4年级全册数学知识点

第一钎加乘原理

作业完成情况

知识梳理

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类

方法中有叱种不同的方法，……，在第N类方法中有m0种不同的方法，那么完成这件工作

共有N=mi+m2+nbH-----Fm“种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以

独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任

何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不

同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m种方法，完成第二个步骤

有叱种方法，…，完成第N个步骤有m“种方法，那么，完成这件工作共有叫Xnk义…Xm“

种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相

互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；

各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例,如购物问题、

行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析

问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重

复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理

的简单应用。

教学重-唯点

两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。

二：两种计数原理的区分和综合应用。

-4

3特色讲解

【题目】：1

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有

多少种方法？

【解析】：

运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和

8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的;

1张5角、2张2角和1张1角的。

【题目】：2

各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【解析】：

一个数各个数位上的数字，最大只能是9,24可分拆为：24=9+9+7；24=9

+8+7；24=8+8+8o运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：

①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；

②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、78

9；

③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888o

所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

【题目】：3

有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7和8厘米的细木条若干，从中选取

适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【解析】：

围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三

边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。

这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。

根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：

第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长

的）。

由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米,

根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：

①腰长为1的三角形1个：1、1、1。

②腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。

③腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、

④腰长为4的三角形7个:4、2；...4、4、7o

⑤腰长为5的三角形8个:5、2；...5、5、8o

同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。

第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8X4=48（个）。

第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。

根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不

可能为是3厘米、2厘米、1厘米）：

①最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、

7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、40

②最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、

6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。

③最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、

5、2；6、4、3o

④最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。

⑤最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2o

第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。

所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。

【题目】：4

一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要

试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【解析】：

要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1

把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把

钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1

次，最好一把锁不用试。

所以，最多试验次数为:9+8+7……+2+1=45（次）。

【题目】：5

某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一

样，共有多少种不同的买法？

【解析】：

运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：

第一步：选汤有2种方法。

第二步：选荤菜有4种方法。

每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8

种不同的搭配方法。

第三步：选蔬菜有3种方法。

荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的

方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。

如下图所示:

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蕉菜A

蔬菜B

蕉菜C

蔬菜A

蔬菜B

推菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

薇菜C

族菜A

蔬菜B

蔬菜C

所以，共有不同的买法：2X4X3=24（种）。

【题目】：6

用数字0,3,8,9能组成多少个数字不重复的三位数？

【解析】：

运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：

第一步：确定三位数百位上数字，有3种选法（最高位不能为0）。

第二步：确定十位上数字，有3种选法。

从上面四个数字中确定任意一个不为0的数字放在百位上，十位上都会剩下

三个数字供选择。因此，对应百位上数字的每种选法，十位上数字都有3种不同

的选择方法，两个数字共有3个3种，即9种不同的组成方法。

第三步：确定个位上数字，有2种选法。

从上面四个数字中去掉百位和十位上数字任意一种组成，个位上都会剩下2

个不同的数字供选择。因此，对应百位和十位上数字的任意一种组成方法，个位

上都有2种不同的选择方法，三个数字共有9个2种，即18中不同的组成方法。

所以，能组成的不重复的三位数的个数为：3X3X2=18（个）。

当堂练习

1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有

3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

答案：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天

中从甲地到乙地共有：4+3+2=9（种）不同走法。

2.旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗

表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

答案：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝

3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可

以表示出不同的信号

3+6=9（种）。

3.两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

答案：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。

因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3X3=9（种）情况；同理，两数都是

偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9+9=18（种）。

4.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：

共有多少种不同的染色方法？

答案：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例4中，区域

A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它

所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两

种情况。

当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选;

