《电路分析基础》课件第10章

10.1耦合电感元件

10.2耦合电感的连接及去耦等效

10.3空芯变压器电路分析

10.4理想变压器和全耦合变压器

10.5含理想变压器电路的分析与计算

10.6练习题及解答提示

习题10第10章耦合电感和变压器电路分析10.1.1耦合电感的伏安关系

当一线圈中通以变化电流时，将在线圈中产生变化的磁通，根据电磁感应定律，这些变化的磁通将在线圈两端产生感应电压。当两线圈靠近时，一线圈中变化电流所产生的磁通不仅会在本线圈中产生感应电压，还可能在另一线圈中产生感应电压。一个线圈中的变化电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做磁耦合现象或互感现象。产生磁耦合现象的这对线圈称做互感线圈或耦合线圈。互感线圈的理想化模型即为耦合电感。下面讨论耦合电感的伏安关系。10.1耦合电感元件相互靠近的两个线圈如图10-1(a)所示。设通过线圈Ⅰ的电流为i1,通过线圈Ⅱ的电流为i2,由于两个线圈之间存在磁耦合，因此每个线圈电流所产生的磁通不仅要与本线圈交链形成磁链，而且有部分甚至全部还将与相邻的另一线圈交链形成磁链。所以，每个线圈中的磁链将由本线圈电流所产生磁链和相邻线圈电流所产生磁链两部分组成。图10-1耦合线圈若两线圈匝数分别为N1、N2，线圈的每匝都全部交链，且选定线圈中各部分磁链的参考方向与产生该磁链的线圈电流的参考方向符合右手螺旋法则，每个线圈的总磁链的参考方向与它所在线圈电流的参考方向也符合右手螺旋法则，则各线圈总磁链在图10-1(a)所示电流参考方向下可表示为(10-1)其中:Φ11、Φ22分别为电流i1、i2流经线圈Ⅰ、线圈Ⅱ所产生的磁通，称为自感磁通；Φ12、Φ21分别是Φ22、Φ11中与相邻线圈交链的部分磁通，称为互感磁通；

Ψnn=NnΦnn(n=1，2)，表示线圈n的线圈电流在线圈n中产生的磁链，称为自感磁链；Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示线圈m的线圈电流在线圈n中产生的磁链，称为互感磁链；Ψ1、Ψ2分别是线圈Ⅰ、Ⅱ的总磁链。由于线圈自感磁链的参考方向由本线圈的电流按右手螺旋法则决定，而互感磁链的参考方向由相邻线圈的电流按右手螺旋法则决定，故随着线圈电流的参考方向和线圈绕向以及线圈间的相对位置的不同，自感磁链与互感磁链的参考方向可能一致，也可能相反。当线圈绕向和电流的参考方向如图10-1(a)所示时，每个线圈中的自感磁链和互感磁链的参考方向均一致；而当线圈绕向和电流的参考方向如图10-1(b)所示时，每个线圈中的自感磁链和互感磁链的参考方向均不一致。因此，耦合线圈中的总磁链可表示为

当线圈中及周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁链都与产生它的电流成正比，即

(10-2)(10-3)式中:、分别称为线圈Ⅰ、Ⅱ的自感系数，简称自感，单位为亨［利］(H)；、称为互感系数，简称互感，单位为亨［利］(H)。可以证明M12=M21，表明互感的互易性质。所以，当只有两个线圈有耦合时，可以略去M的下标，即可令M=M12=M21。当流经线圈的电流变化时，与线圈交链的磁通要作相应的变化，并在线圈两端产生感应电压。设各线圈电压、电流均取关联参考方向，则根据电磁感应定律可得

(10-4)上式即为耦合电感的一般伏安关系式。由该式可见：耦合电感的每一线圈的感应电压包括两部分，一部分是由线圈自磁链产生的自感电压(uL1或uL2)，另一部分是由互磁链产生的互感电压(uM1或uM2)。根据电磁感应定律，若自感电压和互感电压的参考方向与产生感应电压的磁链的参考方向符合右手螺旋法则，当线圈的电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正；而互感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致时，取正号，反之，当互磁链与自磁链的参考方向不一致时，取负号。

