并2Ａ电流源等效为3Ａ电流源，4Ω电阻并4Ω电阻等效为2Ω电阻，如图(e)所示。

在图(e)所示电路中，利用分流公式可得电流i为

在分析含受控源电路时，也可用上述的等效变换方法进行变换。需要注意的是：

(1)先将受控源视为独立源。上述有关独立源的各种等效变换同样适用于受控源。

(2)在变换过程中，受控源的控制量不能消失。2.6含受控源电路的等效变换

例2-10

在图2-25(a)所示电路中，已知us＝12V，

R＝2Ω，VCCS的电流iC受电阻R上的电压uR控制，且iC=guR，g=2S，求uR。

解将VCCS与电阻R并联的诺顿电路等效变换为戴维南支路，如图(b)所示，其中：

uC=RiC=RguR=2×2uR=4uR

图2-25例2-10题图

又uR=Ri，由KVL，得

Ri+Ri+uC=us

即4i+4uR=us，2uR+4uR=us

得

需要注意的是：在等效变换过程中，若进一步变换会使控制量消失，而电路还没有化到最简形式，这时就要从列写端口的电压、电流的伏安关系(VCR关系)入手，

以得到最简的电路形式。若一个无源二端网络内部仅含电阻元件，则应用电阻的串、并联和Y—△等效变换等方法，可以求得它的等效电阻。若一个无源二端网络内部除电阻外还含有受控源，则不论其内部如何复杂，就其端口特性而言，同样可等效为一个线性电阻。由此定义二端网络的输入电阻如下：2.7输入电阻当一个无源二端网络N0的电压u和电流i为关联参考方向时，如图2-26所示，其输入电阻Ri定义为

(2-21)

无源二端网络N0的等效电阻Req也称为二端网络的输入电阻。在电路分析中，常需要计算输入电阻。当无源二端网络N0不含受控源时，可直接用电阻的串、并联或Y—△变换法进行化简，求出输入电阻Ri；当N0含有受控源时，可用外施电源法，即在端口加以电压源us，然后求出端口电流i(外施电压源求电流法，简称加压求流法)，则

；或在端口加以电流源is，然后求出端口电压u(外施电流源求电压法，简称加流求压法)，则。可见，外施电源法的实质仍然是求端口的VCR关系。图2-26无源二端网络

例2-11

求图2-27(a)所示电路的等效电阻Rab。

解该无源二端网络不含受控源，可直接根据电阻的串、并联关系求等效电阻。将图(a)中c、d两个同位点合为一点，得图(b)，由图(b)得

Rab=［(20∥20)+10］∥(40∥40)=10Ω图2-27例2-11题图

例2-12

求图2-28所示二端网络的输入电阻Rab。

解该无源二端网络含有受控源，可用外施电源法求该网络的输入电阻。设二端网络端口外施电压源电压为u，端口电流为i，由KVL得

u=R2i+R1(i－4i)=(R2－3R1)i

输入电阻为

图2-28例2-12题图

由该例可见，当电路中存在受控源时，在一定的参数条件下，输入电阻可能为正值，也可能为负值。负电阻元件实际是一个发出功率的元件。

从以上分析可见：无论是求二端网络的等效电路，还是对二端网络进行化简，以及求无源二端网络的输入电阻等，都涉及到二端网络VCR的求解。二端网络VCR是由它本身的性质决定的，与外接电路无关。因此，可以在任何外接电路的情况下求它的VCR。通常选择在最简单的外接电路情况下求二端网络的VCR，加压求流法和加流求压法是常用的方法。一般来说，无源二端网络的VCR总可表示为u=ai的形式，其中a为无源二端网络的等效电阻；而有源二端网络的VCR总可表示为u=ai+b的形式，其中a为等效戴维南电路中的电阻，b为等效戴维南电路中的电压源。

1.求图2-29所示单口网络的等效电阻Rab。

提示：将等电位点合为一点，容易看清串、并联关系。在该题中，若看出两个8Ω电阻为并联，便很容易求解了。

［5Ω］2.8练习题及解答提示图2-292.求图2-30所示电路的等效电阻Rab。

提示：该题无法直接用电阻串、并联等效求解。可先经Y—△等效变换，再根据串、并联等效求解。例如，可先将Y形接法的3个4Ω电阻进行Y—△等效变换，再去求解。

［4Ω］图2-303.化简图2-31所示电路为等效戴维南电路。

提示：在电路中，将25V电压源并10Ω电阻等效为

25V电压源。若再用两种实际电源模型互换化简，会使控制量消失。此时应列写端口的VCR，便可得到最简电路。

［15V,10Ω］图2-314.化简图2-32所示电路为等效诺顿电路。

提示：在等效变换过程中，当电路中含有受控源时，可视其为独立源，按有关独立源的各种等效变换进行分析。需要注意的是：在等效变换过程中控制量不能消失。

［1.5A,6Ω］图2-325.求图2-33所示电路的输入电阻Rab。