D也有3种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有

5X4X3X3=180（种）。

当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色

可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有

5X4X3X2X2=240（种）。

再根据加法原理，不同的染色方法共有

180+240=420（种）。

5.用1,2,3,4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有

多少个？

答案:将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰

有连续三位是1。

连续五位是1,只有11111一种；

恰有连续四位是1,有而天与而两种情况，其中A可以是2,3,4

中任一个，所以有3+3=6（种）；

恰有连续三位是1,有FT®,BAm,.Al11C三种情况,其中A,C可

以是2,3,4之一，B可以是1,2,3,4之一

之一。所以对于TTi碗3X4（种），

对于BA111有4X3（种），对于用111C有3X3（种），合起来有

3X4+4X3+3X3=33（种）。

由加法原理，这样的五位数共有

1+6+33=40（种）o

在例5中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使

用的都是加法原理。

6.右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的0点出发，沿着横线与竖线爬

行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到0点）。如果小虫爬行的总

长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线？

答案：如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见

左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）。

实际上，小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况:

向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；

同理，向右也有6条路线；

向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线;

同理，向下也有4条路线。

根据加法原理，共有不同的爬行路线

6+6+4+4=20（条）

B

1.小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不

同的登法？

答案：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨

2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶

上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数

之和，共有1+2=3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n-1）级台阶跨一级

上去，或者从第（n-2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n-1）级和第（n

-2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a+b）种方法。因此只要知道登上第1

级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有

1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。

其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和•登上第10级台阶的方法数对应这

串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。

2.在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？

答案：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的

E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a=6）,到F点有b种走法（此

处b=4）,根据加法原理，到D点就有（a+b）种走法（此处为6+4=10）。我们可以从左

下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到

共有35条不同路线。

3.左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共

有多少条？

答案：本题可以同例2一样从A标到B,也可以将从A到B分为三段，先是从A到C,再从

C到D,最后从D到Bo如右上图所不，从A到C有3种走法，从C至!|D有4种走法，从D

到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有

3X4X6=72（条）。

4.沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？

答案：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到

F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。

5.有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

答案：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种

上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。

个数起，每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取

法。

C

1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法?

答案：987种。

2.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法?

答案：114种

3.有一堆火柴共10根，每次取走1〜3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，

答案：274种。提示：取走1根有1种方法，取走2根有2种方法，取走3根有4种方法。

将1,2,4作为数列的前三项，从第4项起每项都是它前三项的和，得到

1,2,4,7,13,24,44,81,149,274。

4.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？

B

答案：56条。

5.左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短

路线有多少条？

人42人4人6人

答案：48条（见下图）。

266x呷

I1一

?-—

1一40

T1,

A二130

O37

I11T-1'8

一

2二

34-6—

T—

-1—F

111r

6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果

只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

答案：55种.

当堂检测

1、如果两个四位数的差等于8921,那么就说这两个四位数组成一个数对，问这

样的数对共有多少个？

答案:从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921,最小为9921T

000=8921,所以共有9999-9921+1=79个，或1078To00+1=79个

2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？

答案:按数位分类：一位数：1〜9共用数字1*9=9个；二位数：10〜99共用数

字2*90=180个;

三位数：100〜999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三

位数共有：2355-9-180=2166,2166+3=722个，所以本书有722+99=821页。

3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多

少页？

答案:一位数有9个数字，二位数有180个数字，所以上、下均过三位数，利用

和差问题解决:和为687,差为3*5=15,大数为：(687+15)+2=351个(351-18

9)+3=54,54+99=153页。

4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与

其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。

答案:从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成

最小和最大的两组为(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的两组为2

7+28所以共有27-15+1=13个不同的积。

另从15到27的任意一数是可以组合的。

5、将所有自然数,自1开始依次写下去得到：12345678910H1213……，试

确定第206788个位置上出现的数字。

答案:与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位

置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-3600

0=167899,1678994-5=335794所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.