从耦合电感的伏安关系式可知，由两个线圈组成的耦合电感是一个由L1、L2和M三个参数表征的四端元件，并且由于它的自感电压和互感电压分别与线圈中的电流的变化率成正比，因此它是一种动态元件和记忆元件。10.1.2耦合线圈的同名端

由前面的分析可知，互感磁链与自感磁链的参考方向是否一致不仅与设定的两线圈的电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及线圈间的相对位置有关。实际的线圈往往是密封的，难以根据磁通方向来确定互感电压的参考方向，其次在图上也不便画出线圈的绕向及相对位置。为了解决这一问题，引入了同名端的概念。所谓同名端，是指耦合线圈中的这样一对端钮：当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时，它们所产生的磁链是相互加强的，即线圈中的自感磁链与互感磁链的参考方向是一致的。同名端通常用标志“·”(或“*”)表示。根据同名端的定义可以方便地判断两线圈的同名端：如图10-2中，当i1、i2分别由端钮a和c流入(或流出)时，它们各自产生的磁通相助，因此a端和c端是同名端(当然b端和d端也是同名端),并在图上用“·”标出同名端；a端与d端(或b端与c端)称异名端。图10-2耦合电感的同名端有了同名端的标志，再根据设定电压、电流的参考方向，就能直接写出耦合电感的伏安关系式。其具体规则是：若耦合电感的线圈电压与电流参考方向为关联参考方向，

则自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端，则该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。在耦合线圈绕向无法知道的情况下若需确定同名端，可用图10-3所示的试验方法来测定。在该电路中，当开关S闭合时，i1将从线圈Ⅰ的a端流入，且，如果电压表正向偏转，表示线圈Ⅱ中的互感电压，则可判定电压表的正极所接端钮c与i1的流入端钮a为同名端；反之，如果电压表反向偏转，表示线圈Ⅱ中的互感电压，则可判定电压表的正极所接端钮c与i1的流入端钮a为异名端，而端钮a与d为同名端。图10-3测定同名端的实验电路10.1.3耦合线圈的电路模型

有了同名端的概念，图10-1(a)和(b)所示的耦合电感可分别用图10-4(a)和(b)所示的电路模型表征，图中L1、L2是自感系数，M是它们之间的互感系数，“·”或“*”表示同名端。图10-4耦合电感的电路模型由于耦合电感中的互感反映了耦合电感线圈间的耦合关系，为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图10-4(a)和(b)所示的耦合电感可用图10-5(a)和(b)所示的电路模型来表示。显然，在这里电感L1和L2之间已没有了耦合关系。图10-5用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型在正弦稳态电路中，式(10-4)所述的耦合电感伏安关系的相量形式为

式中：jωL1、jωL2称为自感阻抗；jωM称为互感阻抗。其相量模型如图10-6(a)和(b)所示。相应地，用受控源表示互感电压的耦合电感相量模型如图10-7(a)和(b)所示。(10-5)图10-6耦合电感相量模型图10-7用受控源表示互感电压的耦合电感相量模型10.1.4耦合线圈的耦合系数

一般情况下，流经耦合线圈的电流所产生的磁通只有部分与另一线圈交链，彼此不交链的那部分磁通称为漏磁通。而耦合线圈的互感量反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，把两个线圈的互感磁链与自感磁链的比值的几何平均值定义为耦合系数，并用符号k表示，即

(10-6)又因为Ψ11=L1i1，Ψ21=Mi1，

Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式(10-6)后，有

由于一般情况下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，因此k≤1。当k＝1时，称为全耦合，此时一个线圈中电流产生的磁通全部与另一线圈交链，互感达到最大值，即；k≈1时，称为紧耦合；k较小时，称为松耦合；k＝0时，称为无耦合，此时耦合电感的两个线圈的磁通互不交链，互感M=0。(10-7)

例10-1

试写出图10-8所示耦合电感的伏安关系。图10-8例10-1图

解因为图10-8所示耦合电感线圈Ⅰ的电流i1与电压u1为关联参考方向，故自感电压；又因为线圈Ⅰ的正极性端与线圈Ⅱ电流i2的流入端为同名端，故线圈Ⅰ的互感电压。因为线圈Ⅱ的电流i2与电压u2为非关联参考方向，故自感电压；又因为线圈Ⅱ的正极性端与线圈Ⅰ电流i1的流入端为异名端，故线圈Ⅱ的互感电压。由此可得该耦合电感的伏安关系为：

