中考数学二轮复习压轴题培优专练专题15 函数中的面积问题（原卷版）

专题15函数中的面积问题函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而用坐标将三角形的底和高表达出来。如图，SKIPIF1<0。 （2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线SKIPIF1<0上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使SKIPIF1<0面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-SKIPIF1<0+m+SKIPIF1<0），则N（m，-SKIPIF1<0m+SKIPIF1<0），可得S△MBC=SKIPIF1<0•MN•OB=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，再求解即可；（3）设Q（0，t），P（m，-SKIPIF1<0+m+SKIPIF1<0），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，S有最大值为SKIPIF1<0(3)满足条件的点P坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】（1）解：把点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（2）解：作直线SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点N设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）把点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0设点M的横坐标为m∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）∴当SKIPIF1<0时，S有最大值为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）解：当以SKIPIF1<0为边时，只要SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即可∴点P的横坐标为4或-4把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当以SKIPIF1<0为对角线时，作SKIPIF1<0轴于点H∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴点P的横坐标为2把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴此时SKIPIF1<0综上所述，满足条件的点P坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键。（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数SKIPIF1<0与反比例函数SKIPIF1<0在第一象限交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0垂直x轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，四边形SKIPIF1<0的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使SKIPIF1<0的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和SKIPIF1<0面积的最小值．（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形SKIPIF1<0的面积为38．求出SKIPIF1<0，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）平移一次函数与SKIPIF1<0在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，SKIPIF1<0的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，进一步求出：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，连接PM，PN，过点P作SKIPIF1<0的延长线交于点B，作SKIPIF1<0交于点C，根据SKIPIF1<0以及点的坐标即可求出SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，即反比例函数解析式为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0的面积为38．∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∴一次函数解析式为：SKIPIF1<0．（2）解：平移一次函数SKIPIF1<0到第三象限，与SKIPIF1<0在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，SKIPIF1<0的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，∵有唯一交点P，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0经检验：SKIPIF1<0是分式方程SKIPIF1<0的根，∴SKIPIF1<0，连接PM，PN，过点P作SKIPIF1<0的延长线交于点B，作SKIPIF1<0交于点C，则：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点。（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接SKIPIF1<0．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接SKIPIF1<0，点P在第一象限的抛物线上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点Q，是否存在点P，使SKIPIF1<0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0再分别表示SKIPIF1<0SKIPIF1<0再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作SKIPIF1<0于H，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于K，连接BD，证明SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0求解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0再求解SKIPIF1<0及SKIPIF1<0为SKIPIF1<0再联立：SKIPIF1<0从而可得答案．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0最大时，则SKIPIF1<0（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作SKIPIF1<0于H，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于K，连接BD，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵抛物线SKIPIF1<0∴顶点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0联立：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．1．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为坐标原点，一次函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0在一次函数SKIPIF1<0的图象上．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若一次函数SKIPIF1<0与一次函数SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0关于原点的对称点为点SKIPIF1<0．求过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点对应的二次函数表达式；(3)SKIPIF1<0为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点SKIPIF1<0．①当四边形SKIPIF1<0为菱形时，求点SKIPIF1<0的坐标；②若点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为何值时，四边形SKIPIF1<0的面积最大？请说明理由．2．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图：直线SKIPIF1<0交y轴丁点D，交x轴于点SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点E．点SKIPIF1<0在抛物线上，连接SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C做匀速运动，当点Q与点C重合时停止运动，设运动的时间为t秒，SKIPIF1<0的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，请直接写出此时t的值．3．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0下方抛物线上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，连接SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此时点SKIPIF1<0的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线SKIPIF1<0方向平移SKIPIF1<0个单位长度得到新抛物线，动点SKIPIF1<0在原抛物线的对称轴上，点SKIPIF1<0为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形的点SKIPIF1<0的坐标，并把求其中一个点SKIPIF1<0的坐标的过程写出来．4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于A、B两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点．(1)若点A坐标为SKIPIF1<0，求M点坐标．(2)若SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积是34，求k值．(3)设直线SKIPIF1<0分别与x轴相交于P、Q两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．5．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得SKIPIF1<0是以线段SKIPIF1<0为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段SKIPIF1<0上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作SKIPIF1<0，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作SKIPIF1<0轴于点C，交SKIPIF1<0于点N，若SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，并求出此时点M的坐标．6．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段SKIPIF1<0上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形SKIPIF1<0的面积最大？求出四边形SKIPIF1<0的最大面积及此时E点的坐标．7．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线折叠，得到SKIPIF1<0，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点Q，连接BP，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值最大时点P的坐标．8．（2022·湖北武汉·校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0．(1)若该抛物线的顶点坐标为SKIPIF1<0，求其解析式；(2)如图SKIPIF1<0，已知抛物线的顶点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上滑动，且与直线SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴的右交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求抛物线顶点SKIPIF1<0的坐标；(3)如图SKIPIF1<0