2024-2025学年四川省成都市高二上册11月诊断性评价数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高二上学期11月诊断性评价数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．下列说法正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率可能是0.2B．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是C．数据，，，，，，19，的第百分位数是D．若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的标准差是4．已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（

）A．1 B． C．1或 D．5．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（

）A． B． C． D．7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A．事件与互斥，与相互对立B．C．但不满足两两独立D．且两两相互独立8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（）A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（

）A．该内切球的球的体积为B．平面被球截得的截面圆的面积为C．存在点，使得平面D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为，若，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．的周长为C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为．13．如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量=．14．已知过动点向圆作两条相互垂直的切线，记动点的轨迹为曲线，过定点作两条相互垂直的射线交分别为，线段的中点为，则动点的轨迹曲线为；过点分别作曲线的两条切线，切点为，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面的夹角的余弦值．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差17．设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)若.（i）当时，求的面积；（ii）求的取值范围.18．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．19．已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于．(1)当时，求直线的方程；(2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；(3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．

答案1．【正确答案】D【详解】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，即，又倾斜角，所以.故选：D2．【正确答案】B【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即；若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：，把点代入可得：，解得．∴直线方程为：，即．综上可得满足条件的直线的条数为2．故选：B3．【正确答案】D【详解】对于A，由题个体被抽到的概率可能是，故A错误；对于B，因，，，，的平均数为，则，则数据方差为：，故B错误；对于C，对数据从小到大排序得：，，，，19，，，.因，则第百分位数为第个数据，故C错误；对于D，因，，…，的方差为，则，，…，的方差为，标准差为，故D正确.故选：D4．【正确答案】C【详解】圆的标准方程为：，所以其圆心为，半径为设圆心为关于直线的对称点为，则，解得，则，所以对称圆的方程为：，因为对称圆过点，所以，解得或，故选：C5．【正确答案】A【详解】由题意得，，∴，即，由共面向量定理得，四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，设平面的法向量为，则，取，到平面的距离，即的最小值为.故选：A.6．【正确答案】C【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4，且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，可得点的轨迹的方程为，故选：C.7．【正确答案】C【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为.因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误；因为所含的样本点为：，所以，故B错误；因为所含的样本点为：，所以，又，所以.又事件所含的样本点为：，所以，又，所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误.故选：C8．【正确答案】A【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点；直线，即，令，解得，即直线过定点；又，即直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点）故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）；设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为，因为，则，所以恒成立，所以以点为圆心，为半径的圆恒过点，所以，所以，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，即的最小值为.故选：A9．【正确答案】BCD【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；对于B选项，若直线与直线互相平行，则，解得，所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；对于C选项，直线的斜率为，当时，；当时，.因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；对于D选项，如下图所示：设线段交轴于点，直线交线段于点，，，当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.故选：BCD.10．【正确答案】ABD【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面体积为，A正确；对于C，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，设点，其中，，，，设平面法向量为n=x,y,z则，令，则y=−1，，所以为平面的一个法向量，若存在点，使平面，只需，因为不成立，所以C错误；对于B，设平面法向量为，，则，令，则，，所以为平面的法向量，又因为，设到平面的距离为，则，设平面被球截得的截面圆的半径为，，所以平面被球截得的截面圆的面积为，B选项正确；对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，在中，，所以边长，所以截面面积，D正确；故选：ABD.11．【正确答案】ABD【详解】A，，故A正确；B，的周长为，由可得周长为，故B正确；

C，因为，所以，当与点重合时，，当点的横坐标为时，，所以当点的横坐标在到之间变化时，的长度一定有小于的情况，故C错误；D，设，因为在椭圆上，所以，两式相减可得，即，设过点的切线方程为，则，，所以，又，所以，又，即，代入斜率表达式并结合化简可得，所以，故D正确；故选：ABD.12．【正确答案】【详解】由.故13．【正确答案】【详解】由题意得，.故答案为.14．【正确答案】【详解】可做出如下示意图：

设，在直角中，，在直角中，可得.代入点坐标得：，平方去根号，化简得到：；圆心为，半径为，过圆外一点做切线，可知切线和半径构成一个直角三角形的直角边，两个切点之间的弦的长度为这个直角三角形的高的两倍.由数量积的定义：，结合下图可以得到结论，

两条切线长度大于圆的半径，即两切线夹角为锐角时，点距离圆心越近，则切线长度越短，且夹角越大，两个向量的数量积越小.又由题意点和原点以及与圆两个切点构成一个以为半径的正方形，可得到原点距离为，所以可得曲线：，所以点到的圆心的距离为，当且仅当且时等号成立；此时切线或和圆的半径，点到圆心的连线构成直角三角形，半径为.所以；所以切点弦的长度.由余弦定理，可求出两条切线的夹角的余弦值为，所以的最小值为，点取在位置时，最小.故；4.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则A2,0,0、、、，则，，则，可得，又因为，，、平面，所以，平面.（2）由（1）知，平面.则平面的一个法向量为，，设为直线与平面所成的角，因此，而，则，所以平面直线与平面的夹角的余弦值为.16．【正确答案】(1)0.030(2)84(3)总平均数是62，总方差是23.【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，，；（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84；（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为17．【正确答案】(1)(2)(i)；(ii)【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率是，同理，直线的斜率是，由已知，有，化简，得点的轨迹方程是，点的轨迹是除去，两点的椭圆；（2）（i）设，，，，在中，由余弦定理得：，，（ii）设，则，即，，，，，，，，.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得；（2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2，3次，所以；若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3，4次，所以；记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则，所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；（2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率；若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3，4次，则；②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4，5次乙投中，则；④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5，6次乙投中，则；综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.【关键点拨】本题第2小问解决的关键是分析得到甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解.19．【正确答案】(1)(2