耦合电感的两个线圈在实际电路中一般以某种方式相互连接，基本的连接方式有串联、并联和三端连接。在分析含耦合电感的电路时，首先将上述连接方式的耦合电感用无耦合的等效电路等效替代，然后进行分析。通常我们将这个等效替代的过程称为去耦等效。本节主要介绍这三种基本连接方式、三种基本连接方式的去耦等效以及去耦等效法在含耦合电感电路分析中的应用。10.2耦合电感的连接及去耦等效10.2.1耦合电感的串联

耦合电感的两线圈串联时有两种连接方式：一种如图10-9(a)所示，将耦合电感线圈的两个异名端连在一起并通以同一个电流，耦合电感的这种连接方式称为顺串；另一种如图10-9(b)所示，将耦合电感线圈的两个同名端连在一起并通以同一个电流，耦合电感的这种连接方式称为反串。图10-9耦合电感的串联设耦合电感线圈上的电压、电流取如图10-9所示的关联参考方向，则由耦合电感的伏安关系可得两种连接方式的串联电路的伏安关系为

(10-8)式中:M前取正号时，对应于顺串;M前取负号时，对应于反串。式(10-8)表明，作串联连接的耦合电感在电路中可等效为一个如图10-9(c)或(d)所示的电感元件，其等效电感为

Leq=L1+L2±2M10.2.2耦合电感的并联

耦合电感的并联连接也有两种形式：一种如图10-10(a)所示，将耦合电感线圈的两个同名端连在一起并跨接在同一个电压上，耦合电感的这种连接方式称为同侧并联；

另一种如图10-10(b)所示，将耦合电感线圈的两个异名端连在一起并跨接在同一个电压上，耦合电感的这种连接方式称为异侧并联。图10-10耦合电感的并联设耦合电感线圈上的电压、电流取如图10-10所示的关联参考方向，则由耦合电感的伏安关系可得两种连接方式的并联电路的伏安关系为

(10-9)式(10-9)中，M前取正号时，对应于同侧并联；M前取负号时，对应于异侧并联。对上式联立求解得

(10-10)将式(10-10)中两方程相加,即得两种并联连接方式的耦合电感的伏安关系为

或

(10-11)(10-12)其中:

在式(10-13)中，2M前取负号时，对应于同侧并联；2M前取正号时，对应于异侧并联。式(10-12)表明，作并联连接的耦合电感在电路中可等效为一个如图10-10(c)或(d)所示的电感元件。(10-13)10.2.3耦合电感的三端连接

将耦合电感的两个线圈各取一端连接起来就构成了耦合电感的三端连接电路。耦合电感的三端连接也有两种接法：一种是将同名端相连，构成如图10-11(a)所示的三端连接电路；另一种是将异名端相连，构成如图10-11(b)所示的三端连接电路。显然，前面介绍的耦合电感的串联连接、并联连接均可看成三端连接的特例。图10-11耦合电感的三端连接下面介绍三端连接的耦合电感的去耦等效。设图10-11(a)中耦合电感各线圈上的电压和电流的参考方向如图所示，则由耦合电感的伏安关系可得

(10-14)经变换可得

由式(10-15)可得图10-11(a)所示三端连接的耦合电感的去耦等效电路如图10-11(c)所示。(10-15)同理可推得图10-11(b)所示三端连接的耦合电感的去耦等效电路如图10-11(d)所示。

在正弦稳态电路中，对应于图10-11所示耦合电感的三端连接及其去耦等效电路的相量模型如图10-12所示。图10-12耦合电感的三端连接的相量模型10.2.4去耦等效法在含耦合电感电路分析中的应用

下面举例说明利用去耦等效的方法分析含耦合电感的电路。

例10-2

如图10-13(a)所示电路，已知R1=12Ω，ωL1=2Ω，ωL2=10Ω，

ωM=6Ω，R3=6Ω，，试求其输入阻抗Zab。

图10-13例10-2题图

解图10-13(a)所示电路中的耦合电感为同名端相连的三端连接方式，其去耦等效电路的相量模型如图10-13(b)所示。由图(b)可得

例10-3

试求图10-14(a)所示有源二端网络的戴维南等效电路。已知，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω。