6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？

答案:分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中

2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19

枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种

方法；1、2、5分的组合：因为5=1+2*2,10=2*5,15=1+2*7,20=2*10,....,9

5=1+2*47,共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=46

1种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。

当堂总结

家庭作业

1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞

机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？

答案：38种。

2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多

少种不同的订法？

答案：10种。提示：没有年级订99份时，只有三个年级各订100份一种订法；只有一个年

级订99份时，另外两个年级分别订100份和101份，有6种订法；有两个年级订99份时，

另外一个年级订102份，有3种订法。

3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？

答案：8种。

4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？

答案：45个。提示：两个数码都是奇数的有5X5（个），两个数码都是偶数的有4X5

（个）。

5.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？

答案：420种。

解：如右图所示，按A,B,C,D,E顺序染色。若B,D颜色相同，则有

5X4X3X1X3=180（种）；

若B,D颜色不同，则有

5X4X3X2X2=240（种）。

共有不同的染色方法180+240=420（种）。

6.用1,2,3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2

的有多少个？

答案：21个。提示：与例5类似，连续四位都是2的只有1种，恰有连续三位是2的有4

种，恰有连续两位是2的有16种。

7.下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从0点出发，沿图中格线爬行，如果它

爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？

AB

0

答案：10条。提示：第一步向下有5条，第一步向上有1条，第一步向左或向右各有2条。

8.在下面的图中（单位：厘米）

51281

ABCD

F

G

H

I

求：（1）一共有几个长方形？

（2）所有这些长方形面积的和是多少？

解（1）AE这条线段上有多少条线段就是长有多少种取法，很明显得出长有10种取法;

同理，宽也有10种取法。

一共有（10X10=）100（个）长方形。

解（2）长的长度有10种：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26,宽的长度也有10

种：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。所有这些长方形的面积和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）

X（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=144X86=12384（平方厘米）

第一钎加来原理

作业完成情况

知识梳理

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有叫种不同的方法，在第二类

方法中有叱种不同的方法，……，在第N类方法中有叫种不同的方法，那么完成这件工作

共有N=mi+m2+m3H种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以

独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）：完成此任务的任

何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不

同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有nh种方法，完成第二个步骤

有叱种方法，…，完成第N个步骤有m“种方法，那么，完成这件工作共有nhXmzX…Xm”

种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相

互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；

各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例,如购物问题、

行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析

问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重

复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理

的简单应用。

教学重-难皮

一：两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。

两种计数原理的区分和综合应用。

特色讲解

【题目】：1

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有

多少种方法?

【题目】：2

各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【题目】：3

有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7和8厘米的细木条若干，从中选取

适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【题目】：4

一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要

试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【题目】：5

某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一

样，共有多少种不同的买法？

【题目】：6

用数字0,3,8,9能组成多少个数字不重复的三位数？

力\

当堂练习

A

1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有

3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

2.旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗

表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

3.两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

4.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问:

共有多少种不同的染色方法？

A

C

BD

E

5.用1,2,3,4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有

多少个？

6.右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的0点出发，沿着横线与竖线爬

行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到0点）。如果小虫爬行的总

长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线？

B

1.小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不

同的登法？

2.在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？

3.左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共

有多少条？

4.沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法?

5.有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?

C

1.小明要登15级台阶,每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法?

2.小明要登20级台阶,每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？

3.有一堆火柴共10根,每次取走1〜3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法,

4.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？

5.左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短

路线有多少条？

1-2-6-6-1a-48B

I।।।।।

j-j—彳-O-12-3(0

「第7-『28

,?_3-4-5-6

A^1-I-I-I-1

6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果

只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

当堂检测

1、如果两个四位数的差等于8921,那么就说这两个四位数组成一个数对，问这

样的数对共有多少个？

2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？

3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多

少页？

4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与

其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。

5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910H1213……，试

确定第206788个位置上出现的数字。

6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法?

当堂总结

家庭作业

1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞

机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法?

2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多

少种不同的订法？

3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?

4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？

5.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？

6.用1,2,3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2

的有多少个？

7.下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从0点出发，沿图中格线爬行，如果它

爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？

8.在下面的图中（单位：厘米）

51281

ABCD

F

G

H

I

第二耕图形什核

作业完成情况

知识梳理

几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交

错的，要准确计数就需要一些智慧了.实际上，图形计数问题，通常采用一种简

单原始的计数方法一一枚举法.具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出

来，以保证枚举时无一重复、.无一遗漏，然后计算其总和.正确地解答较复杂

的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯.

