2024-2025学年广东省高二上册期中联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省高二上学期期中联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知点，，则直线的斜率为（

）A． B． C．3 D．22．在正方体中，为的中点，则（）A． B．C． D．3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B．C． D．4．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（）A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里5．若方程表示一个圆，则的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．7．已知点，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C．1 D．8．若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆：的半径为2，则（

）A．B．点在圆的外部C．圆与圆外切D．当直线平分圆的周长时，10．在空间直角坐标系中，已知，则（

）A．为质数B．为直角三角形C．与所成角的正弦值为D．几何体的体积为11．“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（

）A．若点，，则的值可能是B．若点，，则在轴上存在点，使得C．若点，，，则在线段上存在点，使得D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能为三、填空题（本大题共3小题）12．直线：与直线：平行，则，的倾斜角为.13．若直线：与：相交于点，，则.14．已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，.(1)求；(2)求的值；(3)求的面积.16．已知圆：，直线过点.(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；(2)若与圆相切，求的方程；(3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程.17．如图，在三棱柱中，平面，，

(1)证明：平面.(2)求平面与平面的夹角.18．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点.(1)证明：平面PAB.(2)证明.(3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.(1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.（i）求的方程.（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】根据题意可得直线的斜率.故选：C．2．【正确答案】B【详解】.故选：B3．【正确答案】D【详解】由题意可得直线的斜率为1，则直线的方程为，即.故选：D4．【正确答案】C【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示.依题意得海里，海里，.在中，由余弦定理得，所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里.故选：C.5．【正确答案】D【详解】若方程表示一个圆，则，方程可化为，所以，解得，且不等于0，所以或.故选：D6．【正确答案】D【详解】如图，设关于直线对称的点为，则解得，则，所以.故选：D.

7．【正确答案】B【详解】,故点到直线的距离为,故选：B8．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径，且圆心到直线的距离，由题意可知：，则，即，解得或，所以m的取值范围为.故选：A.9．【正确答案】ABC【详解】根据题意可得，所以，A正确.圆：，因为，所以点1,4在圆的外部，B正确.圆的圆心为，半径为8，因为，所以圆与圆外切，C正确.圆的圆心坐标为，半径为2，若直线平分圆的周长，则直线过点，则，得，D错误.故选：ABC．10．【正确答案】BCD【详解】对于选项A：因为，所以不是质数，A错误；对于选项B：因为，则，所以为直角三角形，B正确；对于选项C：因为，所以与所成角的正弦值为，C正确；对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.故选：BCD.11．【正确答案】BD【详解】对于A，，不可能为，A错误；对于B，设，则，（当且仅当时取等号），，在轴上存在点，使得，B正确；对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，

，直线斜率，，即，，；当点与点或点重合时，；恒成立，C错误；对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，此时，D正确.故选：BD.12．【正确答案】【详解】根据题意可得，解得，经验证，符合题意，则的斜率为1，故的倾斜角为.故；．13．【正确答案】【详解】因为圆心到的距离为，所以.故14．【正确答案】144【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故144.15．【正确答案】(1)7；(2)；(3).【详解】（1）由，得，因为，所以，根据余弦定理得.（2）根据正弦定理，得，则，，故.（3）的面积.16．【正确答案】(1)或.(2)(3)或.【详解】（1）若经过原点，设方程为，由得，则的方程为.若不经过原点，则可设的方程为，因为过点，所以，解得，所以的方程为，即.故的方程为或.（2）由圆：，可得圆心，半径为2.因为点在圆上，轴，所以直线的方程为.（3）因为为直角三角形，且，所以，则圆心到的距离为.由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即.由，解得或，故的方程为或.17．【正确答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）因为平面，平面，所以.因为，所以.在菱形中，.因为，所以平面.（2）如图，取的中点，连接，.取的中点.连接.因为平面，所以，易得为等边三角形.所以.因为，所以平面.以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，B1,0,0，，，.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.由（1）知平面的一个法向量为，因为，所以平面与平面的夹角为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在；答案见解析【详解】（1）因为，所以，因为平面，平面，所以平面PAB.（2）作交于，因为，所以，又，所以，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，即，所以，又E为AD的中点，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.（3）设存在，作交与，由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设直线CM与平面PBC所成角的为，则，解得，所以在线段PE上存在点，此时.19．【正确答案】(1)；(2)（i）；（ii）直线过定点【详解】（1）因为圆心在直线上，设，且点，均在圆上，则，可得，解得，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为.（2）（i）因为，由题意可得，可知圆心的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以的方程为；（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，联立方程，消去y可得，则，且，，整理可得，则可得，即或，当，直线过定点；当，直线过定点，不合