图10-14例10-3题图

解图10-14(a)所示电路中的耦合电感为同名端相连的三端连接方式，其去耦等效电路的相量模型如图10-14(b)所示。

(1)求等效阻抗Zab

：

(2)求开路电压:

故得图10-14(a)所示有源二端网络的戴维南等效电路如图10-14(c)所示。

例10-4

试列写图10-15(a)所示正弦稳态电路的网孔方程。

图10-15例10-4题图

解图10-15(a)所示电路中的耦合电感为同名端相连的三端连接，其去耦等效后的电路如图10-15(b)所示。对于图10-15(b)，设各网孔的网孔电流及其方向如图所示，则网孔方程为

整理得

具有互感耦合作用的耦合线圈在工程上有多种用途，变压器就是利用耦合线圈间的磁耦合来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。变压器通常由两个线圈组成，其中一个线圈与电源相接，称为初级线圈或原边线圈；另一个线圈与负载相接，称为次级线圈或副边线圈。10.3空芯变压器电路分析初、次级线圈间只有磁的耦合而没有电的直接联系，这种电路称为变压器耦合电路，而把这一对具有互感的线圈称为变压器。若变压器的线圈绕在铁芯材料上，则构成铁芯变压器；若绕在非铁磁材料上，则构成空芯变压器。前者的耦合系数接近1，属于紧耦合；后者线圈间的耦合系数较小，属于松耦合。本节只介绍含空芯变压器电路的正弦稳态分析。图10-16(a)是最简空芯变压器电路的相量模型，虚线框内为空芯变压器。它由一个互感元件与两个电阻组成，其中：R1和R2分别表示原边线圈和副边线圈的绕线电阻；L1和L2分别表示原边线圈和副边线圈的绕线的自感；M表示原边线圈和副边线圈间的互感。图10-16空芯变压器在正弦稳态下，设初、次级回路的电流相量分别为、，如图10-16(a)所示。若将互感电压用受控源等效替代，则图10-16(a)可等效为图10-16(b)所示电路，由此可列得回路间的KVL方程为

(10-16)若令Z11=R1+jωL1、Z22=R2+jωL2+ZL分别表示初、次级回路的自阻抗，则方程组(10-16)可简写为

(10-17)由此可解得

由式(10-18)可得初级回路从a、b端看入的等效阻抗为

(10-18)

(10-19)式(10-19)表明，等效阻抗Zi由两部分组成：一部分为初级回路自阻抗Z11，另一部分为，称为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗，它是一个决定于互感及次级回路参数的阻抗，反映了次级回路通过磁耦合对初级回路所产生的影响。当时，Zi=Z11。利用反映阻抗的概念，空芯变压器从电源看进去的等效电路如图10-16(c)所示，该电路称为初级等效电路。由该等效电路可方便地计算出初级回路电流。求得初级回路电流后，由图10-16(b)可得次级回路的回路电流为

此外，对于空芯变压器电路也可用上节介绍的去耦等效的方法进行分析。因为在图10-17(a)所示的空芯变压器电路中，若将b和d两点相连，由于该连线上无电流流过，故对原电路并无影响，则此时空芯变压器就变成了三端连接的耦合电感，通过去耦等效得图10-17(b)所示的等效电路，对该电路用正弦稳态电路的分析方法即可求解。(10-20)图10-17空芯变压器电路的去耦等效电路

例10-5

空芯变压器电路如图10-18(a)所示，试求初、次级回路电流、。

图10-18例10-5题图

解法一利用反映阻抗的概念求解。

由图10-18(a)所示电路可得

Z11=7.5+j30－j22.5=(7.5+j7.5)Ω

Z22=(60+j60)Ω

次级对初级的反映阻抗为

则可得初级等效电路如图10-18(b)所示。由该图可得

由图10-18(a)进一步求解可得

解法二利用去耦等效的方法求解。

图10-18(a)所示电路的去耦等效电路如图10-18(c)所示，则由该图可得：

10.4.1理想变压器的伏安关系

理想变压器也是一种耦合元件，它是实际变压器在满足以下三个理想化条件下的电路模型：

(1)变压器本身无损耗，即其电阻效应为零。

(2)耦合系数k=1，即为全耦合。

10.4理想变压器和全耦合变压器

(3)线圈的自感系数L1和L2均为无限大，且L1/L2等于常数；互感系数也为无限大。

对于理想变压器，我们一般用图10-19所示的电路符号来表示。图10-19理想变压器在图10-19(a)所示同名端及电压、电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为

