2022北京市海淀区高三（上）期末数学真题试卷答案

海淀区2021~2022学年第一学期期末练习高三数学参考答案2022.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它①②③三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由,可得因为为三角形内角，所以.（Ⅱ）选择条件②③.由（Ⅰ）知为锐角，又因为，所以，所以，所以.由正弦定理可得，所以，所以的面积为.说明：最后两步也可以如下计算：由正弦定理可得，所以，所以的面积为.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）证法1：因为长方体中，平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥.证法2：因为长方体中，平面∥平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面=，所以∥.（Ⅱ）因为，，两两垂直，所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示：5分则，，，，，，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，可得，令，则，，所以，所以.又因为二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.设点到平面的距离为，则.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）法1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为，易知，所以.法2：.（Ⅱ）由题意得的取值范围是．，，，所以的分布列为123所以．（Ⅲ）从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；因为，，所以，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,乙的水平更稳定；因为，．所以.从至少正确完成2题的概率方面分析，乙通过的可能性更大.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆：上，所以将点代入椭圆方程，可得，所以.所以椭圆的方程为.因为，所以椭圆的离心率为.（Ⅱ）由可得.恒成立，设，，则，.直线AE的方程为，令，得点M的纵坐标为，同理可得点N的纵坐标为，所以.因为的面积，所以，即，化简得，解得或.所以的值为0或2.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以且，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（Ⅱ）当，时,因为,所以在上单调递增，所以在上的最小值为.（Ⅲ）取，以下证明恒成立.令，即证恒成立.（1）当时，有,，所以，所以在上单调递减，所以在上恒成立.（2）当时，令.因为,，所以，所以在上单调递增，所以在上恒成立.所以在上单调递增，所以在上恒成立.综上，恒成立，所以恒成立.（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）B不是典型表，C是典型表；（Ⅱ）方法1.不可能等于17.以下用反证法进行证明.证明：假设，那么典型表中有19个0，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行，且不妨设.此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有4个1，所以前四列中至少有16个1，所以与中至多有一个1，即与中至少有一个为0，不妨设，则第五列的其余位置中至少又有5个1，所以前五列中已经有不少于21个1了，与矛盾！所以假设不成立.所以不可能等于17.（Ⅱ）方法2.不可能等于17，以下证明.证明：因为当典型表中0的个数不超过18时，那么1的个数不少于18，所以；以下只需证明当典型表中0的个数大于18时，也有成立.当典型表中0的个数大于18时，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行.（1）若第一行0的个数为6，则，不合题意；（2）若第一行0的个数为5，不妨设，，此时前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的个数为4，不妨设，，此时前4列中，每一列的其余位置中都至少有4个是1，所以.综上，.所以不可能等于17.（Ⅲ）方法1在水平方向的n行和竖直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中.且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以.以下记，（1）当n为偶数时，则对任意的恒成立.而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，则对任意的恒成立.而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.（Ⅲ）方法2（整体分析，算两次）设典型表A的第i列有个0，（），A的第j列有个0，（），则典型表A中0的总个数为.由定义可得，所以，所以.又因为，，所以，所以，所以.（1）当n为偶数时，可以取到.例如：当“且”和“且”时，，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，，而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.（Ⅲ）方法3在水平方向的n行和竖直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中.且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.（1）当n为偶数时，若，则；若，对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以.而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，若，则；