教学重-雄点

简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

特色讲解

例（1）数出右图中总共有多少个角

分析：在NAOB内有三条角分线0C1、0C2、0C3,/AOB被这三条角分线分成

4个基本角，那么NAOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次

是包含有2个基本角组成的角有3个（即NA0C2、ZC10C3,ZC20B）,然

后是包含有3个基本角组成的角有2个（即NA0C3、ZC10B）,最后是包含

有4个基本角组成的角有1个（即NAOB）,所以NAOB内总共有角：

4+3+2+1=10（个）

解：4+3+2+1=10（个）

答：图中总共有10个角。

例（2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成

3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.

所以图中总共有线段是：

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（条）.

②要数有多少个三角形，先看在aAGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三

角形有4个.所以在aAGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AAMN与AABC中，三

角形有同样的个数，所以在aABC中三角形个数总共：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(个)

解：：①在aABC中共有线段是：

(3+2+1)X5+(4+3+2+1)X3=30+30=60(条)

②在4ABC中共有三角形是：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(个)

答：在aABC中共有线段60条，共有三角形30个。

例（3）数一数图中长方形的个数

分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.

BC边上分成的线段有：3+2+l=6.

解：共有长方形：

（5+4+3+2+1）X（3+2+1）=15X6=90（个）

答：共有长方形90个。

例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方

形）

分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段,

图中共有五类正方形.

①以一条基本线段为边的正方形个数共有：

6X5=30（个）.

②以二条基本线段为边的正方形个数共有：

5X4=20（个）.

③以三条基本线段为边的正方形个数共有：

4X3=12（个）.

④以四条基本线段为边的正方形个数共有：

3X2=6（个）.

⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：

2X1=2（个）.

解：正方形总数为：

6X5+5X4+4X3+3X2+2X1

=30+20+12+6+2=70（个）

例（5）数一数图中三角形的个数

分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线

段的最小三角形开始.

I.以一条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：

W①上=1+2+3+4=10（个）.

②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：

W①下=1+2+3=6（个）.

II.以两条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：

W②上=1+2+3=6（个）.

②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.

III.以三条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：

W③上=1+2=3（个）.

②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.

W.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：

W④上=1（个）.

解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.

答：三角形的总数是个。

例（6）数一数图中一共有多少个三角形？

分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：

第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每

个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.

第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,

每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.

第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如aABD、AADC>△ABC、△

DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.

最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中

所包含的三角形的个数.

解：：I.在小矩形AEOH中：

①由一个三角形构成的有8个.

②由两个三角形构成的三角形有5个.

③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.

这样在一个小矩形内有17个三角形.

H.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD,共有5个三角形.

HI.由三个小矩形占据的部分图形中，如AABC,共有2个三角形.

所以整个图形共有三角形个数是：

(8+5+5+5+2)X=25X4=100(个)

答：图中一共有100个三角形。

当堂练习

一、填空题：

1.右图一共有（）个长方形？

答案：一共有321个.

解：①上横大长方形内有长方形：

（8+7+6+5+4+3+2+1）x（1+2）=108（个）;⑴

②下横大长方形内有长方形：

（7x6+2）x（3x2+2）=63（个）;

③竖大长方形内有长方形：

（5x4+2）x（7x6+2）=210（个）；

④中间重复的长方形共有：

（5x4+2）x（3x2+2）x2=60（个）.

⑤图中共有长方形：108+63+210-60=321（个）.

2.右图一共有（）个长方形？

答案：一共有64个.

3.右图一共有（）个长方形？

答案：一共有107个.

解：（1+2+3+4）x（1+2+3）=60（个）;

（1+2+3）x（1+2+3）=36（个）;

1+2=3（个）;

（1+2）x4+2=14（个）;

图中共有长方形：60+36-3+14=107（个）.

4.右图一共有（）个正方形?

答案：一共有18个.

解：分三类计算，边长是1的正方形有

2+4=13（个），边长为2的正方形有4（个），边长为3的正方形有1个.

因此，图中共有正方形13+4+1=18（个）.

5.右图一共有（）个长方形？

答案：一共有79个.

解：在大长方形中共有长方形：（3+2+l）x（3+2+l）=36（个）.

在小长方形中共有长方形：（3+2+1）x（3+2+1）=36（个）.