式中，n是常数，称为理想变压器的变比，数值上等于理想变压器初、次线圈的匝数比，即，它是理想变压器唯一的参数。(10-21)或式(10-21)是在图10-19(a)所示同名端及电压、电流参考方向下得到的。若将图10-19(a)所示理想变压器的同名端改为图10-20(b)所示，则此时所对应的理想变压器的伏安关系为

(10-22)或比较式(10-21)和式(10-22)可以看出，理想变压器的伏安关系与线圈电压、电流参考方向及同名端位置有关。为了正确列写理想变压器的伏安关系，在给定电压、电流参考方向及同名端的情况下，具体可按以下规则列写：当理想变压器初、次级线圈电压正极为同名端时,初、次级电压比等于匝数比,否则为负值；当初、次级电流从异名端流入时,初、次级电流比等于匝数比的倒数,否则为倒数的负值。另外，式(10-21)和式(10-22)均为代数关系式，可见，理想变压器是一种无记忆元件，也称即时元件。它具有按式(10-21)或式(10-22)变换电压、电流的能力，不论电压、电流是直流还是交流，电路是暂态还是稳态，都没有电感或耦合电感元件的作用。

理想变压器的电路模型也可以表示成图10-20(a)和(b)所示的受控源形式。图10-20用受控源表示的理想变压器接下来讨论理想变压器的功率问题。在任一时刻理想变压器所吸收的功率应为其两端口吸收功率之和，对应于图10-19和图10-20有

(10-23)上式表示，理想变压器吸收的瞬时功率为零。这表明，理想变压器是一个既不耗能也不储能的元件。若把式(10-23)改写成

p1=－p2

即u1i1=－u2i2

可以看出，理想变压器的输入瞬时功率等于输出瞬时功率。可见，其在电路中只起着传递能量的“桥梁”作用。显然，在正弦稳态条件下，式(10-21)和式(10-22)所述理想变压器的伏安关系都可以表示为相应的相量形式，即

或(10-24)10.4.2理想变压器伏安关系的推导

前面我们介绍了理想变压器的伏安关系。显然，理想变压器可看成耦合电感的极限情况，当耦合电感满足耦合系数k=1，且L1与L2→∞，但为定值时，即成为理想变压器。下面由耦合电感的伏安关系着手，推导理想变压器的伏安关系式。对于图10-21所示耦合电感，由于是全耦合的，即k=1，故其中一个线圈电流产生的磁通将全部与另一个线圈相交链，而不存在漏磁通。假设初、次级线圈的匝数分别为N1、N2，Φ11表示初级线圈电流i1产生的全部磁通，Φ21表示i1产生并与次级线圈相交链的磁通；Φ22表示次级线圈电流i2产生的全部磁通，Φ12表示i2产生并与初级线圈相交链的磁通，显然Φ11=Φ21，Φ22=Φ12。故两线圈的总磁链分别为

式中，Φ=Φ11+Φ22称为主磁通，它的变化将在初、次级线圈中分别产生感应电压u1、u2。在图示参考方向下，

有：

(10-25)所以

上式表明，在全耦合的情况下，耦合电感初、次级电压比等于初、次级线圈的匝数比。这就导出了式(10-21)的第一式。(10-26)

图10-21全耦合电感又由耦合电感的伏安关系知，图10-21所示耦合电感的伏安关系为

对式(10-27)中的第一式从－∞到t积分，则有

(10-27)(10-28)由于

N1Φ11=L1i1

N1Φ12=Mi2

N2Φ21=Mi1

N2Φ22=L2i2

当k=1时,将Φ11=Φ21，Φ22=Φ12代入上式，因此有

(10-29)将式(10-29)代入式(10-28)，得

当自感系数L1→∞时，有

上式表明，当k=1，L1→∞时，耦合电感初、次级电流比等于初、次级线圈的匝数比倒数的负值。这就导出了式(10-21)中的第二式。(10-30)或(10-31)以上我们由耦合电感的伏安关系导出了理想变压器的伏安关系式。由于理想变压器的伏安关系是一组代数方程，因此理想变压器是一个即时、无记忆元件，即在任何时刻，理想变压器两对端子上的电流或电压必同时存在或同时消失，不管该电流、电压是直流还是交流，电路是暂态还是稳态，其初、次级电压比和初、次级电流比只与变比n有关。10.4.3理想变压器的阻抗变换特性

