2023-2024学年福建省三明市五地五校联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省三明市五地五校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=2+i1−i，则z在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列说法中正确的是(

)A.直四棱柱是长方体

B.棱锥的侧面只能是三角形

C.通过圆台侧面一点，有无数条母线

D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥3.已知向量a=(x,3)，b=(3,−1)，且a⊥b，则xA.−1 B.−9 C.9 D.14.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=3，b=3，A=π3，则A.π6 B.5π6 C.π6或5π5.四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1AA.8 B.10 C.12 D.166.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG=(

)

A.23AB+13AD B.17.河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(

)A.10m/s B.226m/s C.48.若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量a=(1,3)，b=(−3,−1)，即为“等模整向量”，那么模为5的“等模整向量”有A.4个 B.6个 C.8个 D.12个二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，下列命题正确的是(

)A.AB+BC+CA=0

B.若(AB+AC)⋅(AB−AC)=0，则△ABC为等腰三角形

C.若AM=10.下列是关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题，其中错误的命题是(

)A.m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m是异面直线

B.m⊂α，n⊂β，则m与n是异面直线

C.α∩β=l，m⊂α，n⊂β，且m∩n=P，则P∈l

D.m⊂α，n⊂β，则“m与n相交”与“α与β相交”等价11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(

)A.圆锥的侧面积为2πR2 B.圆柱与球的表面积之比为32

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复数范围内，方程x2+2x+3=0的根为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,2)，B(1,1)，C(−3,1).则AB的中点坐标为______；当实数m=______时，(mOC+OB14.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两处岛屿的距离为______海里．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a−1+ai(a∈R)，i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求a；

(2)若|z|=5，求z−；

(3)在(1)的条件下，复数w满足|w−z|=1，写出复数16.(本小题15分)

已知向量a与b的夹角θ=2π3，且|a|=3，|b|=2．

(1)求a⋅b，|a+b|，b17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．

(1)求角A的大小；

(2)D在边AC上，

(i)若D是边AC的中点，c=1，BD=3，求a；

(ii)若AB=8，CD=2,cos∠BDC=18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，∠CAB=90°．

(1)求该直三棱柱的表面积S与体积V．

(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱．

(i)19.(本小题17分)

古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题：

如图，在凸四边形ABCD中，

(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；

(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时，角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值

参考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.C

7.B

8.C

9.BC

10.BD

11.BCD

12.−1±13.(0,32)14.2015.解：(1)复数z=a−1+ai(a∈R)，

若z为纯虚数，

则a−1=0a≠0，解得a=1；

(2)|z|=5，

则(a−1)2+a2=5，解得a=2或a=−1，

当a=2时，z=1+2i，z−=1−2i，

当a=−1时，z=−2−i，z−=−2+i；

(3)由(1)可知，z=i16.解：(1)已知向量a与b的夹角θ=2π3，且|a|=3，|b|=2，

则a⋅b=|a|⋅|b|cos2π3=3×2×(−12)=−3，

|a+b|=a2+2a⋅b+b217.解：(1)因为2acosC+c=2b，由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB，

又sinB=sin(A+C)，

∴2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

∴sinC=2cosAsinC，

∵sinC≠0，

∴cosA=12，

又A∈(0,π)，

∴A=π3；

(2)(i)由(1)在△ABD中，由余弦定理有AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=BD2，

∵c=1，BD=3，D是边AC的中点，AD=12b，整理得：b2−2b−8=0，解得b=−2(舍去)或b=4，

∴a=b2+c2−2bccos60°=13；

18.解：(1)S表=2×12×1×1+1×(1+1+2)=3+2，

S△ABC=12×1×1=12，

V=S△ABC⋅ℎ=12×1×1=12．

(2)(i)4种．

组合1：

组合2：

组合3：

组合4：

以上选两种即可．

(ii)19.解：(1)AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，

可得AD=2CD，

由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，

即AB×CD+BC×2CD≥CD×BD，

即2+2≥BD，

即BD的最大值为22；

(2)如图2，连接BD，因