2024-2025学年北京市高二上册期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高二上学期期中数学检测试卷一、单选题（本大题共10小题）1．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（

）A． B． C． D．45．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，l//m，则C．若，，则 D．若，α//β，则6．已知向量，，，若，，共面，则等于（

）A． B． C．5 D．97．在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．8．已知平面，，直线，如果，且，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（

）A． B．C． D．10．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（

）A．47m B．48m C．49m D．50m二、填空题（本大题共5小题）11．已知，，则．12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则．13．如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于.14．已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为．15．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：①的面积的最大值为；②满足使的面积为2的点有且只有4个；③点可以是的中点；④线段的最大值为3．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题）16．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.(1)求直线的斜率；(2)求中线的方程.17．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证：(1)∥平面；(2)平面.18．如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．

(1)求证：平面ADE⊥平面PCD；(2)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．19．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，点是的中点，直线交平面于点.

(1)求证：点是的中点；(2)求二面角的大小(3)求点到平面的距离.20．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.21．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

答案1．【正确答案】D【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误.故选：D2．【正确答案】D【详解】直线可化为.斜率为-1，所以倾斜角为.故选:D.3．【正确答案】A【详解】设圆锥的高为,母线长为,底面半径为画出立体图像,如图:根据立体图形可得:根据圆锥的体积计算公式:故选:A.4．【正确答案】A【详解】因为点关于轴的对称点,所以，故选：A.5．【正确答案】D【详解】对于A:若,则可能，A错误；对于B:若,则可能,B错误；对于C:若则可能不垂直，C错误；对于D:若,则,D正确.故选：D.6．【正确答案】D【详解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得：，所以.故选：D.7．【正确答案】C【分析】作出辅助线，得到或其补角为直线与直线所成角，根据为等边三角形，故，得到答案.【详解】连接，因为，，所以四边形为平行四边形，则，故或其补角为直线与直线所成角，连接，则，即为等边三角形，故，直线与直线所成角大小为.故选C.8．【正确答案】B【详解】如图，若，且，，，可得，但，若，且，，，由线面垂直的性质定理可得，所以是的必要不充分条件.故选：B.9．【正确答案】A【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，设，故，因为，所以，即，所以，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以，故，，所以.故选：A.10．【正确答案】A【详解】依题意可知六点共面，设正六边形的中心为，连接，平面且平面，依题意可知相交于，连接交于，连接交于，根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分，则相互平分，根据梯形中位线有，即，在梯形中，是的中点，则是的中点，所以，同理可得，所以.故选：A11．【正确答案】【详解】因为，，所以.故答案为.12．【正确答案】【详解】因为，所以两平面的法向量共线，所以存在唯一实数，使得，所以，解得，所以.故答案为.13．【正确答案】【详解】由图可得.故答案为.14．【正确答案】【详解】因为是直线的法向量，所以直线的斜率，又点是直线上点，所以直线的方程为，整理得.故答案为.15．【正确答案】①④【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以，，，所以，所以，又，所以，所以，又平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以的轨迹为线段，对于①，由图可知，当在上时，此时三角形面积最大，因为，所以面积的最大值为，故①正确；对于②，由图可知，当或时，的面积为2，所以满足使的面积为2的点有且只有2个，故②错误；对于③，由图易知，点不可能在线段上，所以点不可能是的中点，故③错误；对于④,由图易知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，故④正确.故①④.16．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）直线的斜率.（2）依题意，边的中点M1,1，则直线的斜率，所以直线的方程是，即.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为E，F分别为，的中点，，，则且，可知四边形为平行四边形，则，且平面，平面，所以∥平面.（2）因为四边形为正方形，则，且，则，又因为平面，平面，则.且，则，且，平面，所以平面.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）平面，且平面，，在正方形中，易知，，且平面，平面，平面，平面平面.（2）以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：

则，，，，，由分别为的中点，则，，取直线的方向向量为，在平面内，取向量，，设平面的法向量，则，，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面的夹角为，则.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面.因为直线交平面于点.所以平面平面，平面，所以，所以.因为点是的中点，所以点是的中点.（2）因为平面，平面,所以，.因为，所以，，两两相互垂直.如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则，，，，，所以，.所以，.设平面的法向量为，则，即令，于是，，所以.又因为平面的法向量为.所以.由题知，二面角是钝角，所以二面角的大小为.（3）设点到平面的距离为d，因为，则.20．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【详解】（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点.∴，由，则，又△为等腰直角三角形，，易知：，由，则面，∵面，∴.（2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，，，若为面的一个法向量，则，令，即，若为面的一个法向量，则，令，即，∴，由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.（3）若存在N使得平面平面，且，，由（2）知：，，则，，若是面的一个法向量，则，令，则，∴，可得.∴存在N使得平面平面，此时.21．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）解：根据题意，结合维向量的定义，则两两垂直的4维信号向量可以为：．（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，因为将这14个