理想变压器具有三个基本特性：变换电压、变换电流及阻抗变换。

我们在理想变压器的伏安关系这部分内容里介绍了理想变压器对电压、电流的变换特性，本小节我们介绍理想变压器的另一个特性——阻抗变换特性。图10-22(a)所示理想变压器在次级并接阻抗ZL，则有

(10-32)即由式(10-32)可得图10-22(b)所示等效电路。当

时，图10-22(b)所示电路可等效为图10-22(c)所示等效电路。由图10-22可知，将与理想变压器次级并接的阻抗ZL搬移至理想变压器的初级，阻抗将扩大n2倍且仍与理想变压器并接。图10-22并接阻抗从次级搬移至初级类似推导可得，将与理想变压器初级串接的阻抗ZL搬移至理想变压器的次级，阻抗将缩小为原来的1/n2，且仍与理想变压器串接，如图10-23所示。图10-23串接阻抗从初级搬移至次级上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：

(1)与理想变压器初级相连的二端口纯阻抗网络可以从初级搬移到次级(仍与理想变压器相连)，且搬移的过程是一平移平插过程，同时阻抗将缩小为原来的1/n2，如图10-24所示。

图10-24二端口纯阻抗网络从初级搬移到次级

(2)与理想变压器次级相连的二端口纯阻抗网络可以从次级搬移到初级(仍与理想变压器相连)，且搬移的过程是一平移平插过程，同时阻抗扩大n2倍，如图10-25所示。

图10-25二端口纯阻抗网络从次级搬移到初级可见，利用理想变压器变换阻抗的特性可以将与理想变压器相连的阻抗在其初级与次级之间来回搬移，且：

(1)阻抗来回搬移与同名端无关。

(2)利用阻抗搬移可以简化电路。

(3)理想变压器具有以n2倍关系变换阻抗的作用：当阻抗从次级搬移到初级时要扩大n2倍；当阻抗从初级搬移到次级时要缩小为原来的1/n2。

(4)由于n为大于零的实常数，故阻抗在初、次级之间来回搬移过程中其性质不变。

(5)理想变压器次级短路相当于其初级也短路。

(6)理想变压器次级开路相当于其初级也开路。10.4.4全耦合变压器的电路模型

一个实际变压器要完全满足三个理想化条件是十分困难的。一般来说，若变压器的线圈无损耗，耦合系数k=1，而自感系数为有限值，则这样的变压器称为全耦合变压器。

在工程上，实际铁芯变压器就可以看成一个全耦合变压器。全耦合变压器除了可以用耦合电感来表征其特性，如图

10-26(a)所示，还可以用含理想变压器的电路模型来等效。下面我们来推导该模型。

图10-26全耦合变压器及其电路模型对于图10-26(a)所示全耦合变压器，根据10.4.2小节对理想变压器伏安关系的推导可得，其伏安关系满足：

(10-33)(10-34)式(10-33)和式(10-34)表明：全耦合变压器的初、次级电压关系与理想变压器相同；而其初级电流则由两部分组成，其中是电感电流，与次级电流i2符合理想变压器初、次级电流关系。由此可得全耦合变压器的电路模型如图10-26(b)所示，它由理想变压器模型在其初级线圈并一电感L1而构成，其中理想变压器的变比。该电路模型与图10-26(a)所示模型等效。由于理想变压器的伏安关系比耦合电感的伏安关系简单，因此，对全耦合变压器分析与计算时，大多采用图10-26(b)所示的全耦合变压器模型。

