2024年沪教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学下册阶段测试试卷271考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、若则的值为（）A.B.C.D.2、有40件产品，编号1至40，现从中抽取4件检验，用系统抽样的方法确定所抽编号为()A.5,10,15,20B.2,12,22,32C.2,14,26,38D.5,15,26,383、【题文】要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为要使其体积为最大，则高为（）A.B.C.D.4、如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）

A.B.C.D.5、在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N*）的个位数，则a2013的值是（）A.8B.6C.4D.26、从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（）A.B.C.D.7、若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）A.[2，6]B.[2，6）C.[2，3]D.[3，6]8、已知ONP

在所在鈻�ABC

的平面内，且|OA鈫�|=|OB鈫�|=|OC鈫�|,NA鈫�+NB鈫�+NC鈫�=0鈫�

且PA鈫�鈰�PB鈫�=PB鈫�鈰�PC鈫�=PA鈫�鈰�PC鈫�

则ONP

分别是鈻�ABC

的(

)

A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则x为f（x）的不动点；已知f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0），则当a=1，b=-2时，f（x）的不动点为____．10、设等差数列：2，a+2，3a，的前n项和为Sn，则+++的值是____．11、______________.12、【题文】直径为的球内接正方体的表面积是____13、一元二次不等式(x鈭�2)(x+2)<5

的解集为______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)14、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．15、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．16、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、计算题(共3题，共12分)22、已知b＜a＜0，且a-b=3，ab=1；

（1）求a+b的值；

（2）求的值．23、已知10a=2，10b=6，则102a-3b=____．24、已知定义在[﹣3；3]上的函数y=f（x）是增函数．

（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1）；求m的取值范围；

（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．评卷人得分五、综合题(共1题，共2分)25、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【解析】试题分析：化为两边平方得即考点：三角函数倍角公式及和差角的三角函数公式【解析】【答案】A2、B【分析】【解析】

系统抽样是等间隔的，因此间隔为40/10，故公差为10的数字等差数列。那么并且每10个数为一段，则只有B符合其范围。【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】

试题分析：假设圆锥的高为所以底面半径．所以圆锥的体积表达式为．即所以由体积对高求导可得由当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，所以所以故选D．

考点：1．圆锥的体积公式．2．最值的求法．3．实际问题考虑定义域．【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】在方格纸上作出如下图，则容易看出故选D.

5、C【分析】【解答】解：∵已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N*）的个位数；

∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8；；

可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此an=an+6（n≥3，n∈N+）．

∵2013÷6=3353

∴a2013=a3=4．

故选C．

【分析】由a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N*）的个位数，可分析出数列{an}的周期，进而得到a2013的值．6、A【分析】【解答】解：从甲；乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查；

基本事件总数n==6；

甲没被选中包含的基本事件个数m==3；

∴甲被选中的概率p=1﹣=1﹣=．

故选：A．

【分析】先求出基本事件总数，再求出甲没被选中包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲被选中的概率．7、B【分析】【解答】解：∵函数f（x）=x2+4x+6；

∴当x∈[﹣3；0）时；

函数f（x）在区间[﹣3；﹣2]上单调递减；

函数f（x）在区间[﹣2；0）上单调递增．

∵f（﹣2）=2；f（﹣3）=3，f（0）=6；

∴2≤f（x）＜6．

故选B．

【分析】本题利用二次函数的单调性和图象研究函数的值域，得到本题结论．8、C【分析】解：因为且|OA鈫�|=|OB鈫�|=|OC鈫�|

所以0

到顶点ABC

的距离相等，所以O

为鈻�ABC

的外心．

由PA鈫�鈰�PB鈫�=PB鈫�鈰�PC鈫�=PA鈫�鈰�PC鈫�

得(PA鈫�鈭�PC鈫�)PB鈫�=0

即AC鈫�?PB鈫�

所以AC隆脥PB

．

同理可证AB隆脥PC

所以P

为鈻�ABC

的垂心．

若NA鈫�+NB鈫�+NC鈫�=0

则NA鈫�+NB鈫�=鈭�NC鈫�

取AB

的中点E

则NA鈫�+NB鈫�=2NE鈫�=CN鈫�

所以2|NE|=|CN|

所以N

是鈻�ABC

的重心．

故选：C

．

将条件分别化简；然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论.

将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．

本题主要考查三角形外心，重心，垂心的判断，要求熟练掌握外心，重心，垂心和内心的判断条件．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】

当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3

令f（x）=x2-x-3=x

∴x2-2x-3=0

∴x=-1；或x=3

∴f（x）的不动点为：-1；3

故答案为：-1；3

【解析】【答案】根据f（x）的不动点的定义；建立方程，求出方程的解，即可得到f（x）的不动点．

10、略

【分析】

∵等差数列前三项为2；a+2，3a；

∴2×（a+2）=2+3a；

∴a=2；

公差d=4-2=2

所以等差数列2，4，6，的前n项和Sn=即Sn=n（n+1）

于是==-

则+++=（1-）+（-）+（-）++（）=1-=

故答案为：．

【解析】【答案】利用等差数列的中项公式列出关于a的等式，求出首项a，利用等差数列的前n项和公式求出Sn=n（n+1）得到将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出和．

11、略

【分析】【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】613、略

【分析】解：(x鈭�2)(x+2)<5

可化为x2鈭�4<5

即x2<9

解之可得鈭�3<x<3

故不等式的解集为：{x|鈭�3<x<3}

故答案为：{x|鈭�3<x<3}

原不等式可化为x2<9

解之可得，注意写成集合的形式．

本题考查一元二次不等式的解集，属基础题．【解析】{x|鈭�3<x<3}

三、证明题(共8题，共16分)14、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．15、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=16、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、计算题(共3题，共12分)22、略

【分析】【分析】（1）要求a+b