2025年中考数学复习新题速递之圆（2024年9月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习新题速递之圆（2024年9月）一．选择题（共10小题）1．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，弦CD⊥OA，连接OD并延长交AB于点B．若∠O＝45°，CD＝2，则AB的长是（）A．1 B．2 C．2 D．22．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，CD=23A．23-π3 B．43-π33．（2023秋•牧野区校级期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2024•临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）A．2：π B．1：π C．1：2π D．不能确定5．（2024•上海模拟）已知两圆的半径分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的二根，圆心距为2，则两圆位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°7．（2024•阳泉模拟）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则AB的长为（）A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm8．（2024•宁江区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．50°9．（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．27° B．31° C．30° D．54°10．（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD＝70°，则∠ABC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°二．填空题（共5小题）11．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AC＝2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧交AB，AD的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是．（结果不取近似值）12．（2024•双台子区校级开学）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，∠COD＝∠BOD，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=34，则tan∠13．（2023秋•宿迁期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝43，则⊙O的半径是．14．（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量AB→=a→，BC→=b→，那么向量CD→15．（2023秋•交城县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若∠BAD＝23°，则∠ADE＝°．三．解答题（共5小题）16．（2024•西城区校级开学）如图AB是⊙O的直径，PB，PC与⊙O分别相切于点B，C，PC交BA的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDB=317．（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．18．（2024•田阳区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．（Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；（Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．19．（2024•汝南县一模）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP•BP＝CP•DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根据）∴APDP=∴AP•BP＝CP•DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：（1）请将上述证明过程补充完整．根据：；@：．（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．20．（2024•新丰县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的长．

2025年中考数学复习新题速递之圆（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，弦CD⊥OA，连接OD并延长交AB于点B．若∠O＝45°，CD＝2，则AB的长是（）A．1 B．2 C．2 D．2【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】如图，记OA、CD的交点为E，由AB是⊙O的切线，弦CD⊥OA，可得∠OAB＝90°＝∠OED，ED=12CD=1，则OA=OD=DEsin45°，根据AB【解答】解：如图，记OA、CD的交点为E，∵AB是⊙O的切线，弦CD⊥OA，∴∠OAB＝90°＝∠OED，ED=1∴OA=OD=DE∴AB=OA⋅故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，正弦，正切等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，正弦，正切是解题的关键．2．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，CD=23A．23-π3 B．43-π3【考点】切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】D【分析】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∵∠OCD＝90°，∴OC=tan∠∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC=12×2故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．3．（2023秋•牧野区校级期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】三角形的外接圆与外心；中心对称图形；线段垂直平分线的性质；圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断．【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中；⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确．∴正确的有②④⑥，共3个．故选：C．【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．（2024•临湘市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）A．2：π B．1：π C．1：2π D．不能确定【考点】圆柱的计算；几何体的展开图．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】B【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：C＝tπ，那么d=π【解答】解：这个圆柱的底面直径与高的比是d：πd＝1：π．故选：B．【点评】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的意义及应用．5．（2024•上海模拟）已知两圆的半径分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的二根，圆心距为2，则两圆位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】C【分析】先求得方程的根，再根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0，化为（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得x1＝3，x2＝4．因为4﹣3＜2＜4+3，即x2﹣x1＜d＜x2+x1．则这两个圆的位置关系是相交，故选：C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及一元二次方程的解法，根据数量关系来判断两圆的位置关系．考查学生的综合应用能力及推理能力．6．（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数．【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠ADE＝∠ACE＝20°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．（2024•阳泉模拟）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则AB的长为（）A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】根据弧长公式计算即可得到答案．【解答】解：AB的长为：150π×21180=17.5π（故选：A．【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式．8．（2024•宁江区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．50°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径，可证∠ACB＝90°，由圆内接四边形的对角互补可求∠B＝180°﹣∠D＝50°，即可求∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质并灵活运用．9．（2024•阳泉模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．27° B．31° C．30° D．54°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，根据量角器的读数方法得：∠ACB=故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键．10．（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD＝70°，则∠ABC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAO＝70°，求得∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝40°，根据圆周角定理得到结论．【解答】解：∵OA＝OC，∠CAD＝70°，∴∠ACO＝∠CAO＝70°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝40°，∴∠ABC=12∠AOC故选：C．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024•沙坪坝区自主招生）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AC＝2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧交AB，AD的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是π-3【考点】扇形面积的计算；近似数和有效数字；矩形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】π-【分析】先证明∠ADC＝∠DAB＝90°，计算CD=A【解答】解：∵矩形ABCD，AD＝1，AC＝2．