全耦合变压器的初级电流i常称为空载电流，其为次级开路时(即i2=0，空载)流经初级线圈的电流。该电流使变压器铁芯内产生磁通，故又称为激磁电流。图中L1称为激磁电感。由图10-26(b)所示全耦合变压器的等效电路模型可以看出，全耦合变压器的等效电路中同样含有理想变压器，激磁电感(即初级电感)可以认为是外接电感。本节介绍含理想变压器电路的分析与计算，也包括含全耦合变压器电路的分析与计算。10.5含理想变压器电路的分析与计算含理想变压器电路的分析与计算方法有三种：

(1)直接法，即直接利用理想变压器的伏安关系列方程求解。

(2)利用理想变压器的电压变换、电流变换及阻抗变换特性求解。

(3)等效电源定理法。

下面举例介绍。

例10-6

试求图10-27所示电路中流过4Ω电阻的电流。

图10-27例10-6题图

解本题利用直接法求解。设各支路电流相量及理想变压器初、次级电压相量的参考方向如图所示，可列回路方程如下

解联立方程得

通过4Ω电阻的电流为

例10-7

含理想变压器的电路如图10-28(a)所示，试求电压。

图10-28例10-7题图

解利用理想变压器的阻抗变换特性，将图10-28(a)所示电路的次级阻抗搬移到初级，得图10-28(b)所示的等效电路。由该电路可得

由理想变压器的电压变换特性，可得

例10-8

图10-29(a)所示变压器电路，已知：R1=30Ω,L1=15H,R2=60Ω,L2=60H,互感M=30H,负载电阻RL=

180Ω，且电路原已处于稳态，当t=0时开关S闭合。求t>0时的电流i(t)。

图10-29例10-8题图

解由题意知该变压器的耦合系数，所以图10-29(a)所示电路中的变压器为全耦合变压器，故可将其等效为图10-29(b)所示的电路，其中：

利用理想变压器的阻抗变换特性，将图10-29(b)所示电路的次级电阻搬移到初级，得图10-29(c)所示的等效电路。对于该电路根据题意有

iL(0－)=0A由换路定则得

iL(0+)=iL(0－)=0A

所以

故

例10-9

含理想变压器的电路如图10-30(a)所示，已知R1=R2=2Ω,R3=10Ω，L=2H,us(t)=ε(t)V，试求uab(t)。图10-30例10-9题图

解首先根据戴维南定理将图10-30(a)所示电路的a、b以左含理想变压器的有源二端网络等效为戴维南等效电路，如图10-30(b)所示，其中：

uoc=2us(t)=2ε(t)V

Ro=4R1+R2=10Ω

对于图10-30(b)，由直流激励下的三要素公式，得

iL(0+)=iL(0－)=0A

uab(0+)=2V

uab(∞)=1V

代入三要素公式，得

uab(t)=(1+e－10t)ε(t)V由第8章可知，在正弦稳态电路中，负载阻抗必须与电源内阻抗达到共轭匹配时，负载才能获得最大功率。但在实际电路中负载往往和电源一样是给定的，并非任意可调。

在这种情况下，为了使负载获得尽可能大的功率，可通过理想变压器来实现匹配。如图10-31(a)所示电路，其中理想变压器的变比是可调的。利用理想变压器的阻抗变换特性，将负载阻抗折合到初级，得图10-31(b)所示电路。由于理想变压器的变比n为大于零的实常数，故改变n只能改变负载阻抗的模而不能改变其阻抗角，故一般无法达到共轭匹配。图10-31理想变压器实现功率匹配对于图10-31(b)所示电路，设

则有

其电流有效值为

此时获得的功率为要使P达到最大，必须有

可求得

即当时，可获得最大功率。由于此时不是共轭匹配，而是负载阻抗的模与电源内阻抗的模相等，故将此使负载获得最大功率的方法为模匹配。可以证明，此时负载获得的功率一般要比共轭匹配时的功率小。

