2024年统编版2024高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年统编版2024高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、从抛物线y2=8x上一点P引其准线的垂线；垂足为M，设抛物线的焦点为F且|PF|=6，则△MPF的面积为（）

A.18

B.

C.

D.

2、甲乙两人至少有一个是三好学生是指（）

A.甲是三好学生；或乙是三好学生。

B.甲乙两人都是三好学生。

C.甲乙两人至多有一个是三好学生。

D.甲乙两人都不是三好学生。

3、已知正实数()A.6B.8C.9D.164、【题文】若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝()．A.1B.－1C.D.－5、【题文】某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A.2B.3C.5D.136、点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A.B.C.D.7、=（1，2），=（k，4），若∥则下列结论正确的是（）A.k=﹣6B.k=2C.k=6D.k=﹣28、已知函数f(x)=lnx+3x鈭�8

的零点x0隆脢[a,b]

且b鈭�a=1(a,b隆脢N+)

则a+b=()

A.5

B.4

C.3

D.2

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、（理科）若正四面体S-ABC的底面△ABC内有一动点P分别到面SAB，面SBC，面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹正确的是____；

（1）一条线段。

（2）一个点。

（3）一段圆弧。

（4）抛物线的一段．10、已知钝角三角形的三边长成等差数列，公差为1，其最大角不超过120°，则最小角余弦值的取值范围为____．11、已知条件条件则是____条件.12、已知为单位向量，其夹角为60°，则（+）2=____．13、命题“若a＞b，则a+1＞b”的否命题是______．14、的值是______．15、圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+2x+2y=0的位置关系是______．16、一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)22、（本小题14分）已知函数(Ⅰ)若求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设若对任意均存在使得求的取值范围。23、【题文】甲乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得最大速度数据如下：

。甲。

27

38

30

37

35

31

乙。

33

29

38

34

28

36

请解答：（1）画茎叶图（12分）

（2）求甲乙两组数据的中位数、平均数和标准差并判断谁参加比赛更合适24、【题文】已知等比数列中，且公比（1）求（2）设求数列的前项和25、【题文】已知求证：．评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)26、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．27、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．28、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。29、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共4题，共32分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．32、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．33、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

设点P的坐标为（m，n），准线x=-2为直线l

∵PM⊥l；∴|PF|=|PM|=6

由此可得：m+2=6；解得m=4

∵P（m，n）是抛物线y2=8x上一点。

∴n2=8×m=8×4=32，可得n=±4

因此，△MPF的面积为S=|PM|•|n|=×6×4=12

故选：C

【解析】【答案】根据抛物线定义结合PF的长可得|PM|=6；从而得到点P的横坐标为4，代入抛物线方程解出P的纵坐标，最后根据点P坐标和PM长，利用三角形面积公式即可算出△MPF的面积．

2、A【分析】

甲乙两人至少有一个是三好学生是指：甲是三好学生；或乙是三好学生．

故选A．

【解析】【答案】至少有一个的意思不是指可以一个也可以两个；而是指不能没有．据此含义进行选择即可．

3、C【分析】【解析】试题分析：因为所以考点：本小题主要考查基本不等式和“1”的整体代换.【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，两式两边分别平方相加得cos(α－β)＝－【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】解：因为某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，运用分层抽样的方法来的得到20的样本，则比例为20:300=1:15，因此抽取的中型商店数是5.选C【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离d=

故选A．

【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．7、B【分析】【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥所以4=2k，解得k=2；

故选：B．

【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．8、A【分析】解：函数f(x)=lnx+3x鈭�8

的定义域为x>0

是连续增函数；

f(2)=ln2+6鈭�8<0f(3)=ln3+9鈭�8>0f(2)f(3)<0

函数f(x)=lnx+3x鈭�8

的零点x0隆脢[a,b]

且b鈭�a=1(a,b隆脢N+)

可得a=2b=3

a+b=5

．

故选：A

．

利用函数的零点判定定理，求出ab

然后求解a+b

即可．

本题考查函数零点判定定理的应用，考查计算能力．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

连接PA、PB、PC、PS，设P在平面SBC、平面SAC和平面SAB的射影

分别为F；G和H；连接PF、PG、PH

设正四面体棱长为1；可得它的体积为。

V=×S△ABC×h=××=

∵PH；PF、PG成等差数列；

∴设PH=PF-x；PG=PF+x（x＜PF），得。

VP-ABS=×S△ABS×PH=（PF-x）；

VP-BCS=×S△BCS×PH=PF，VP-ACS=×S△BCS×PH=（PF+x）

由此可得（PF-x）+PF+（PF+x）=化简可得PF=

所以动点P到平面SBC的距离为（定值）；

得P在与平面SBC平行且距离为的平面内；设这个平面为α

∴点P在平面ABC与平面α的交线上；可得P在△ABC内的轨迹是一条线段。

故答案为：（1）

【解析】【答案】设正四面体棱长为1，由于P到面SAB、面SBC、面SAC的距离成等差数列，可算出点P到平面SBC的距离等于（定值），因此点P在与平面SBC平行且距离为的平面α内；说明P在平面ABC与平面α的交线上，由此可得本题答案．

