2025年人教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教版高一数学下册阶段测试试卷803考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、远望灯塔高七层；红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？（）

A.64

B.128

C.63

D.127

2、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）

A.

B.1

C.2

D.3

3、若则与垂直的单位向量的坐标为（）

A.

B.

C.

D.（1；1）或（-1，-1）

4、【题文】是的（）A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既非充分又非必要条件5、【题文】设是定义在上的奇函数，且则方程在区间的解的个数的最小值是（）A.4B.5C.6D.76、【题文】已知全集则（）A.B.C.D.7、设集合A={x|0＜x＜2015}，B={x|x＜a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A.{a|a≤0}B.{a|0＜a≤2015}C.{a|a≥2015}D.{a|0＜a＜2015}8、以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（）A.在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=bC.在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinBD.在△ABC中，9、设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c隆脢R).

若f(0)=f(3)<f(1)

则(

)

A.a>03a+b=0

B.a<03a+b=0

C.a>09a+b=0

D.a<09a+b=0

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊊C⊆B的集合C的个数为____．11、已知△ABC的面积为AC=6，B=60°，则△ABC的周长为____．12、【题文】若P是两条异面直线l；m外的任意一点；则下列命题中假命题的是________．(填序号)

①过点P有且仅有一条直线与l；m都平行；

②过点P有且仅有一条直线与l；m都垂直；

③过点P有且仅有一条直线与l；m都相交；

④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．13、【题文】已知直线则直线的概率为____．14、=____．15、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，项测验成绩都及格的人数是______．16、设cos（α-）=α∈（），则cosα的值为______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、作出下列函数图象：y=20、作出函数y=的图象．21、画出计算1++++的程序框图．22、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．24、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共4题，共8分)25、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．26、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．27、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．28、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分五、解答题(共3题，共21分)29、已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足：f（x+1）-f（x）=2x；且f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在区间[0；2]上的最大值与最小值．

30、【题文】若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．31、某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比；其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．

（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；

（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？评卷人得分六、计算题(共4题，共12分)32、若⊙O和⊙O′相外切，它们的半径分别为8和3，则圆心距OO′为____．33、设，c2-5ac+6a2=0，则e=____．34、计算：

①﹣（）﹣（π+e）0+（）

②2lg5+lg4+ln．35、解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

由题意各层塔上灯的个数成等比数列；

（从上往下）且首项a1=1；公比q=2；

故S7==127

故选D

【解析】【答案】由题意各层塔上灯的个数成等比数列，首项a1=1；公比q=2，求其前7项和即可．

2、B【分析】

若BC1∥平面AB1D1，则=1．如图所示：

①当D1点满足=1时，由平行四边形ADC1D1可得DC1∥AD1，∵DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1．

同理DB∥平面AB1D1，又∵DB∩DC1=D，∴平面BDC1∥平面AB1D1．可得BC1∥平面AB1D1；满足已知条件．

②假设点D1不是线段A1C1的中点而满足已知条件BC1∥平面AB1D1，则可取线段A1C1的中点E，由（1）可知：平面BC1D∥平面AB1E；

∴平面AB1D1∥平面AB1E，这与平面AB1D1∩平面AB1E相矛盾，因此假设不成立，故点D1是线段A1C1的中点．

故选B．

【解析】【答案】利用线面；面面平行的判定定理和性质定理、反证法即可得出．

3、B【分析】

与垂直的单位向量的坐标为（x；y）则。

解得

故选B

【解析】【答案】设出单位向量；利用向量垂直的充要条件列出方程；利用单位向量的定义及模的坐标公式列出方程解方程组求出单位向量．

4、C【分析】【解析】

试题分析：因为解得：或而满足或由或得不到所以是的充分不必要条件.故选C.

考点：充分条件与必要条件【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】由题意知，函数的周期是4，因为是定义在上的奇函数，所以则所以故则方程在区间的解的个数的最小值是6.【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】

集合是全部自然数集，集合A是全部偶自然数集，集合B是全部4的倍数的自然数集，所以由集合运算性质可得，

故选择C【解析】【答案】C7、C【分析】【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜2015}；B={x|x＜a}．

若A⊆B；则a≥2015；

故实数a的取值范围是{a|a≥2015}；

故选：C．

【分析】根据已知中集合A，B，结合集合包含关系的定义，可得答案．8、B【分析】解：A、在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB；c=2RsinC；

