中考数学二轮复习核心专题复习攻略（讲+练）专题04 分式、分式方程及一元二次方程（原卷版）

专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子SKIPIF1<0叫做分式。【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（C≠0）。3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。4、分式的乘除①乘法法则：SKIPIF1<0。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。②除法法则：SKIPIF1<0。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。③分式的乘方：SKIPIF1<0。分式乘方要把分子、分母分别乘方。④整数负指数幂：SKIPIF1<0。5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减：SKIPIF1<0；②异分母分式的加法：SKIPIF1<0。【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式SKIPIF1<0在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x＞1【例2】若分式SKIPIF1<0的值不存在，则SKIPIF1<0__________．【例3】分式SKIPIF1<0的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5【例4】下列变形正确的是（）A．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0–1=SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0考点02分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．【注意】解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝SKIPIF1<0，时间＝SKIPIF1<0等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．【例5】方程SKIPIF1<0的解为_______________．【例6】若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有正数解，则（）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例7】已知关于x的分式方程SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定【例8】数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．考点03一元二次方程相关概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0分别叫做二次项、一次项和常数项，SKIPIF1<0分别称为二次项系数和一次项系数．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适合于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0形式的方程．（2）配方法：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成SKIPIF1<0的形式；⑤运用直接开平方法解方程．公式法：①把方程化为一般形式，即SKIPIF1<0；②确定SKIPIF1<0的值；③求出SKIPIF1<0的值；④将SKIPIF1<0的值代入SKIPIF1<0即可．（4）因式分解法：把方程化成SKIPIF1<0的形式，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4.一元二次方程根的判别式及根与系数关系（1）根的判别式：一元二次方程SKIPIF1<0是否有实数根，由SKIPIF1<0的符号来确定，我们把SKIPIF1<0叫做一元二次方程根的判别式．（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系①当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根；②当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有1个（两个相等的）实数根；③当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0没有实数根．（3）根与系数关系：对于一元二次方程SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）有根时，设其两根分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5.利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．（1）增长率等量关系①增长率=增长量÷基础量．②设SKIPIF1<0为原来量，SKIPIF1<0为平均增长率，SKIPIF1<0为增长次数，SKIPIF1<0为增长后的量，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为平均下降率时，则有SKIPIF1<0．（2）利润等量关系：①利润=售价－成本．②利润率=SKIPIF1<0×100％．（3）面积问题①类型1：如图1所示的矩形SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，空白“回形”道路的宽为SKIPIF1<0，则阴影部分的面积为SKIPIF1<0．②类型2：如图2所示的矩形SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，阴影道路的宽为SKIPIF1<0，则空白部分的面积为SKIPIF1<0．③类型3：如图3所示的矩形SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，阴影道路的宽为SKIPIF1<0，则4块空白部分的面积之和可转化为SKIPIF1<0．图1图2图3（4）碰面问题（循环问题）①重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.∴m=1②不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.∴m=n【例9】若方程SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一元二次方程，则SKIPIF1<0的取值范围是A．m≠−1 B．m=−1C．m≥−1 D．m≠0【例10】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的值是_________．【例11】关于x的一元二次方程SKIPIF1<0有两个实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【例12】某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？A．4 B．5C．6 D．7【例13】如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．第一部分选择题一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）1.使得式子SKIPIF1<0有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<42.要使分式有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．3.下列分式中，是最简分式的是A． B． C． D．4.分式方程的根为（）A．或 B．C． D．或八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．且7.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（）A．x（x–1）=45 B．x（x–1）=

C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=459.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．4810.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A． B． C． D．填空题填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.方程的解为__________．若关于的分式方程QUOTEk−1x+1=2的解为负数，则QUOTEk的取值范围为_______________．若关于x的分式方程有增根，则_________