10、略

【分析】

设三边长为a；a+1，a+2；

∵已知三角形为钝角三角形；设最大角为α，最小角为β

则90°＜α≤120°

∴cosα==∈[-0）

则cosβ==∈

故答案为：．

【解析】【答案】设三边长为a；a+1，a+2，根据最大角不超过120°，我们可以表示出最大角的余弦值，然后根据余弦函数的单调性，进而解答．

11、略

【分析】因为p:q：因为所以p是q的充分不必要条件.【解析】【答案】充分不必要12、3【分析】【解答】解：由题意可得=1×1×cos60°=∴（+）2=+2=1+1+1=3；

故答案为：3．

【分析】由题意求得的值，可得（+）2=+2的值．13、略

【分析】解：命题“若a＞b，则a+1＞b”的否命题是：

若a≤b，则a+1≤b；

故答案为：a≤b，则a+1≤b

根据否命题的定义即可得到结论．

本题主要考查四种命题的关系，比较基础．【解析】a≤b，则a+1≤b14、略

【分析】解：=（-cosx+sinx）═1+1=2

故答案为2

求出原函数；依定义代入上下限的值，求出即可。

本题考查定积分的定义，求解本题的关键是掌握好定义，并熟练掌握常见的函数的导数．【解析】215、略

【分析】解：圆x2+y2-2x=0的标准方程为：（x-1）2+y2=4；

表示以（1；0）为圆心，以2为半径的圆；

圆x2+y2+2x+2y=0的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2；

表示以（-1，-1）为圆心，以为半径的圆；

所以两圆的圆心距为1，1

所以两圆相交；

故答案为：相交．

根据题意先求出两圆的圆心和半径；根据两圆的圆心距与两圆的半径之和与差的关系，得出两圆位置关系．

本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．在半径和与比较差之间，两圆相交．【解析】相交16、略

【分析】解：根据茎叶图可得；

观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19；20，21，23，24，31，32，33，37；

观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10；10，14，24，26，30，44，46，46，47；

∴甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为=28；

∴甲；乙两种树苗高度的数据的中位数之和为24+28=52．

故答案为：52．

根据茎叶图；可以得到树苗的高度的数据，按照从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到甲和乙的中位数，从而得到答案．

本题考查了统计中的茎叶图，众数、中位数、平均数等基本概念．众数是指在这组数据中出现次数最多的一个数，中位数是指将数据从小到大排列，处于中间位置的数，如果中间位置有两个数，则取这两个数的平均值，属于基础题．【解析】52三、作图题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)22、略

【分析】

(Ⅰ)由已知（2分）故曲线在处切线的斜率为（4分）(Ⅱ)（5分）①当时，由于故所以，的单调递增区间为（6分）②当时，由得在区间上，在区间上所以，函数的单调递增区间为单调递减区间为（8分）（Ⅲ）由已知，转化为（9分）（10分）由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为故不符合题意.(或者举出反例：存在故不符合题意.)（11分）当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，（13分）所以解得（14分）【解析】略【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了茎叶图的运用以及中位数和平均数和标准差的综合运算。

（1）根据表格中的数据；找到茎和叶，分别对于甲乙的情况来分析。

（2）根据中位数、平均数、方差的定义得到所求解的结论【解析】【答案】（1）略画对即可（2）甲的中位数33、平均数33、方差15.67乙的中位数33.5、平均数33、方差12.6724、略

【分析】【解析】第一问，因为由题设可知

又故

或又由题设从而

第二问中，

当时，时

故时，

时，

分别讨论得到结论。

由题设可知

又故

或又由题设

从而4分。

（2）

当时，时6分。

故时，8分。

时，

10分。

综上可得【解析】【答案】（2）25、略

【分析】【解析】

故

即

即．【解析】【答案】证明过程见答案五、计算题(共4题，共16分)26、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．27、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．28、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。29、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共4题，共32分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）31、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．