又由于理想变压器在传递能量的过程中本身不消耗能量，因此当图10-31(b)中等效阻抗获得最大功率时，图10-31(a)中负载阻抗ZL也获得最大功率

例10-10

电路如图10-32(a)所示，为了使负载电阻RL获得最大功率，试求理想变压器的匝数比n应为多少？负载电阻RL获得的最大功率为多少？

图10-32例10-10题图

解利用理想变压器的变换阻抗作用，原电路可等效为如图10-32(b)所示的电路。由于n为实常数，故与Zo=1∥(－j1)不可能达到共轭匹配，只能实现模匹配。即

因此

n=3.76此时

故负载获得的最大功率为

在电路分析中，我们有时还会遇到一个初级线圈与多个次级线圈构成的理想变压器。例如，图10-33(a)所示理想变压器就是由一个初级线圈和两个次级线圈组成的。图10-33一个初级线圈与两个次级线圈构成的理想变压器假设初级线圈的匝数为N1,两个次级线圈的匝数分别为N2和

N3，在图示电压、电流参考方向下，有

又由全电流定理得

式中：。即若在两个次级线圈中分别接负载电阻R2和R3，如图

10-33(b)所示，则从初级线圈看入的等效电导为

由上式可得其等效电路如图10-33(c)所示。由此可见，当理想变压器由一个初级线圈和多个次级线圈组成时，若在每个次级线圈分别接负载阻抗Zi，则可将每个次级阻抗

先后搬移至初级，并且阻抗从次级折合至初级应扩大n2倍，同时这些阻抗在初级的关系为并联关系。

例10-11

求图10-34(a)所示理想变压器电路初级线圈上的电压。

图10-34例10-11题图

解图10-34(a)所示理想变压器是由一个初级线圈和两个次级线圈组成的。首先将两个次级线圈所接负载电阻折合至初级，得等效电路如图10-34(b)所示。由该图可得

1.试确定图10-35所示耦合线圈的同名端。

提示：本题可根据同名端的定义，分别在线圈1的1端和线圈2的2端加电流，依据它们所产生的磁通是相互增强还是削弱来判断耦合线圈的同名端。

［12′为同名端］10.6练习题及解答提示图10-35

2.试求图10-36中的电压u2。

提示：本题直接利用耦合电感的伏安关系求电压u2。

［u2(t)=－12e－2tV］图10-36

3.耦合电感L1=6H,L2=4H,M=3H。(1)若L2短路，求L1端的电感值；(2)若L1短路，求L2端的电感值。

提示：本题可利用空芯变压器反映阻抗的概念或耦合电感的三端去耦等效法求解。

［(1)L1端的电感值为3.75H;(2)L2端的电感值为2.5H］

4.如图10-37所示电路，已知，求i(t)及uC(t)。

提示：本题可利用耦合电感的三端去耦等效法先消去互感，再用相量分析法求解。

图10-37

5.图10-38所示电路，已知，

，，ZL可调。问ZL为何值时其上可获得最大功率，最大功率PLmax为多少？

提示：本题首先应判断耦合线圈的同名端，然后利用耦合电感的三端去耦等效法将电路等效为无耦合的正弦稳态电路，最后求响应。

［ZL=50－j50Ω;PLmax=25W］图10-38

6.求图10-39(a)、(b)所示电路的输入阻抗Zab。

提示：对于图(a)，由于2Ω电阻中没有电流，故可去掉，再求解；对于图(b)，由于2Ω电阻中有电流，故不可去掉，可利用加压求流法及理想变压器伏安关系求阻抗。

［(a)Zab=4Ω;(b)Zab=0.727Ω］图10-39

7.求图10-40所示电路中的电压。

提示：本题利用理想变压器变换电流的作用，先将初级电流折合至次级，然后求响应。

［］图10-40

8.图10-41所示为含理想变压器的电路，已知us(t)=

12cos2tV,电路原已处于稳态，当t=0时开关S闭合。求t>0时电容上的电压uC(t)。

提示：本题是在正弦信号激励下含理想变压器的一阶动态电路。应首先将全耦合电感用全耦合变压器模型表示，再用第5章所讲的三要素公式求响应。此时三要素公式应为

图10-41

9.图10-42所示电路，问当理想变压器的匝数比n为多大时，负载R可获最大功率？最大功率为多少?

提示：由于理想变压器阻抗变换的特点，本题只能实现共模匹配。

［n=0.1;P=2500W］图10-4210-1试标出题图10-1所示耦合线圈的同名端。习题10题图10-1

10-2题图10-2所示电路中，M=L，正弦电压源电压U=50V，cd端短路。若将b和d相连接，测得ac间的电压为100V；若将b和c相连接，测得ad间的电压为