∴∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝CD，∴CD=AS阴影故答案为：π-【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．12．（2024•双台子区校级开学）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，∠COD＝∠BOD，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=34，则tan∠【考点】圆周角定理；解直角三角形；角平分线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】153【分析】如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由S1S2=34，即12OA⋅CH12OB⋅BE=34，可得CHBE=34，证明tan∠A＝tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=34，设AH【解答】解：过C作CH⊥AO于H，∵∠COD＝∠BOD，∴CD=由圆周角定理可得∠CAO=∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵S1即12∴CHBE∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴CHAH即CHBE设AH＝3m，则BO＝4m＝AO＝CO，∴OH＝4m﹣3m＝m，由勾股定理可得：CH=16∴tan∠∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠故答案为：153【点评】本题考查圆中求三角函数值，涉及圆周角定理的应用，比例性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．13．（2023秋•宿迁期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝43，则⊙O的半径是4．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD=33BC=33∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半径是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．14．（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量AB→=a→，BC→=b→，那么向量CD→【考点】正多边形和圆；*平面向量．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】b→【分析】根据正六边形的性质得出AD∥BC，AD＝2BC，再根据已知条件确定AD→=2b→【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，∴AD∥BC，AD＝2BC，∴AD→=2∵AD→∴CD→=AD故答案为：b→【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2023秋•交城县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若∠BAD＝23°，则∠ADE＝67°．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】67．【分析】求出∠ODA＝23°，再利用切线的性质求解．【解答】解：连接OD，∵过点D作⊙O的切线交AC于点E，∴∠ODE＝90°，又∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝23°，∴∠ADE＝90°﹣∠ODA＝90°﹣23°＝67°，故答案为：67．【点评】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2024•西城区校级开学）如图AB是⊙O的直径，PB，PC与⊙O分别相切于点B，C，PC交BA的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDB=3【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）根据切线长定理，得到∠EPD＝∠EPB；根据切线性质，得到∠PBO＝∠DEO＝90°，结合∠DOE＝∠POB，证明即可．（2）根据切线的性质，得PB＝PC＝6，结合tan∠PDB=3【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB，PC与⊙O分别相切于点B，C，∴∠EPD＝∠EPB；∠PBO＝90°，∵DE⊥PO，∴∠PBO＝∠DEO＝90°，∵∠DOE＝∠POB，∴∠EPB＝∠EDO，∴∠EPD＝∠EDO．（2）解：由题意得PB＝PC＝6，∠PBO＝90°，∵tan∠解得DB＝8，∴PD=D∴DC＝PD﹣PC＝4，连接OC，则OB＝OC，∴（8﹣OB）2＝OC2+42，解得OB＝OC＝3，∴PO=P∴sin∠∴33解得OE=5【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角函数的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】证明见解答．【分析】连接OD，证得OD∥AC，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线．【解答】解：连接OD，如图所示，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查的是切线的判定，准确作出辅助线，证得平行是解题的关键．18．（2024•田阳区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．（Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；（Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】计算题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（Ⅰ）52°；（Ⅱ）∠E＝30°，⊙O的半径为2．【分析】（Ⅰ）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，求出∠AOB＝2∠C＝142°，进而得∠AOE，则可求出答案；（Ⅱ）连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E＝30°，根据含30°解的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OA．∵AE切⊙O于点A，∴OA⊥AE，∴∠OAE＝90°，∵∠C＝71°，∴∠AOB＝2∠C＝2×71°＝142°，又∵∠AOB+∠AOE＝180°，∴∠AOE＝38°，∵∠AOE+∠E＝90°，∴∠E＝90°﹣38°＝52°．（Ⅱ）连接OA，设∠E＝x．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E＝x，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝x，∴∠AOE＝∠ABO+∠BAO＝2x．∵AE是⊙O的切线，∴OA⊥AE，即∠OAE＝90°，在△OAE中，∠AOE+∠E＝90°，即2x+x＝90°，解得x＝30°，∴∠E＝30°．在Rt△OAE中，OA=12∵OA＝OD，∴OA＝OD＝DE，∵DE＝2，∴OA＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含30°角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质．19．（2024•汝南县一模）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP•BP＝CP•DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根据）∴APDP=∴AP•BP＝CP•DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：（1）请将上述证明过程补充完整．根据：有两个角对应相等的两个三角形相似；@：CPBP（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．【考点】相交弦定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP（2）7cm．【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根据（1）中结论代入求解即可．【解答】解：（1）连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（有两个角对应相等的两个三角形相似）∴APDP∴AP⋅BP＝CP⋅DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根据（1）中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×（10﹣4）＝（r+5）（解得：r＝7或r＝﹣7（不符合题意，舍去），⊙O的半径为7cm．【点评】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．20．（2024•新丰县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的长．【考点】弧长的计算；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；（2）如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答．【解答】（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴AD的长为：72×π×3180【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．

考点卡片1．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．2．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．4．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．*平面向量平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．11．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．12．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．13．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．14．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．15．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．16．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．17．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．18．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形