保定高三二模数学试卷

保定高三二模数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f(x)$的极值点为（）

A.$x=1$，$x=2$，$x=3$

B.$x=1$，$x=2$

C.$x=1$，$x=3$

D.$x=2$，$x=3$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$，则该数列的公差为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的对称中心为（）

A.$(0,0)$

B.$(1,0)$

C.$(2,0)$

D.$(3,0)$

4.若不等式$x^2+2x+1\leq0$的解集为$A$，则不等式$(x+1)^2\leq0$的解集为（）

A.$A$

B.$A\cup\{0\}$

C.$A\cup\{-1\}$

D.$A\cup\{0,-1\}$

5.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）

A.10

B.13

C.14

D.15

6.若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^n-1$，则该数列的公比为（）

A.2

B.$\frac{1}{2}$

C.3

D.$\frac{1}{3}$

7.已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，则$f(x)$的定义域为（）

A.$(-1,1)$

B.$(-1,0)\cup(0,1)$

C.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

8.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像关于直线$x=2$对称，则$f(x)$的零点为（）

A.1，3

B.2，2

C.1，2

D.2，3

9.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+2n$，则$a_1+a_2+a_3$的值为（）

A.6

B.8

C.10

D.12

10.若函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$在区间$[0,3]$上单调递减，则$f(x)$的极值点为（）

A.$x=0$，$x=2$

B.$x=0$，$x=3$

C.$x=2$，$x=3$

D.无极值点

二、判断题

1.函数$y=\frac{x}{x-1}$在$x=1$处有定义，且该点为函数的间断点。（）

2.若两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直，则它们的点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。（）

3.等差数列的前$n$项和$S_n$与首项$a_1$和公差$d$的关系为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

4.对于任意函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的值在定义域内都存在。（）

5.函数$y=e^x$的图像是连续且光滑的，并且在整个实数域上都是增函数。（）

三、填空题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、简答题

1.简述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$的几何意义。

2.请给出函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$的导数$f'(x)$，并说明其几何意义。

3.简述等差数列和等比数列的性质，并举例说明。

4.设向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角$\theta$，并说明夹角$\theta$的范围。

5.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值，并说明求最大值和最小值的方法。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)dx$。

2.已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x)$在$x=3$处的切线方程。

3.求解不等式$2x-3<5x+2$，并画出解集在坐标系中的图形。

4.若向量$\vec{a}=(3,-4)$，$\vec{b}=(2,3)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的外积$\vec{a}\times\vec{b}$。

5.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值，并说明求最大值和最小值的方法。

六、案例分析题

1.案例分析题：某班级共有30名学生，根据期末考试成绩，随机抽取5名学生进行数学竞赛。已知班级中学生的数学成绩呈正态分布，平均分为75分，标准差为10分。请根据正态分布的原理，分析这5名学生数学竞赛成绩的分布情况，并预测至少有一名学生成绩超过90分的概率。

2.案例分析题：某企业生产一批电子产品，经过检测，发现这批电子产品的寿命（单位：小时）服从指数分布，平均寿命为1000小时。现从这批产品中随机抽取10件进行测试，求以下问题的解：

a.求这10件产品中最长寿命不超过1200小时的概率；

b.求这10件产品中至少有2件产品寿命超过1200小时的概率。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批零件，已知这批零件的直径$x$（单位：毫米）服从正态分布，平均直径为50毫米，标准差为2毫米。现从这批零件中随机抽取10个进行测量，求以下问题的解：

a.求这10个零件直径的平均值在48毫米到52毫米之间的概率；

b.求至少有3个零件直径超过52毫米的概率。

2.应用题：某商店每天销售的某种商品数量$X$服从泊松分布，平均每天销售数量为$\lambda=3$。某天，商店计划进货10件该商品，请计算以下问题的解：

a.求该天结束时，商店剩余商品数量为0的概率；

b.求该天结束时，商店剩余商品数量大于0的概率。

3.应用题：某公司招聘了一批新员工，其中男性员工的数量$Y$服从二项分布，试验次数为$n=5$，每次试验中招聘到男性的概率$p=0.4$。请计算以下问题的解：

a.求至少有3名男性被招聘的概率；

b.求至多有2名男性被招聘的概率。

4.应用题：某城市某天早晨的气温$T$（单位：摄氏度）服从正态分布，平均气温为15摄氏度，标准差为5摄氏度。天气预报预测该天气温将高于平均气温，请计算以下问题的解：

a.求气温高于20摄氏度的概率；

b.求气温在10摄氏度到20摄氏度之间的概率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.A

3.B

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.$f'(x)=3x^2-6x+4$

2.$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$

3.$a_2=a_1+d$

4.$f'(x)$表示函数在某一点处的瞬时变化率

5.$e^x$

四、简答题答案

1.判别式$\Delta=b^2-4ac$的几何意义是，当$\Delta>0$时，方程有两个不同的实数根，表示图像与x轴有两个交点；当$\Delta=0$时，方程有一个重根，表示图像与x轴有一个切点；当$\Delta<0$时，方程无实数根，表示图像与x轴不相交。

2.函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$的导数$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，其几何意义是，在某一点$(x_0,f(x_0))$处，切线的斜率等于$f'(x_0)$。

3.等差数列的性质：相邻两项的差是常数；等比数列的性质：相邻两项的比是常数。例如，数列1,3,5,7,9是等差数列，公差为2；数列2,6,18,54,162是等比数列，公比为3。

4.向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角$\theta$可以用余弦定理求得：$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$，夹角$\theta$的范围是$[0,\pi]$。

5.函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值可以通过求导数$f'(x)$，令$f'(x)=0$求得临界点，再比较临界点处的函数值来确定最大值和最小值。

五、计算题答案

1.$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)dx=\left[\frac{x^4}{2}-x^3+2x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+2=\frac{3}{2}$

2.$f'(x)=2x-2$，$f'(3)=4$，切线方程为$y-1=4(x-3)$，即$y=4x-11$

3.解不等式得$x<-1$，解集在坐标系中的图形是一个从$y$轴负半轴开始的射线。

4.$\vec{a}\times\vec{b}=(2\