福建省福州市城门中学高三数学文模拟试卷含解析

福建省福州市城门中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围是（）A． B．（，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=ma+2m2a2，在a∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1（因为ma+2m2a2＞0），所以：f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴ma+2m2a2＞1，a∈（1，+∞），且m＞0，把m当作主变量，则不等式等价为2m2a2+ma﹣1＞0，即（ma+1）（2ma﹣1）＞0，∵ma+1＞0，∴不等式等价为2ma﹣1＞0，即m＞，∵a＞1，∴＜，则m≥，故正实数m的取值范围是[，+∞）．故选：A2.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

?；?；?中满足“倒负”变换的函数是(

)A．??

B．??

C．??

D．只有?参考答案：B3.设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（

）

A．3

B．4

C．2和5 D．3和4参考答案：答案：D解析：事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件的概率最大为。

4.已知复数,是的共轭复数,则等于

A.16

B.4

C.1

D.参考答案：C5.已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C6.已知全集U=Z，A={﹣3，1，2}，B={1，2，3}，则A∩?UB为（）A．{﹣3，1} B．{1，2} C．{﹣3} D．{﹣3，2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意利用补集的定义求得?UB，再根据两个集合的交集的定义求得A∩?UB．【解答】解：∵U=Z，A={﹣3，1，2}，B={1，2，3}，∴?UB={…，﹣2，﹣1，0，4，5，6，…}则A∩?UB={﹣3}，故选：C．7.函数的图象向右平移动个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0 B．1C．2 D．3参考答案：C9.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知等差数列的前项和为，且，.若，则（

）A．420

B．340

C.-420

D．-340参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为

．

参考答案：

12.在扇形中，，弧的长为，则此扇形内切圆的面积为

．参考答案：13.已知平面向量满足，，那么____.参考答案：试题分析：考点：向量运算14.计算：=

参考答案：15.已知函数y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=-3x+1则f(2)+(2)=

参考答案：

-816.若对于定义在R上的函数，其图像是连续不断的,且存在常数，使得对任意实数X成立,则称是一个X-伴随函数.有下列关于X-伴随函数的结论：①是常函数中唯一一个-伴随函数；②是一个X-伴随函数；③-伴随函数至少有一个零点.其中不正确的结论的序号是_______(写出所有不正确结论的序号).参考答案：①②17.设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨设y=0，，则x1?x2?x3…?xn=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．19.（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC，=﹣3．（I）求△ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．参考答案：见解析【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用平面向量数量积的运算可求ac的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（II）由正弦定理化简可得a=，结合ac=6，可求a，c的值，由于=（+），平方后利用平面向量的运算即可解得AC边上的中线BD的长．【解答】（本题满分为12分）解：（I）已知等式（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．又∵?=﹣3．∴accos（π﹣B）=﹣3，∴解得ac=6，∴S△ABC=acsinB=×=…6分（II）∵由sinA：sinC=3：2，可得：a：c=3：2，解得：a=，又∵由（I）可得：ac=6，∴解得：a=3，c=2，又∵=（+），∴42=2+2+2=c2+a2﹣2=22+32﹣2×（﹣3）=19，∴||=，即AC边上的中线BD的长为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式变形，平面向量数量积的运算，三角形面积公式，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知函数．(1）若在上恒成立，求m取值范围；(2）证明：（）．（注：）参考答案：令在上恒成立(1)当时，即时

在恒成立．在其上递减．原式成立．当即0<m<1时不能恒成立．综上： ………………6分(2)由(1)取m=1有lnx令x=n化简证得原不等式成立．

…………12分21.如图，三棱锥P-ABC中，G是的重心.（1）请在棱AC上确定一点D，使得直线DG//平面PAB，并说明理由；（2）若，平面PAB⊥平面ABC，，求直线PB与平面PCA所成角的正弦值.参考答案：（1）见解析（2）．【分析】(1)由题意利用重心的性质和线面平行的判定定理即可确定点D的位置；(2)由题意利用等体积法求得点B到平面PCA的距离，然后结合几何性质可得线面角的正弦值.【详解】（1）连接延长交于，连接，因为是△的重心，所以，在上取一点使得，连接，则在平面三角形中，因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，因为，，所以，且又因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，由题知，所以，且，而，所以平面，设到平面的距离为，与平面所成角为，由得:，，解得:，所以到平面的距离为，，直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的度量等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数在处取得极值.（1）求的表达式；（2）设函数.若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.参考答案：（1）.------------1分由在处取得极值，故，即，--------