2024年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷82考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、在△ABC中，则A等于（）．A.60°B.120°C.30°D.150°2、【题文】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是()A.若则B.若则C.若则⊥D.若则3、【题文】化简的结果为（）A.6B.C.D.94、设非空集合满足：当时，有给出如下三个命题：

①若m=1则②若则③若则．

其中正确命题的是()A.①B.①②C.②③D.①②③5、在△ABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5则cosC=（）A.B.±C.D.﹣6、若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A.f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C.f（x）与g（x）均为奇函数D.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数7、已知非零向量满足那么向量与向量的夹角为（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：，与此类比，当a≥0，b≥0时，____（要求填写）；你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：

（1）求证：当x＞0时，；

（2）求证：当x＞1时，；

（3）的最小值是____．9、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）；有如下的统计资料：

。使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0由资料知y与x呈线性相关关系．

（参考数据）

估计当使用年限为10年时，维修费用是____万元．线性回归方程：y=．10、设单位向量夹角是60°，若夹角为锐角，则实数t的取值范围是____．11、关于数列有下列四个判断：①若成等比数列，则也成等比数列；②若数列{}既是等差数列也是等比数列，则{}为常数列；③数列{}的前n项和为且则{}为等差或等比数列；④数列{}为等差数列，且公差不为零，则数列{}中不会有其中正确判断的序号是______．（注：把你认为正确判断的序号都填上）12、【题文】直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为_______评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)13、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．14、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共1题，共3分)21、在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=____．评卷人得分五、解答题(共1题，共8分)22、【题文】已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，过O点作OM⊥AB交AB于点M，求点M的轨迹。参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】试题分析：根据余弦定理:根据可得所以在三角形中．考点：余弦定理．【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

试题分析：由可知与的关系为：相交、平行或线在面内，故A、B错；由可在中a中找一条直线使又所以而所以得故选C.

考点：面面垂直的判定.【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C4、D【分析】【解答】①若则根据“当时，有”可得即所以正确；②若则或根据题意可得所以正确；③若则所以正确D.5、C【分析】【解答】解：6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5

∴（6sinA+4cosB）2=1；①；

（4sinB+6cosA）2=75；②；

①+②可得：16+36+48（sinAcosB+cosAsinB）=76

∴sin（A+B）=

∴sinC=．

∴cosC=又∠C∈（0，π）；

∴∠C的大小为或

若∠C=得到A+B=则cosB＞所以4cosB＞2＞1，sinA＞0；

∴6sinA+4cosB＞2与6sinA+4cosB=1矛盾，所以∠C≠

∴满足题意的∠C的值为．

则cosC=．

故选：C．

【分析】对已知两个方程平方相加，利用两角和与差的三角函数化简，结合同角三角函数的基本关系式即可求出结果．6、D【分析】【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．

对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．

所以答案应选择D．

【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．7、C【分析】【解答】根据题意，由于非零向量满足那么向量与向量夹角等于则可知夹角为选C

【分析】主要是考查了向量的数量积性质的运用，属于基础题。二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】【分析】由（）2+（）2-2=（-）2≥0，即可得≥；

（1）由≥，可得a+b≥2，则可得x+≥2=2；继而证得结论；

（2）首先将x+变形为（x-1）++1；然后利用几何不等式，即可证得结论；

（3）首先将2x2+变形为2（x2+1）+-2，然后利用几何不等式求解，即可求得最小值．【解析】【解答】解：∵（）2+（）2-2=（-）2≥0；

即a+b-2≥0；

∴≥；

（1）证明：∵x＞0；

∴x+≥2=2；

即x+≥2；

（2）证明：∵x＞1；

∴x+=（x-1）++1≥2+1=2+1=3；

即x+≥3；

（3）解：2x2+=2（x2+1）+-2≥2-2=2-2；

∴2x2+的最小值为2-2．

故答案为：，（4）2-2．9、略

【分析】

∵b===1.23

∵

∴样本中心点的坐标是（4；5）

∴5=4×1.23+a

∴a=0.08；

∴线性回归方程是y=1.23x+0.08；

当x=10时；y=1.23×10+0.08=12.38

故答案为：12.38

【解析】【答案】根据所给的样本中心点和两个最小二乘法要用的和式，写出b的表示式；求出结果，再代入样本中心点求出a，写出线性回归方程，代入x=10求出预报值．

10、略

【分析】

由题意可得：2=1，2=1，•=1×1×cos60°=

因为

所以=（+）•（+t）=2+（t+1）•+t2=（t+1）．

因为夹角为锐角；

所以=（t+1）＞0，并且

所以解得：t＞-1且t≠1．

故答案为：t＞-1且t≠1．

【解析】【答案】首先根据条件计算出•=再利用向量积的运算求出的值，进而根据题中的条件得到=（t+1）＞0，并且即可求出答案．

11、略

【分析】试题分析：①对于数列-1，1，-1，1，满足a，b，c，d成等比数列，但a+b=0，b+c=0，c+d=0，所以a+b，b+c，c+d不是等比数列，所以①错误．②若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}必是非零的常数列，所以an=an+1成立，所以②正确．③当a=0时，数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以③错误．④在等差数列中，若am=an，则a1+（m-1）d=a1+（n-1）d，因为d≠0，所以m=n，与m≠n矛盾，所以④正确．故答案为：②④．考点：命题的真假判断与应用；等差数列与等比数列的综合．【解析】【答案】②④12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】y＝x－1三、证明题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．14、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G