在两个长方形中增加的长方形有：8（个）.

在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.

所以,这个图中长方形的个数为：36+36+8-1=79（个）.

6.右图一共有（）个平行四边形？

答案：右图一共有（150）个平行四边形.

（5x4+2）x（6x5+2）=150（个）.

点金术:与算平行四边形的方法一样.

7.右图一共有（）个梯形？

答案：一共有（90）个.

（6x5+2）x（4x3+2）=90（个）.

8.右图一共有（）个正方形？

答案：一共有（55）个.

解:分类进行统计，得

边长为1的正方形有5x5=25（个）;

边长为2的正方形有4x4=16（个）;

边长为3的正方形有3x3=9（个）；

边长为4的正方形有2x2=4（个）;

边长为5的正方形有lx1=1（个）.

图中共有正方形：25+16+9+4+1=55（个）.

9.右图一共有（）个正方形？

答案：一共有60个.

解:分类进行统计，得

边长为1的正方形有4x7=28（个）；

边长为2的正方形有3x6=18（个）；

边长为3的正方形有2x5=10（个）;

边长为4的正方形有1x4=4（个）.

图中共有正方形：4x7+3x6+2x5+1x4=60（个）.

10.右图一共有（）个正方形?

答案：右图一共有（110）个正方形.

解：图中A3CD是一个4x10方格，其中正方

形的个数是：

4x10+3x9+2x8+lx7=90（个）;

图中CEPN是一个4x6方格，其中正方形

(10)

的个数是：

4x6+3x5+2x4+1x3=50（个）；

在上面的两项统计中，CDMN内的正方形被重复计算了一次，应

该扣除.因CDMN是4x4方格，其中正方形的个数是：

4x4+3x3+2x2+1x1=30（个）.

所以，图中正方形的个数是：90+50-30=110（个）.

二、解答题：

11.下图共有几个正方形?

答案：一共有95个.

解：①中间部分的正方形有：

5卬42+32+22+12=55（个）;

②上、下部分的正方形有：

（4+2+1）x2=14（个）;

③左、右部分的正方形有：

（9+2+2）x2=26（个）.

共有正方形：55+14+26=95（个）.

12.下图共有几个正方形?

答案：共有46个.

解：①正摆着的正方形有：

4x3+3x2+2x1=20（个）;

②斜摆着的正方形有：

a.最小的正方形有17个；

儿由4个小正方形组成的正方形有8个，

c.由9个小正方形组成的正方形有1个.

③图中共有正方形：20+17+8+1=46（个）.

13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至

少有多少个平行四边形？

答案：至少有160个.

解：因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且正方形既是矩形也是

菱形,所以，至少有平行四边形：100+100-40=160（个）.

14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形

来？

答案：最多有7个.

解：最多有7个正方形.摆法如右图.

B

一、填空题

1.下图中长方形(包括正方形)总个数是—

答案：90

利用例1和例4公式可直接计算：

(5+4+3+2+1)X(3+2+1)

=15X6

=90(个)

［注］注意，由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长

方形个数时,不必把正方形分开考虑.

2.下图中有正方形个,三角形个，平行四边形__个，梯形

一个.

答案：3个正方形；18个三角形；6个平行四边形；8个梯形.

3.下图中共出现了个长方形.

答案：18

根据这个图形的特点，我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)义

(2+1)=9个；然后在图⑴的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方

形有(2+l)X(2+l)=9个.至此已将图(1)还原为题图，同时题图中的长方形已全

部数完.因此,原图中共有长方形.

(2+1)X(2+1)+(2+1)X(2+1)=18(个).

⑴⑵

4.先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有个大小不同

的三角形.

答案：16

具体分法如下图所示.基中小三角形有8个，由两个小三角形组成的三角形

有4个，由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16（个）.

5.图形中有个三角形.

答案：72/\/\

把图中最以二用尚•.为捻鼠然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.

含一个基数的三角形，共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四

个基数的三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有8个；含十六个基数

的三角形，共有4个.因此，整个图形中共有

16+24+20+8+4=72（个）三角形.

6.如下图，一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,

两个有公共边的小三角形