故有a：b：c=sinA：sinB：sinC；故A成立；

B；若sin2A=sin2B；等价于2A=2B，或2A+2B=π；

可得：A=B，或A+B=故B不成立；

C、∵若sinA＞sinB，则sinA-sinB=2cossin＞0；

∵0＜A+B＜π，∴0＜＜∴cos＞0，∴sin＞0；

∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-＜＜又sin＞0，∴＞0；∴A＞B．

若A＞B成立则有a＞b；

∵a=2RsinA，b=2RsinB；

∴sinA＞sinB成立；

故C正确；

D、由再根据比例式的性质可得D成立．

故选：B．

在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB；c=2RsinC，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．

本题主要考查了正弦定理的应用，结合比例的性质，三角函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．【解析】【答案】B9、A【分析】解：因为f(0)=f(3)

即c=9a+3b+c

所以3a+b=0

又f(0)<f(1)

即c<a+b+c

所以a+b>0

即a+(鈭�3a)<0

所以鈭�2a<0

故a>0

．

故选：A

．

由f(0)=f(3)

可得3a+b=0

由f(0)<f(1)

可得a+b>0

消掉b

变为关于a

的不等式可得a>0

．

本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

A={1；2}，B={1，2，3，4}

满足A⊊C⊆B的集合C有：{1；2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

故答案是3

【解析】【答案】先用列举法表示集合A与集合B．再根据A⊊C⊆B；判断C中元素的特征，求解出集合C．

11、略

【分析】

由三角形面积公式可知acsin60°=ac=

由余弦定理可知b2=a2+c2-2ac•cos60，即36=a2+c2-ac

∴a2+c2=推出（a+c）2=100；

则a+c=10

所以周长：a+c+b=10+6=16

故答案为：16

【解析】【答案】先利用三角形面积公式和已知三角形的面积求得ac的值，进而代入余弦定理求得a2+c2的；通过配方法求得a+c的值，最后加上AC的值即可．

12、略

【分析】【解析】①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l、m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l、m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上．【解析】【答案】①③④13、略

【分析】【解析】因为直线所以即

在集合中取值共有36个基本事件；

满足有或或共3个基本事件；

所以直线的概率为【解析】【答案】14、【分析】【解答】解；=（1﹣2sin215°）=cos30°==故答案为：

【分析】由二倍角的余弦公式将1﹣2sin215°变为特殊角的三角函数，求出代数式的值15、略

【分析】解：全班分4类人：

设两项测验成绩都及格的人数为x人；

由跳远及格40人；可得仅跳远及格的人数为40-x人；

由铅球及格31人；可得仅铅球及格的人数为31-x人；

2项测验成绩均不及格的有4人。

∴40-x+31-x+x+4=50；

∴x=25

故答案为：25

设两项测验成绩都及格的人数为x人；我们可以求出仅跳远及格的人数；仅铅球及格的人数；既2项测验成绩均不及格的人数；结合全班有50名同学参加跳远和铅球测验，构造方程，可得答案．

本题考查的知识点是集合中元素个数的最值，其中根据已知对参加测试的学生分为四类，是解答本题的关键．【解析】2516、略

【分析】解：∵cos（α-）=α∈（）；

∴sin（α-）==

∴cosα=[（α-）+]=cos（α-）cos-sin（α-）sin=×-×=．

故答案为：．

由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα；利用两角和的余弦函数公式即可计算求值．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】三、作图题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．20、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．24、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共4题，共8分)25、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．26、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．27、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．28、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．五、解答题(共3题，共21分)29、略

【分析】

（1）∵f（0）=1；∴c=1，（1分）

∴f（x）=x2+bx+1．

∴f（x+1）-f（x）=（x+1）2+b（x+1）+1-x2-bx-1=2x+b+1=2x（4分）

∴b=-1；

∴f（x）=x2-x+1．（6分）

（2）（8分）

∵x∈[0；2]，f（2）=3；

∴f（x）在上是减函数，在上是增函数．

又＞f（0）=1；（10分）

∴．（12分）

【解析】【答案】（1）根据f（0）=1，用待定系数法求得b=-1；即得函数的解析式．

（2）由可得f（x）在上是减函数，在上是增函数；由此求得。

函数f（x）在[0；2]上的最值．

30、略

【分析】【解析】∵方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆；∴a≠0.

∴方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0可以写成x2＋y2－＝0.

∵D2＋E2－4F＝>0恒成立；

∴a≠0时，方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆．设圆的半径为r；则。

r2＝

∴当即，a＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2【解析】【答案】a≠0，半径最小的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.31、略

【分析】

（1）设y1=k1x（x＞0），y2=k2（x＞0）；分别代入点（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函数的解析式；

（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5-x）万元，则令运用二次函数在闭区间上最值的求法，可得y的最大值．

本题考查函数的解析式的求法和函数的最值，主